8. 多変数関数の積分
8.1 二重積分
上の有界領域で定義された実数値関数のグラフにより限られる3次元領域の体積を求めたい。の場合を考える。は上で有界、すなわち
だとする。の分割
を与える。これは個の座標軸に平行な長方形に領域を分割することを意味する。
分割の幅を
で定義し、の幅という。またとおく。これは長方形の面積を表す。またをの分点という。
いまの2つの分割を取る。もしの分点の集合がの分点の集合に含まれるときはの細分といい、と表すことにする。
以下、一変数関数と同様な方法での上の積分を定義する。
とおく。は以下を満たす:
- (性質1)
- (性質2)
- (性質3)
をの分割のすべての集まりとするとき、集合およびは上記の性質1より共に有界な集合である。したがって上積分および下積分は有限な実数として定まる。更に性質3より各はの上界の元であるから、任意のに対して
である。右辺でについて下限を取ることで
が成立する。これを踏まえて以下を定義する:
二重積分可能な条件を考える。その前にRiemann和を導入する。
をの1つのRiemann和と呼ぶ。ここでは任意に選ぶものとする。
二重積分可能性の同値条件 次の4つの条件は互いに同値である。
1. は上で二重積分可能である。すなわち以下が成立する。
2. に対しての分割がありが成立する。
3. に対してあるがあって、を満たすようなすべてのの分割に対してが成立する。
4. あるがあり、任意のに対してあるに対してを満たすようなすべてのの分割に対して
とおく。上限の定義から任意のに対してのある分割があって
とできる。の軸上および軸上の分点の個数をそれぞれとし、
を満たすようなを選ぶ。
を満たすすべてのの分割について、
を満たすことを確認する。とおく。による小長方形の中にの分割線が1本入ることで
と細分されたとき、は増加してとなる。このときその差は
である。ただし
である。 がもっとも多くの分割線で細分された場合でもとして考えれば
を得る。の分割線は縦線が本で横線が本であるから、上記のような差が生じる小区間の面積の総和は
を超えない。実際、であるからの1辺の長さは以下であるため、縦線の分割が入るの個数は高々個であり、そのようなの面積はを超えない。こうして総計としてを得る。同様に横線で考えればを超えない。以上から上式を得る。したがって
である。
いまであるから、であることとであったことに注意して
を得る。
についても同様の考察からを十分に小さく取ればを満たすようなのすべての分割に対してとできる。したがって
である。いまであるので
が成り立つ。したがってを満たすようなすべての分割に対して
がの取り方によらずに成立するので、
により4.が示された。 )
上記で示したは平面上の領域と関数のグラフで作られる図形の体積を表す。さらにはの上の二重積分に等しい。