「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。

MENU

やりなおしの数学・微分積分篇(019/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

www.rokakuho.co.jp

今日のまとめ

  • 微分を応用した関数の性質に触れる。
  • 区間I=[a,b]で定義された関数f(x)
    \begin{aligned}f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\leq \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2)\end{aligned}
    を満たすとき、f(x)区間Iにおける凸関数である(もしくはf(x)は下に凸である)という。
  • 不定形の極限は分母分子などの各因子を微分したものの極限と値が等しい。
  • 近傍B(x_0;\delta)=(x_0-\delta,x_0+\delta)において{}^{\forall}x\in B(x_0;\delta)
    \begin{aligned}f(x)\leq f(x_0)\ (f(x)\geq f(x_0))\end{aligned}
    を満たすとき、f(x)x=x_0において極大(または極小)であるといい、f(x_0)を極大値(または極小値)という。

5. 1変数関数の微分

5.5 凸関数

 


定義:凸関数 区間I=[a,b]で定義された関数f(x)

\begin{aligned}
f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\leq \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2)
\end{aligned}

を満たすとき、f(x)区間Iにおける凸関数である(もしくはf(x)は下に凸である)という。等号無しの不等式が成り立つとき、f(x)Iにおける狭義の凸関数と呼ばれる。

 Iにおいて-f(x)が凸関数のとき、f(x)Iにおける凹関数(もしくはf(x)は上に凸である)という。


f:id:suguru_125:20220106231942p:plain


定理:凸関数の性質 関数f(x)区間I=[a,b]において凸関数であるとする。このときx_1,x_2,x_3\in I,\ x_1\lt x_2\lt x_3として

\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}\leq \displaystyle{\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}}
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because f(x)を凸関数とする。{}^{\forall}x_1,x_2,x_3\in I,\ x_1\lt x_2\lt x_3に対して

\begin{aligned}
\alpha=\displaystyle{\frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}}
\end{aligned}

とおく。このとき0\lt\alpha\lt1


\begin{aligned}
x_2=\alpha x_1+(1-\alpha)x_3
\end{aligned}

となる。仮定より


\begin{aligned}
f(x_2)=f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_3)\leq\alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_3)=\displaystyle{\frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}}f(x_1)+\displaystyle{\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}}f(x_3)
\end{aligned}

が成り立つ。ここから


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}\leq \displaystyle{\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}}
\end{aligned}

を得る。
 逆に{}^{\forall}x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R},\ s.t.\ x_1\lt x_2\lt x_3について


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}\leq \displaystyle{\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}}
\end{aligned}

が成り立つと仮定する。いま{}^{\forall}x_1,x_2\in Iおよび0\lt\alpha\lt1に対しx=\alpha x_1+(1-\alpha)x_2x_1\lt x\lt x_2を満たすから、仮定より


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}}\leq \displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}}
\end{aligned}

が成り立つ。これにより


\begin{aligned}
f(x)\leq \displaystyle{\frac{x_2-x}{x_2-x_1}}f(x_1)+\displaystyle{\frac{x-x_1}{x_2-x_1}}f(x_2)=\alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2)
\end{aligned}

が成り立ち、これはf(x)が凸関数であることに他ならない。 \blacksquare)


 f(x)が2回微分可能な場合に関数の凹凸を判定できることを示す。


凸性と2回微分 f(x)[a,b]で連続で(a,b)で2回微分可能だとする。このときf(x)区間Iで凸関数であることの必要十分条件{}^{\forall}x\in (a,b)についてf^{\prime\prime}(x)\geq0である。

(\because f(x)Iにおいて凸関数だとする。{}^{\forall}x_1,x_2\in I\ s.t.\ a\lt x_1\lt x_2\lt bに対してx_1\lt x\lt x_2に対して


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}}\lt\displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}}
\end{aligned}

である。x\rightarrow x_1とすることで


\begin{aligned}
f^{\prime}(x_1)\lt\displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}
\end{aligned}

を得る。同様にx \rightarrow x_2とすることで


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}\lt f^{\prime}(x_2)
\end{aligned}
を得る。したがってf^{\prime}(x_1)\leq f^{\prime}(x_2)である。以上からf^{\prime}(x)(a,b)で単調増加である。したがって(a,b)上でf^{\prime\prime}(x)\geq0である。
 逆に(a,b)上でf^{\prime\prime}(x)\geq0とする。このときf^{\prime}(x)(a,b)上で単調増加である。{}^{\forall}x_1,x_2,x_3\in I,\ s.t.\ x_1\lt x_2\lt x_3に対して平均値の定理より

\begin{aligned}
f(x_2)-f(x_1)&=(x_2-x_1)f^{\prime}(x_1+\theta_(x_2-x_1)),\\
f(x_3)-f(x_2)&=(x_3-x_2)f^{\prime}(x_2+\theta_(x_3-x_2)),0\lt\theta_1,\theta_2\lt1
\end{aligned}

が成り立つ。a\lt x_1+\theta_1(x_2-x_1)\lt x_2+\theta_2(x_3-x_2)\lt bであるからf^{\prime}(x)の単調性から


