定番書
を基に線形代数を学び直していく。
5. 固有値と固有ベクトル
5.1 固有値と固有ベクトル
を
上の線形空間、
を
の線形変換とする。
により方向が変わらないベクトル、すなわち
を満たすようなを
の固有ベクトルという。またこのときの
を
の固有値、
を
の固有値
に対する固有ベクトルという。
これはの張る1次元部分空間
が
-不変部分空間であるという。
が
の固有値であるとき、
および
に対する
の固有ベクトル全体の集合
を
の
でない
-不変部分空間である。これを固有値
に対する
の固有空間という。
が
次正方行列であるとき、
によって定まる
の線形変換
の固有値、固有ベクトルおよび固有空間をそれぞれ行列
の固有値、固有ベクトルおよび固有空間という。
が複素線形空間
の線形変換であるとき、
の任意の基底
に関する
の行列を
とすれば、
および
の固有値は一致し、固有ベクトルおよび固有空間はそれぞれ
により移りあう。
が得られる。この両辺にを施すことで
であるから
が成り立つ。は線形独立であるから、
である。仮定
より
である。したがって
となり、
が固有ベクトルであるという仮定に反する。
)
したがってのすべての相違なる固有値
に対する固有空間を
とすれば
は直和である。