やりなおしの数学・線形代数篇（11/26）

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
4.　線形空間
- 4.5　基底

今日のまとめ

$K^{n}$ において $n$ 個よりも多くのベクトルは線形従属である。特に $m\neq n$ ならば $K^m$ と $K^n$ とは同型でない。

$K$ 上の線形空間 $V$ が $n$ 個のベクトルから成る基底を持つならば、 $n$ 個よりも多くのベクトルは線形従属である。特に $V$ の任意の規定は $n$ 個のベクトルからなる。

$V$ の基底が含むベクトルの個数 $n$ を線形空間 $V$ の次元といい、 $\dim V$ で表す。 $V=\{\boldsymbol{0}\}$ には基底は存在せず、これに対しては $\dim V=0$ とする。

4.　線形空間

4.5　基底

元の数と基底　 $K^{n}$ において $n$ 個よりも多くのベクトルは線形従属である。特に $m\neq n$ ならば $K^m$ と $K^n$ とは同型でない。

（ $\because$ 　 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m\in K^n,\ m\gt n$ によって与えられる $\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_m$ に関する $n$ 個の斉次一次方程式系

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{k=1}^{m}\boldsymbol{x}_k\boldsymbol{a}_k}=\boldsymbol{0} \end{aligned}$

は自明でない解を持つ。これは $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m$ が線形従属であることを意味する。
　他方で $K^m,K^n$ が同型ならば、 $K^m$ の $m$ 個の単位ベクトル $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_m$ に対応する $K^{n}$ の $m$ 個のベクトルは線形独立である。したがって $m\leq n$ である。同様に $m\geq n$ でもあるから $m=n$ である。この対偶を取ることで $m\neq n$ ならば $K^m,K^n$ は同型でない。　 $\blacksquare$ ）

基底の個数　 $K$ 上の線形空間 $V$ が $n$ 個のベクトルから成る基底を持つならば、 $n$ 個よりも多くのベクトルは線形従属である。特に $V$ の任意の規定は $n$ 個のベクトルからなる。

（ $\because$ 　既に示したように $V$ は $K^n$ に同型である。したがって上述の定理から $n$ 個よりも多くのベクトルは線形従属である。
　 $V$ が $m$ 個の元からなる基底を持てば、 $V$ は $K^{m}$ にも同型となるから、 $m=n$ でなければならない。　 $\blacksquare$ ）

　これは基底の取り方は一意ではなく様々な取り方があり得るものの、その個数は常に同じであることを意味する。そこで以下の概念を導入する：

定義：次元　 $V$ の基底が含むベクトルの個数 $n$ を線形空間 $V$ の次元といい、 $\dim V$ で表す。 $V=\{\boldsymbol{0}\}$ には基底は存在せず、これに対しては $\dim V=0$ とする。

　 $K$ 上の線形空間 $V$ の2つの基底間にある関係を調べる。既に調べたように、線形空間が $n$ 個のベクトルからなる基底を持てば、 $V$ は $K^n$ に同型であった。これはすなわち基底を定めることが $V$ から $K^n$ への同型写像を1つ定めることに他ならない。 $\boldsymbol{E}=\{\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n\},\ \boldsymbol{F}=\{\boldsymbol{f}_1,\cdots,\boldsymbol{f}_n\}$ を $V$ の2つの基底とする。またこれらの基底が定める $V$ から $K^n$ への同型写像を $\phi,\psi$ とする。 $\phi\circ \psi^{-1}$ は $K^n$ から $K^n$ への同型写像であるから、これはとある $n$ 次正則行列 $P=(p_{ij})$ によって定まる $K^n$ の線形変換 $T_P$ に等しい。したがって