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やりなおしの数学・微分積分篇(31/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 関数f(x,y)\Omega=[a,b]\times[c,d]で二重積分可能とは
    \begin{aligned}\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}\end{aligned}
    が成立することをいう。この値をf\Omegaにおける二重積分といい、
    \begin{aligned}\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy}\end{aligned}
    で表す。

8. 多変数関数の積分

 

8.1 二重積分

 \mathbb{R}^2上の有界領域\Omegaで定義された実数値関数z=f(x,y)のグラフにより限られる3次元領域の体積Vを求めたい。\Omega=[a,b]\times[c,d]=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|a\leq x\leq b,c\leq y\leq d\}の場合を考える。f(x,y)\Omega上で有界、すなわち


\begin{aligned}
{}^{\exists}M\gt0\ s.t.\ |f(x,y)|\leq M\ ((x,y)\in\Omega)
\end{aligned}

だとする。\Omegaの分割


\begin{aligned}
\Delta_{ij}&=[x_{i-1},x_i]\times[y_{i-1},y_i],i=1,2,\cdots,m,j=1,2,\cdots,n,\\
&a=x_1\lt\cdots\lt x_m=b,\\
&c=y_1\lt\cdots\lt y_n=d
\end{aligned}

を与える。これはm\times n個の座標軸に平行な長方形に領域を分割することを意味する。
 分割の幅d(\Delta)


\begin{aligned}
d(\Delta)=\displaystyle{\max_{i,j}(x_i-x_{i-1},y_i-y_{i-1})}
\end{aligned}

で定義し、\Deltaの幅という。また|\Delta_{ij}|=(x_i-x_{i-1})(y_i-y_{i-1})とおく。これは長方形\Delta_{ij}の面積を表す。また(x_i,y_i)\Deltaの分点という。
 いま\Omegaの2つの分割\Delta_1,\Delta_2を取る。もし\Delta_1の分点の集合が\Delta_2の分点の集合に含まれるとき\Delta_2\Delta_1の細分といい、\Delta_1\subset\Delta_2と表すことにする。

 以下、一変数関数と同様な方法でf(x,y)\Omega上の積分を定義する。


\begin{aligned}
M_{ij}&=\displaystyle{\sup\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{ij}\}},\\
m_{ij}&=\displaystyle{\inf\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{ij}\}},\\
S_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}|\Delta_{ij}|},\\ s_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}|\Delta_{ij}|}
\end{aligned}

とおく。S_{\Delta},s_{\Delta}は以下を満たす:

  • (性質1)-M(b-a)(d-c)\leq s_{\Delta}\leq S_{\Delta}\leq M(b-a)
  • (性質2)\Delta_1\subset\Delta_2\Rightarrow s_{\Delta_1}\leq s_{\Delta_2},S_{\Delta_1}\leq S_{\Delta_2}
  • (性質3){}^{\forall}\Delta_1,{}^{\forall}\Delta_2(s_{\Delta_1}\leq S_{\Delta_2})

これらに対して上積分および下積分を以下で定義する:


\begin{aligned}
\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\inf\{S_{\Delta}|\Deltaは区間\Omegaの分割\}},\\
\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\sup\{S_{\Delta}|\Deltaは区間\Omegaの分割\}}
\end{aligned}

 \mathcal{P}\Omegaの分割のすべての集まりとするとき、集合\{s_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{P}\}および\{S_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{P}\}は上記の性質1より共に有界な集合である。したがって上積分および下積分は有限な実数として定まる。更に性質3より各S_{\Delta}\{s_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{P}\}の上界の元であるから、任意の\Delta\in\mathcal{P}に対して


\begin{aligned}
\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}\leq S_{\Delta}
\end{aligned}

である。右辺で\Delta\in\mathcal{P}について下限を取ることで


\begin{aligned}
\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}\leq \displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}
\end{aligned}

が成立する。これを踏まえて以下を定義する:


多変数関数における二重積分 関数f(x,y)\Omega=[a,b]\times[c,d]で二重積分可能とは

\begin{aligned}
\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}
\end{aligned}

が成立することをいう。この値をf\Omegaにおける二重積分といい、


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy}
\end{aligned}

で表す。

 二重積分可能な条件を考える。その前にRiemann和を導入する。


\begin{aligned}
S(\Delta,\xi,\eta)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(\xi_{ij},\eta_{ij})|\Delta_{ij}|},\ \ (\xi_{ij},\eta_{ij})\in \Delta_{ij}
\end{aligned}

fの1つのRiemann和と呼ぶ。ここで(\xi_{ij},\eta_{ij})\in \Delta_{ij}は任意に選ぶものとする。


二重積分可能性の同値条件 次の4つの条件は互いに同値である。
1. f\Omega上で二重積分可能である。すなわち以下が成立する。

\begin{aligned}
\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}
\end{aligned}

2. {}^{\forall}\varepsilon\gt0に対して\Deltaの分割\DeltaがありS_{\Delta}-s_{\Delta}\gt\varepsilonが成立する。
3. {}^{\forall}\varepsilon\gt0に対してある\delta\gt0があって、d(\Delta)\lt\deltaを満たすようなすべての\Omegaの分割\Deltaに対してS_{\Delta}-s_{\Delta}\gt\varepsilonが成立する。
4. あるV\in\mathbb{R}があり、任意の\varepsilon\gt0に対してある\delta\gt0に対してd(\Delta)\lt\deltaを満たすようなすべての\Omegaの分割\Deltaに対して

\begin{aligned}\left|S(\Delta,\xi,\eta)-V\right|\lt\varepsilon\end{aligned}
が成り立つ。ここでV(\xi_{ij},\eta_{ij})\in\Delta_{ij}の取り方に依らない定数とする。
(\because 1.\Rightarrow4.以外は1変数のときと同様の手順で示すことが出来る。そこで1.を仮定する。

\begin{aligned}
V=\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy}
\end{aligned}

