やりなおしの数学・微分積分篇（31/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

Amazon

前回
今日のまとめ
8.　多変数関数の積分
- 8.1　二重積分
次回

前回

power-of-awareness.com

今日のまとめ

関数 $f(x,y)$ が $\Omega=[a,b]\times[c,d]$ で二重積分可能とは
$\begin{aligned}\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}\end{aligned}$
が成立することをいう。この値を $f$ の $\Omega$ における二重積分といい、
$\begin{aligned}\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy}\end{aligned}$
で表す。

8.　多変数関数の積分

8.1　二重積分

　 $\mathbb{R}^2$ 上の有界領域 $\Omega$ で定義された実数値関数 $z=f(x,y)$ のグラフにより限られる3次元領域の体積 $V$ を求めたい。 $\Omega=[a,b]\times[c,d]=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|a\leq x\leq b,c\leq y\leq d\}$ の場合を考える。 $f(x,y)$ は $\Omega$ 上で有界、すなわち

$\begin{aligned} {}^{\exists}M\gt0\ s.t.\ |f(x,y)|\leq M\ ((x,y)\in\Omega) \end{aligned}$

だとする。 $\Omega$ の分割

$\begin{aligned} \Delta_{ij}&=[x_{i-1},x_i]\times[y_{i-1},y_i],i=1,2,\cdots,m,j=1,2,\cdots,n,\\ &a=x_1\lt\cdots\lt x_m=b,\\ &c=y_1\lt\cdots\lt y_n=d \end{aligned}$

を与える。これは $m\times n$ 個の座標軸に平行な長方形に領域を分割することを意味する。
　分割の幅 $d(\Delta)$ を

$\begin{aligned} d(\Delta)=\displaystyle{\max_{i,j}(x_i-x_{i-1},y_i-y_{i-1})} \end{aligned}$

で定義し、 $\Delta$ の幅という。また $|\Delta_{ij}|=(x_i-x_{i-1})(y_i-y_{i-1})$ とおく。これは長方形 $\Delta_{ij}$ の面積を表す。また $(x_i,y_i)$ を $\Delta$ の分点という。
　いま $\Omega$ の2つの分割 $\Delta_1,\Delta_2$ を取る。もし $\Delta_1$ の分点の集合が $\Delta_2$ の分点の集合に含まれるとき $\Delta_2$ は $\Delta_1$ の細分といい、 $\Delta_1\subset\Delta_2$ と表すことにする。

　以下、一変数関数と同様な方法で $f(x,y)$ の $\Omega$ 上の積分を定義する。

$\begin{aligned} M_{ij}&=\displaystyle{\sup\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{ij}\}},\\ m_{ij}&=\displaystyle{\inf\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{ij}\}},\\ S_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}|\Delta_{ij}|},\\ s_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}|\Delta_{ij}|} \end{aligned}$

とおく。 $S_{\Delta},s_{\Delta}$ は以下を満たす：

（性質1） $-M(b-a)(d-c)\leq s_{\Delta}\leq S_{\Delta}\leq M(b-a)$
（性質2） $\Delta_1\subset\Delta_2\Rightarrow s_{\Delta_1}\leq s_{\Delta_2},S_{\Delta_1}\leq S_{\Delta_2}$
（性質3） ${}^{\forall}\Delta_1,{}^{\forall}\Delta_2(s_{\Delta_1}\leq S_{\Delta_2})$

これらに対して上積分および下積分を以下で定義する：

$\begin{aligned} \displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\inf\{S_{\Delta}|\Deltaは区間\Omegaの分割\}},\\ \displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\sup\{S_{\Delta}|\Deltaは区間\Omegaの分割\}} \end{aligned}$

　 $\mathcal{P}$ を $\Omega$ の分割のすべての集まりとするとき、集合 $\{s_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{P}\}$ および $\{S_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{P}\}$ は上記の性質1より共に有界な集合である。したがって上積分および下積分は有限な実数として定まる。更に性質3より各 $S_{\Delta}$ は $\{s_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{P}\}$ の上界の元であるから、任意の $\Delta\in\mathcal{P}$ に対して

$\begin{aligned} \displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}\leq S_{\Delta} \end{aligned}$

である。右辺で $\Delta\in\mathcal{P}$ について下限を取ることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}\leq \displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy} \end{aligned}$

が成立する。これを踏まえて以下を定義する：

多変数関数における二重積分　関数 $f(x,y)$ が $\Omega=[a,b]\times[c,d]$ で二重積分可能とは

$\begin{aligned} \displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy} \end{aligned}$

が成立することをいう。この値を $f$ の $\Omega$ における二重積分といい、

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy} \end{aligned}$

で表す。

　二重積分可能な条件を考える。その前にRiemann和を導入する。

$\begin{aligned} S(\Delta,\xi,\eta)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(\xi_{ij},\eta_{ij})|\Delta_{ij}|},\ \ (\xi_{ij},\eta_{ij})\in \Delta_{ij} \end{aligned}$

を $f$ の1つのRiemann和と呼ぶ。ここで $(\xi_{ij},\eta_{ij})\in \Delta_{ij}$ は任意に選ぶものとする。

二重積分可能性の同値条件　次の4つの条件は互いに同値である。
1. $f$ は $\Omega$ 上で二重積分可能である。すなわち以下が成立する。

$\begin{aligned} \displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy} \end{aligned}$

2. ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対して $\Delta$ の分割 $\Delta$ があり $S_{\Delta}-s_{\Delta}\gt\varepsilon$ が成立する。
3. ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対してある $\delta\gt0$ があって、 $d(\Delta)\lt\delta$ を満たすようなすべての $\Omega$ の分割 $\Delta$ に対して $S_{\Delta}-s_{\Delta}\gt\varepsilon$ が成立する。
4. ある $V\in\mathbb{R}$ があり、任意の $\varepsilon\gt0$ に対してある $\delta\gt0$ に対して $d(\Delta)\lt\delta$ を満たすようなすべての $\Omega$ の分割 $\Delta$ に対して

$\begin{aligned}\left|S(\Delta,\xi,\eta)-V\right|\lt\varepsilon\end{aligned}$

が成り立つ。ここで $V$ は $(\xi_{ij},\eta_{ij})\in\Delta_{ij}$ の取り方に依らない定数とする。

( $\because$ 　1. $\Rightarrow$ 4.以外は1変数のときと同様の手順で示すことが出来る。そこで1.を仮定する。

$\begin{aligned} V=\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy} \end{aligned}$

とおく。上限の定義から任意の $\varepsilon\gt0$ に対して $\Omega$ のある分割 $\Delta_0$ があって

$\begin{aligned} V-\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}\lt s_{\Delta_0} \end{aligned}$

とできる。 $\Delta_0$ の $x$ 軸上および $y$ 軸上の分点の個数をそれぞれ $p,q$ とし、

$\begin{aligned} 0\lt\delta\lt \displaystyle{\frac{\varepsilon}{4M\{p(d-c)+q(b-a)\}} } \end{aligned}$

を満たすような $\delta$ を選ぶ。
　 $d(\Delta)\lt\delta$ を満たすすべての $\Omega$ の分割について、

$\begin{aligned} V-s_{\Delta}\lt\varepsilon \end{aligned}$

を満たすことを確認する。 $\Delta_{0}\cup\Delta=\Delta^{\prime}$ とおく。 $\Delta$ による小長方形 $\Delta_{ij}$ の中に $\Delta_{0}$ の分割線が1本入ることで

$\begin{aligned} \Delta_{ij}=\Delta_{ij}^{(1)}\cup\Delta_{ij}^{(2)} \end{aligned}$

と細分されたとき、 $s_{\Delta}$ は増加して $s_{\Delta}^{\prime}$ となる。このときその差は

$\begin{aligned} m_{ij}^{(1)}|\Delta_{ij}^{(1)}|+m_{ij}^{(2)}|\Delta_{ij}^{(2)}|-m_{ij}|\Delta_{ij}|&=(m_{ij}^{(1)}-m_{ij})|\Delta_{ij}^{(1)}|+(m_{ij}^{(2)}-m_{ij})|\Delta_{ij}^{(2)}|\\ &\leq 2M(|\Delta_{ij}^{(1)}|+|\Delta_{ij}^{(2)}|)=2M|\Delta_{ij}| \end{aligned}$

である。ただし

$\begin{aligned} m_{ij}^{(l)}&=\inf\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{ij}^{(j)}\},l=1,2\\ m_{ij}&=\inf\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{ij}\},l=1,2 \end{aligned}$

である。 $\Delta_{ij}$ がもっとも多くの分割線で細分された場合でも $\Delta_{ij}=\Delta_{ij}^{(1)}\cup\cdots\cup\Delta_{ij}^{(k)}$ として考えれば

$\begin{aligned} m_{ij}^{(1)}|\Delta_{ij}^{(1)}|+\cdots+m_{ij}^{(k)}|\Delta_{ij}^{(k)}|-m_{ij}|\Delta_{ij}|\leq 2M|\Delta_{ij}| \end{aligned}$

を得る。 $\Delta_{0}$ の分割線は縦線が $p$ 本で横線が $q$ 本であるから、上記のような差が生じる小区間 $\Delta_{ij}$ の面積の総和は

$\begin{aligned} \{p(d-c)+q(b-a)\}\delta \end{aligned}$

を超えない。実際、 $d(\Delta)$ であるから $\Delta_{ij}$ の1辺の長さは $\delta$ 以下であるため、縦線の分割が入る $\Delta_{ij}$ の個数は高々 $p$ 個であり、そのような $\Delta_{ij}$ の面積は $\delta(d-c)$ を超えない。こうして総計として $p(d-c)\delta$ を得る。同様に横線で考えれば $q(b-a)\delta$ を超えない。以上から上式を得る。したがって

$\begin{aligned} s_{\Delta^{\prime}}-s_{\Delta}\leq2M\{p(d-c)+q(b-a)\}\delta\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}} \end{aligned}$

である。
　いま $\Delta_0\subset\Delta^{\prime}$ であるから、 $s_{\Delta_{0}}\leq s_{\Delta^{\prime}}$ であることと $V-s_{\Delta_0}\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}$ であったことに注意して

$\begin{aligned} V-s_{\Delta}=V-s_{\Delta_0}+s_{\Delta_0}-s_{\Delta^{\prime}}+s_{\Delta^{\prime}}-s_{\Delta}\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}=\varepsilon \end{aligned}$

を得る。
　 $S_{\Delta}$ についても同様の考察から $\delta\gt0$ を十分に小さく取れば $d(\Delta)\lt\delta$ を満たすような $\Omega$ のすべての分割 $\Delta$ に対して $S_{\Delta}-V\lt\varepsilon$ とできる。したがって