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}=f^{\prime}(x_1+\theta_1(x_2-x_1))\lt f^{\prime}(x_2+\theta_2(x_3-x_2))=\displaystyle{\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}}
\end{aligned}

が得られる。これはf(x)が凸関数であることに等しい。 \blacksquare)

5.6 不定形の極限

 x\rightarrow x_0のときf(x)\rightarrow0,g(x)\rightarrow0とする。このとき極限\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}\displaystyle{\frac{0}{0}}形の不定形の極限という。同様にx\rightarrow x_0のときf(x)\rightarrow\infty,g(x)\rightarrow\inftyとする。このとき極限\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}形の不定形の極限という。さらにx\rightarrow x_0のときf(x)\rightarrow0,g(x)\rightarrow\inftyのとき極限\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)g(x)}0-\infty形の不定形と呼ぶ。
 これらを求める際に有用な定理を紹介する。


de L'Hopitalの定理(i)x_0\in\mathbb{R}の近傍B(x_0;\varepsilon)に定義されている関数f(x),g(x)に対してx\rightarrow x_0のときf(x)\rightarrow 0,g(x)\rightarrow 0とする。さらにf(x),g(x)x_0以外の各点で微分可能かつg(x_0)\neq 0とする。このとき

\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}=l\in\mathbb{R\cup\{-\infty,\infty\}}
\end{aligned}

が存在するならば


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}=l\in\mathbb{R\cup\{-\infty,\infty\}}
\end{aligned}
である。

(ii)f(x),g(x)は充分に大きなx\in\mathbb{R}において定義されており、x\rightarrow\inftyのときf(x)\rightarrow0,g(x)\rightarrow0となる。さらに充分に大きなx\in\mathbb{R}においてg^{\prime}(x)\neq0とする。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}=l\in\mathbb{R\cup\{-\infty,\infty\}}
\end{aligned}

が存在するならば


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}=l
\end{aligned}
である。

(iii) f(x),g(x)x\in\mathbb{R},\ s.t.\ x_0\lt x\lt cで定義されており、x\rightarrow x_0+0のときf(x)\rightarrow\infty,g(x)\rightarrow\inftyとする。さらにx\in\mathbb{R},\ s.t.\ x_0\lt x\lt cにおいてf(x),g(x)微分可能でg^{\prime}(x)\neq0とする。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}=l\in\mathbb{R\cup\{\infty\}}
\end{aligned}

ならば


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}=l
\end{aligned}
である。

(iv)x\rightarrow\inftyのときf(x)\rightarrow\infty,g(x)\rightarrow\inftyとする。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}=l\in\mathbb{R\cup\{\infty\}}
\end{aligned}

が存在するならば


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}=l
\end{aligned}
である。

(\because(i)必要ならばf(x_0)=g(x_0)=0と定めることでf(x),g(x)区間[\min\{x_0,x\},\max\{x_0,x\}]においてCauchyの平均値の定理の適用条件を満たすから


\begin{aligned}
{}^{\exists}\tau\in[\min\{x_0,x\},\max\{x_0,x\}]\ s.t.\ \displaystyle{\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}}=\displaystyle{\frac{f^{\prime}(\tau)}{g^{\prime}(\tau)}}
\end{aligned}

が成り立つ。x\rightarrow x_0において\tau\rightarrow x_0であるから


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}&=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}}\\
&=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{\prime}(\tau)}{g^{\prime}(\tau)}}\\
&=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}\\
&=l
\end{aligned}

が成り立つ。

(ii)\displaystyle{\frac{1}{x}}=yとおくと、x\rightarrow\inftyのときy\rightarrow+0である。F(y)=f\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right),\ G(y)=g\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right),y\gt0と定義するとF,Gは適当な\delta\gt0に対して区間[0,\delta]上で定義され、\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}F(y)}=0,\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}G(y)}=0を満たす。
 さらにF(y),G(y)(0,\delta)において微分可能で


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{y\rightarrow +0}\frac{F^{\prime}(y)}{G^{\prime}(y)}}=\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}\frac{f^{\prime}\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right)}{g\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right)}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}=l
\end{aligned}

が成り立つ。したがって(i)より


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}\frac{F(y)}{G(y)}}=l
\end{aligned}

である。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}}=\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}\frac{F(y)}{G(y)}}=l
\end{aligned}

が得られる。

(iii) l\in[0,\infty)とする。0\lt\varepsilon\lt\displaystyle{\frac{1}{2}}を任意に取る。仮定よりx_0\lt x_1\lt cを取ると、x_0\lt{}^{\forall}x\lt x_1に対して


\begin{aligned}
l-\varepsilon\lt\displaystyle{\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}\lt l+\varepsilon
\end{aligned}

が成り立つ。Cauchyの平均値の定理からx_0\lt x\lt x_1のとき


\begin{aligned}
{}^{\exists}\tau\in(x,x_1)\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_1)}{g(x)-g(x_1)}}=\displaystyle{\frac{f^{\prime}(\tau)}{g^{\prime}(\tau)}}
\end{aligned}

