やりなおしの数学・微分積分篇（14/X）

　以下の書籍

www.rokakuho.co.jp

を参考に、改めて微分積分を復習していく。

前回

今日のまとめ

区間 $I=(a,b)$ で定義された関数 $y=f(x)$ を考える。 $x_0\in I$ に対して関数
$\begin{aligned}\psi(x)=\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\end{aligned}$
が $x\rightarrow x_0$ において一定の極限値 $\alpha$ をもつとき、 $f(x)$ は $x_0$ において微分可能であるという。

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今日のまとめ
5.　1変数関数の微分
次回

5.　1変数関数の微分

　区間 $I=(a,b)$ で定義された関数 $y=f(x)$ を考える。 $x_0\in I$ に対して関数

$\begin{aligned} \psi(x)=\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \end{aligned}$

は $I\cap\{x_0\}^{C}$ で定義される。この $\psi(x)$ は $x$ の変化 $\Delta x = x-x_0$ に対する $x$ の変化 $\Delta y = f(x)-f(x_0)$ の平均変化率 $\displaystyle{\frac{\Delta f}{\Delta x}}$ を意味する。このとき

微分可能の定義　区間 $I=(a,b)$ で定義された関数 $y=f(x)$ を考える。 $x_0\in I$ に対して関数

$\begin{aligned} \psi(x)=\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \end{aligned}$

が $x\rightarrow x_0$ において一定の極限値 $\alpha$ をもつとき、 $f(x)$ は $x_0$ において微分可能であるといい、この極限値 $\alpha$ を $f^{\prime}(x_0)$ と表す。この $f^{\prime}(x_0)$ を $f(x)$ の $x=x_0$ における微分係数という。

　微分係数は

$\begin{aligned} f^{\prime}(x_0)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} \end{aligned}$