やりなおしの数学・線形代数篇（16/26）

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
5.　固有値と固有ベクトル
- 5.1　固有値と固有ベクトル

今日のまとめ

$V$ を $K$ 上の線形空間、 $T$ を $V$ の線形変換とする。 $T$ により方向が変わらないベクトル、すなわち
$\begin{aligned}T\boldsymbol{x}=\alpha\boldsymbol{x},\ \alpha\in K\end{aligned}$
を満たすような $\boldsymbol{0}\neq\boldsymbol{x}\in V$ を $T$ の固有ベクトルという。またこのときの $\alpha\in K$ を $T$ の固有値、 $\boldsymbol{x}$ を $T$ の固有値 $\alpha$ に対する固有ベクトルという。

5.　固有値と固有ベクトル

5.1　固有値と固有ベクトル

　 $V$ を $K$ 上の線形空間、 $T$ を $V$ の線形変換とする。 $T$ により方向が変わらないベクトル、すなわち

$\begin{aligned} T\boldsymbol{x}=\alpha\boldsymbol{x},\ \alpha\in K \end{aligned}$

を満たすような $\boldsymbol{0}\neq\boldsymbol{x}\in V$ を $T$ の固有ベクトルという。またこのときの $\alpha\in K$ を $T$ の固有値、 $\boldsymbol{x}$ を $T$ の固有値 $\alpha$ に対する固有ベクトルという。
　これは $\boldsymbol{x}$ の張る1次元部分空間 $\{c\boldsymbol{x}|c\in K\}$ が $T$ -不変部分空間であるという。
　 $\alpha$ が $T$ の固有値であるとき、 $\boldsymbol{0}$ および $\alpha$ に対する $T$ の固有ベクトル全体の集合 $W_{\alpha}$ を $V$ の $\{\boldsymbol{0}\}$ でない $T$ -不変部分空間である。これを固有値 $\alpha$ に対する $T$ の固有空間という。
　 $A$ が $n$ 次正方行列であるとき、 $A$ によって定まる $\mathbb{C}^{n}$ の線形変換 $T_A$ の固有値、固有ベクトルおよび固有空間をそれぞれ行列 $A$ の固有値、固有ベクトルおよび固有空間という。
　 $T$ が複素線形空間 $V$ の線形変換であるとき、 $V$ の任意の基底 $(E,\varphi)$ に関する $T$ の行列を $A$ とすれば、 $T$ および $A$ の固有値は一致し、固有ベクトルおよび固有空間はそれぞれ $\varphi$ により移りあう。

固有ベクトルの独立性線形空間 $V$ の線形変換 $T$ の相違なる固有値に対する固有ベクトルは線形独立である。

( $\because$ 　 $\beta_1,\cdots,\beta_k$ を相違する固有値、 $\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_k$ をそれらに対応する固有ベクトルとする。もし $\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_k$ が線形従属ならば、 ${}^{\exists}i,\ 2\leq i\leq k\ s.t.\ \boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_{i-1}は線形独立かつ\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_{i}は線形従属$ が成り立つ。このとき

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}_i=\displaystyle{\sum_{j=1}^{i-1}c_j\boldsymbol{x}_j} \end{aligned}$

が得られる。この両辺に $T$ を施すことで

$\begin{aligned} &\ T(\boldsymbol{x}_i)=T(\displaystyle{\sum_{j=1}^{i-1}c_j\boldsymbol{x}_j})\\ \Leftrightarrow&\ \beta_i\boldsymbol{x}_i=\displaystyle{\sum_{j=1}^{i-1}c_j\beta_i\boldsymbol{x}_j} \end{aligned}$

であるから

$\begin{aligned} c_1(\beta_1-\beta_i)\boldsymbol{x}_1+c_2(\beta_2-\beta_i)\boldsymbol{x}_2+\cdots+c_{i-1}(\beta_{i-1}-\beta_i)\boldsymbol{x}_{i-1}=\boldsymbol{0} \end{aligned}$

が成り立つ。 $\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_{i-1}$ は線形独立であるから、 ${}^{\forall}j=1,2,\cdots,i-1(c_j(\beta_j-\beta_i)=0)$ である。仮定 ${}^{\forall}j=1,2,\cdots,i-1(\beta_i\neq\beta_j)$ より $c_j=0$ である。したがって $\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{0}$ となり、 $\boldsymbol{x}_i$ が固有ベクトルであるという仮定に反する。　 $\blacksquare$ )
　したがって $T$ のすべての相違なる固有値 $\beta_1,\cdots,\beta_k$ に対する固有空間を $W_1,\cdots,W_k$ とすれば $W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_k$ は直和である。

今日のまとめ

5. 固有値と固有ベクトル

5.1 固有値と固有ベクトル

5.　固有値と固有ベクトル

5.1　固有値と固有ベクトル