が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
l-\varepsilon\lt\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_1)}{g(x)-g(x_1)}}\lt l+\varepsilon
\end{aligned}

となり、仮定からx\rightarrow x_0+0のときf(x)\rightarrow\infty,g(x)\rightarrow\inftyであるから、x_0\lt x_2\lt cを選ぶと、x_0\lt{}^{\forall}x\lt x_2に対してf(x)\gt0,g(x)\gt0


\begin{aligned}
0\lt\displaystyle{\frac{f(x_1)}{f(x)}}\lt\varepsilon,\ 0\lt\displaystyle{\frac{g(x_1)}{g(x)}}\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成立する。したがって{}^{\forall}x\in(x_0,x_2)に対して


\begin{aligned}
1-\varepsilon\lt\displaystyle{\frac{1-\displaystyle{\frac{f(x_1)}{f(x)}}}{1-\displaystyle{\frac{g(x_1)}{g(x)}}}}\lt \displaystyle{\frac{1}{1-\varepsilon}}
\end{aligned}
が成り立つ。x_3=\min\{x_1,x_2\}とおけば、x\in(x_0,x_3)を満たすとき、上不等式および

\begin{aligned}
l-\varepsilon\lt \displaystyle{\frac{f(x)-f(x_1)}{g(x)-g(x_1)}}=\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}}\cdot\displaystyle{\frac{1-\displaystyle{\frac{f(x_1)}{f(x)}}}{1-\displaystyle{\frac{g(x_1)}{g(x)}}}}\lt l+\varepsilon
\end{aligned}

より


\begin{aligned}
l-(l+1)\varepsilon\lt(1-\varepsilon)(l-\varepsilon)\lt\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}}\lt\displaystyle{\frac{l+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\lt l+2(l+1)\varepsilon
\end{aligned}

を得られるが、0\lt\varepsilon\lt\displaystyle{\frac{1}{2}}は任意だったから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0+0}\frac{f(x)}{g(x)}}=l
\end{aligned}

を得る。 
 他方で、l=\inftyの場合、仮定より


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0+0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}=\infty
\end{aligned}

である。そのため適当にx_0\lt c^{\prime}\lt cを選ぶとx_0\lt {}^{\forall}x\lt c^{\prime}に対してf^{\prime}(x)\neq0である。さらに\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0+0}\frac{g^{\prime}(x)}{f^{\prime}(x)}}=0であるから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0+0}\frac{g(x)}{f(x)}}=0
\end{aligned}

が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0+0}\frac{f(x)}{g(x)}}=\infty
\end{aligned}

である。

(iv) x=\displaystyle{\frac{1}{y}}とおき、F(y)=f\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right),G(y)=g\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right)とおく。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}\frac{F^{\prime}(y)}{G^{\prime}(y)}}=\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}\frac{f^{\prime}\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right)}{g^{\prime}\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right)}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}=l
\end{aligned}

である。(iii)より\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}\frac{F(y)}{G(y)}}=lである。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}}=\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}\frac{F(y)}{G(y)}}=l
\end{aligned}

を得る。 \blacksquare)

5.7 関数の極値

 関数f(x)区間I=(a,b)で定義されているとする。このとき近傍B(x_0;\delta)=(x_0-\delta,x_0+\delta)において{}^{\forall}x\in B(x_0;\delta)


\begin{aligned}
f(x)\leq f(x_0)\ (f(x)\geq f(x_0))
\end{aligned}

を満たすとき、f(x)x=x_0において極大(または極小)であるといい、f(x_0)を極大値(または極小値)という。


極値導関数 f(x)区間I=(a,b)上で微分可能だとする。このときx=x_0において極値を取るならばf^{\prime}(x_0)=0である。
(\because x=x_0においてf(x)が極大値を取るとする(極小値としても同様の手順で証明できる。)。このとき\delta\gt0を適当に取れば

\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{f(x_0+\delta)-f(x_0)}{h}}\gt0,&0\lt \delta\lt h\\
\displaystyle{\frac{f(x_0-\delta)-f(x_0)}{h}}\lt0,&-\delta\lt h\lt0
\end{aligned}

が成り立つ。したがってh\downarrow0およびh\uparrow0とすることで


\begin{aligned}
f^{\prime}(x_0)=f_{+}^{\prime}(x_0)\leq0,\ f^{\prime}(x_0)=f_{-}^{\prime}(x_0)\geq0
\end{aligned}

が得られるから、f^{\prime}(x_0)=0である。 \blacksquare)

5.8 関数のグラフ

 微分を用いて関数の凹凸や極値などを調べそのグラフの外形を捉えることができる。
 関数f(x)x=x_0を境にして下に凸から上に凸に変わるとき、(x_0,f(x_0))を変曲点という。前述の定理からf(x)x=x_0で連続かつ2回微分可能だとして、点(x_0,f(x_0))f(x)の変曲点ならばf^{\prime\prime}(x_0)=0でなければならない。

プライバシーポリシー お問い合わせ