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今日のまとめ
5. 1変数関数の微分
5.5 凸関数

とおく。このときで
となる。仮定より
が成り立つ。ここから
を得る。
逆にについて
が成り立つと仮定する。いまおよび
に対し
は
を満たすから、仮定より
が成り立つ。これにより
が成り立ち、これはが凸関数であることに他ならない。
)
が2回微分可能な場合に関数の凹凸を判定できることを示す。
(
は
において凸関数だとする。
に対して
に対して
である。とすることで
を得る。同様にとすることで
逆に
が成り立つ。であるから
の単調性から
が得られる。これはが凸関数であることに等しい。
)
5.6 不定形の極限
のとき
とする。このとき極限
を
形の不定形の極限という。同様に
のとき
とする。このとき極限
を
形の不定形の極限という。さらに
のとき
のとき極限
は
-
形の不定形と呼ぶ。
これらを求める際に有用な定理を紹介する。
de L'Hopitalの定理(i)
が存在するならば
(ii)は充分に大きな
において定義されており、
のとき
となる。さらに充分に大きな
において
とする。このとき
が存在するならば
(iii) は
で定義されており、
のとき
とする。さらに
において
は微分可能で
とする。このとき
ならば
(iv)のとき
とする。このとき
が存在するならば
((i)必要ならば
と定めることで
は区間
においてCauchyの平均値の定理の適用条件を満たすから
が成り立つ。において
であるから
が成り立つ。
(ii)とおくと、
のとき
である。
と定義すると
は適当な
に対して区間
上で定義され、
を満たす。
さらには
において微分可能で
が成り立つ。したがって(i)より
である。したがって
が得られる。
(iii) とする。
を任意に取る。仮定より
を取ると、
に対して
が成り立つ。Cauchyの平均値の定理からのとき
が成り立つ。したがって
となり、仮定からのとき
であるから、
を選ぶと、
に対して
で
が成立する。したがってに対して
より
を得られるが、は任意だったから、
を得る。
他方で、の場合、仮定より
である。そのため適当にを選ぶと
に対して
である。さらに
であるから、
が成り立つ。したがって
である。
(iv) とおき、
とおく。このとき
である。(iii)よりである。したがって
を得る。 )