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一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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やりなおしの数学・微分積分篇(14/X)

以下の書籍

www.rokakuho.co.jp

を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 区間I=(a,b)で定義された関数y=f(x)を考える。x_0\in Iに対して関数
    \begin{aligned}\psi(x)=\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\end{aligned}
    x\rightarrow x_0において一定の極限値\alphaをもつとき、f(x)x_0において微分可能であるという。

5. 1変数関数の微分

 区間I=(a,b)で定義された関数y=f(x)を考える。x_0\in Iに対して関数


\begin{aligned}
\psi(x)=\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}
\end{aligned}

I\cap\{x_0\}^{C}で定義される。この\psi(x)xの変化\Delta x = x-x_0に対するxの変化\Delta y = f(x)-f(x_0)の平均変化率\displaystyle{\frac{\Delta f}{\Delta x}}を意味する。このとき


微分可能の定義 区間I=(a,b)で定義された関数y=f(x)を考える。x_0\in Iに対して関数

\begin{aligned}
\psi(x)=\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}
\end{aligned}

x\rightarrow x_0において一定の極限値\alphaをもつとき、f(x)x_0において微分可能であるといい、この極限値\alphaf^{\prime}(x_0)と表す。このf^{\prime}(x_0)f(x)x=x_0における微分係数という。

 微分係数


\begin{aligned}
f^{\prime}(x_0)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}
\end{aligned}

と書くこともできる。

 f(x)x=x_0において微分可能であるとき、\varepsilon(x)=\displaystyle{\frac{f(x-f(x_0))}{x-x_0}}-f^{\prime}(x_0)とおくと、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\varepsilon(x)}=0
\end{aligned}

が成り立つ。また


\begin{aligned}
f(x)-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+\varepsilon(x)(x-x_0)
\end{aligned}

であり、x\rightarrow x_0とするとこの右辺\rightarrow 0が成り立つから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)}=f(x_0)
\end{aligned}

が成り立つ。したがって


微分可能性と連続性 関数f(x)x=x_0において微分可能ならば、f(x)x=x_0において連続である。逆は一般に成り立たない。

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