とおく。上限の定義から任意の\varepsilon\gt0に対して\Omegaのある分割\Delta_0があって


\begin{aligned}
V-\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}\lt s_{\Delta_0}
\end{aligned}

とできる。\Delta_0x軸上およびy軸上の分点の個数をそれぞれp,qとし、


\begin{aligned}
0\lt\delta\lt \displaystyle{\frac{\varepsilon}{4M\{p(d-c)+q(b-a)\}} }
\end{aligned}

を満たすような\deltaを選ぶ。
 d(\Delta)\lt\deltaを満たすすべての\Omegaの分割について、


\begin{aligned}
V-s_{\Delta}\lt\varepsilon
\end{aligned}

を満たすことを確認する。\Delta_{0}\cup\Delta=\Delta^{\prime}とおく。\Deltaによる小長方形\Delta_{ij}の中に\Delta_{0}の分割線が1本入ることで


\begin{aligned}
\Delta_{ij}=\Delta_{ij}^{(1)}\cup\Delta_{ij}^{(2)}
\end{aligned}

と細分されたとき、s_{\Delta}は増加してs_{\Delta}^{\prime}となる。このときその差は


\begin{aligned}
m_{ij}^{(1)}|\Delta_{ij}^{(1)}|+m_{ij}^{(2)}|\Delta_{ij}^{(2)}|-m_{ij}|\Delta_{ij}|&=(m_{ij}^{(1)}-m_{ij})|\Delta_{ij}^{(1)}|+(m_{ij}^{(2)}-m_{ij})|\Delta_{ij}^{(2)}|\\
&\leq 2M(|\Delta_{ij}^{(1)}|+|\Delta_{ij}^{(2)}|)=2M|\Delta_{ij}|
\end{aligned}

である。ただし


\begin{aligned}
m_{ij}^{(l)}&=\inf\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{ij}^{(j)}\},l=1,2\\
m_{ij}&=\inf\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{ij}\},l=1,2
\end{aligned}

である。 \Delta_{ij}がもっとも多くの分割線で細分された場合でも\Delta_{ij}=\Delta_{ij}^{(1)}\cup\cdots\cup\Delta_{ij}^{(k)}として考えれば


\begin{aligned}
m_{ij}^{(1)}|\Delta_{ij}^{(1)}|+\cdots+m_{ij}^{(k)}|\Delta_{ij}^{(k)}|-m_{ij}|\Delta_{ij}|\leq 2M|\Delta_{ij}|
\end{aligned}

を得る。\Delta_{0}の分割線は縦線がp本で横線がq本であるから、上記のような差が生じる小区間\Delta_{ij}の面積の総和は


\begin{aligned}
\{p(d-c)+q(b-a)\}\delta
\end{aligned}

を超えない。実際、d(\Delta)であるから\Delta_{ij}の1辺の長さは\delta以下であるため、縦線の分割が入る\Delta_{ij}の個数は高々p個であり、そのような\Delta_{ij}の面積は\delta(d-c)を超えない。こうして総計としてp(d-c)\deltaを得る。同様に横線で考えればq(b-a)\deltaを超えない。以上から上式を得る。したがって


\begin{aligned}
s_{\Delta^{\prime}}-s_{\Delta}\leq2M\{p(d-c)+q(b-a)\}\delta\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}
\end{aligned}

である。
 いま\Delta_0\subset\Delta^{\prime}であるから、s_{\Delta_{0}}\leq s_{\Delta^{\prime}}であることとV-s_{\Delta_0}\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}であったことに注意して


\begin{aligned}
V-s_{\Delta}=V-s_{\Delta_0}+s_{\Delta_0}-s_{\Delta^{\prime}}+s_{\Delta^{\prime}}-s_{\Delta}\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}=\varepsilon
\end{aligned}

を得る。
 S_{\Delta}についても同様の考察から\delta\gt0を十分に小さく取ればd(\Delta)\lt\deltaを満たすような\Omegaのすべての分割\Deltaに対してS_{\Delta}-V\lt\varepsilonとできる。したがって


\begin{aligned}
V-\varepsilon\lt s_{\Delta}\leq S_{\Delta}\lt V+\varepsilon
\end{aligned}

である。いまs_{\Delta}\leq S(\Delta,\xi,\eta)\leq S_{\Delta}であるので


\begin{aligned}
\ -\varepsilon\lt S(\Delta,\xi,\eta)-V\lt \varepsilon,\ (\xi_{ij},\eta_{ij})\in\Delta_{ij}
\end{aligned}

が成り立つ。したがってd(\Delta)\lt\deltaを満たすようなすべての分割\Deltaに対して


\begin{aligned}
\left|\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(\xi_{ij},\eta_{ij})}|\Delta_{ij}|-V\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}

(\xi_{ij},\eta_{ij})\in\Delta_{ij}の取り方によらずに成立するので、


\begin{aligned}
V=\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy}
\end{aligned}

により4.が示された。 \blacksquare)

 上記で示したVxy平面上の領域\Omegaと関数z=f(x,y)のグラフで作られる図形の体積を表す。さらにVf\Omega上の二重積分に等しい。

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