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やりなおしの数学・線形代数篇(11/26)

 定番書

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ

  • K^{n}においてn個よりも多くのベクトルは線形従属である。特にm\neq nならばK^mK^nとは同型でない。
  • K上の線形空間Vn個のベクトルから成る基底を持つならば、n個よりも多くのベクトルは線形従属である。特にVの任意の規定はn個のベクトルからなる。
  • Vの基底が含むベクトルの個数n線形空間Vの次元といい、\dim Vで表す。V=\{\boldsymbol{0}\}には基底は存在せず、これに対しては\dim V=0とする。

4. 線形空間

4.5 基底


元の数と基底 K^{n}においてn個よりも多くのベクトルは線形従属である。特にm\neq nならばK^mK^nとは同型でない。
\because \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m\in K^n,\ m\gt nによって与えられる\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_mに関するn個の斉次一次方程式系

\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{k=1}^{m}\boldsymbol{x}_k\boldsymbol{a}_k}=\boldsymbol{0}
\end{aligned}

は自明でない解を持つ。これは\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_mが線形従属であることを意味する。
 他方でK^m,K^nが同型ならば、K^mm個の単位ベクトル\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_mに対応するK^{n}m個のベクトルは線形独立である。したがってm\leq nである。同様にm\geq nでもあるからm=nである。この対偶を取ることでm\neq nならばK^m,K^nは同型でない。 \blacksquare


基底の個数 K上の線形空間Vn個のベクトルから成る基底を持つならば、n個よりも多くのベクトルは線形従属である。特にVの任意の規定はn個のベクトルからなる。

\because 既に示したようにVK^nに同型である。したがって上述の定理からn個よりも多くのベクトルは線形従属である。
 Vm個の元からなる基底を持てば、VK^{m}にも同型となるから、m=nでなければならない。 \blacksquare

 これは基底の取り方は一意ではなく様々な取り方があり得るものの、その個数は常に同じであることを意味する。そこで以下の概念を導入する:


定義:次元 Vの基底が含むベクトルの個数n線形空間Vの次元といい、\dim Vで表す。V=\{\boldsymbol{0}\}には基底は存在せず、これに対しては\dim V=0とする。

 K上の線形空間Vの2つの基底間にある関係を調べる。既に調べたように、線形空間n個のベクトルからなる基底を持てば、VK^nに同型であった。これはすなわち基底を定めることがVからK^nへの同型写像を1つ定めることに他ならない。\boldsymbol{E}=\{\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n\},\ \boldsymbol{F}=\{\boldsymbol{f}_1,\cdots,\boldsymbol{f}_n\}Vの2つの基底とする。またこれらの基底が定めるVからK^nへの同型写像\phi,\psiとする。\phi\circ \psi^{-1}K^nからK^nへの同型写像であるから、これはとあるn正則行列P=(p_{ij})によって定まるK^nの線形変換T_Pに等しい。したがって


\begin{aligned}
\phi\circ\psi^{-1}(\boldsymbol{x})=T_P\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{x},\ \boldsymbol{x}\in V
\end{aligned}

が成り立つ。このような行列Pを基底の取り換え\boldsymbol{E}\rightarrow\boldsymbol{F}の行列という。

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