やりなおしの数学・微分積分篇（10/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

前回

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今日のまとめ

高校数学に依らない方法で初等関数を定義する。

前回
今日のまとめ
4.　数列
- 4.11　初等関数の定義
次回

4.　数列

　前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。

4.11　初等関数の定義

　以上を用いて、初等関数を定義する。

4.11.1　冪関数 $x^p,\ p\in\mathbb{Q}$

　まず $m\in\mathbb{N}$ に対して $y=f(x)=x^m,x\geq0$ を考えると、 $x\geq0$ において狭義単調増加な連続関数である。したがって

$\begin{aligned} x=f^{-1}(y)=y^{\frac{1}{m}},\ y\geq0 \end{aligned}$

が定まる。ここで $x,y$ を入れ替えることで狭義単調増加な連続関数 $y=x^{\frac{1}{m}}$ が定まる。
　次に、 $y=g(x)=x^{\frac{1}{m} }$ とおき、 $f(y)=y^n$ との合成関数を考えることで

$\begin{aligned} x^{\frac{n}{m}} \end{aligned}$

を定義できる。

4.11.2　指数関数 $a^x,\ a\gt0,\ a\neq1$

　 $xx\lt0$ のときは $a^x=\displaystyle{\frac{1}{a^{-x} } }$ とすればよい。また $0\lt a\lt1$ のときは $a^x=\left(\displaystyle{\frac{1}{a}}\right)^{-x}$ によって定めればよい。そこで $a\gt1,x\geq0$ としても一般性を失わない。
　 $x\in\mathbb{Q},\ x\gt0$ とすると $x=\displaystyle{\frac{n}{m} }$ と表される。そこで冪関数と同様の議論から $a^{x}$ を定義できる。また $x,y\in\mathbb{Q}$ について

$\begin{aligned} a^{x+y}=a^xa^y,\ (a^x)^y=a^{xy},\ (ab)^x=a^xb^x \end{aligned}$

を満たす。また $p\lt q$ であるような $p,q\in\mathbb{Q}$ について $a^p\lt a^q$ を満たす。
　次に $x$ が無理数である場合、

$\begin{aligned} a^{x}=\sup\{a^p|p\in\mathbb{Q},p\lt x\} \end{aligned}$

により定義する。実際、 $x\lt q$ を満たすような有理数 $q$ を取れば、 $p\in\mathbb{Q},p\lt x$ を満たすようなすべての $p$ に対して $a^p\lt M=a^q$ である。したがって $a^{x}=\sup\{a^p|p\in\mathbb{Q},p\lt x\}$ において上限を定義する集合は有界となり、 $\sup\{a^p|p\in\mathbb{Q},p\lt x\}$ が有限値として確定し、 $a^x$ が定まる。上限の定義から $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}p_n}=x,p_n\lt x,p_n\in\mathbb{Q}$ および

$\begin{aligned} a^x=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a^{p_n}} \end{aligned}$

を満たすような単調増加列 $\{p_n\}$ が存在する。
　 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}q_n}=x,\ q_n\lt x,\ q_n\in\mathbb{Q}$ を満たすような任意の単調増加列 $\{q_n\}$ についても $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a^{q_n}}=a^x$ が成立する。これを示すべく、 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a^{q_n}}=\alpha$ とおく。
　 $p_n\lt x$ に対して $\displaystyle{\lim_{m\rightarrow\infty}q_m}=x$ であるから、 $m\in\mathbb{N}$ を十分に大きく取れば $p_n\lt q_m\lt x$ を満たすように $q_m$ を取ることが出来る。これより $a^{p_n}\lt a^{q_m}\leq \alpha$ が成り立つから、 $n\rightarrow\infty$ とすれば $a^x\leq \alpha$ が成立し、 $\{p_n\},\ \{q_n\}$ を入れ替えることで $a^x\geq \alpha$ も導かれる。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a^{p_n}}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a^{q_n}} \end{aligned}$

　以上から、

$\begin{aligned} a^x=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a^{p_n}} \end{aligned}$

で指数関数を定義すると、実数の範囲内で $a^x$ を定義できる。
　この連続性を考える。 $f(x)=a^x$ とおくとき、任意の $x\in\mathbb{R}$ において、 $a^x$ の単調性から

$\begin{aligned} {}^{\exists!}f(x-0),f(x+0)\ .s.t\ f(x-0)=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow+0}f(x-h)},\ f(x+0)=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow+0}f(x+h)} \end{aligned}$

および $f(x-0)\leq f(x+0)$ が成り立つ。
　今示したいのは、 $f(x-0)=f(x+0)$ である。有理数の稠密性から $p\lt x\lt q$ を満たすような $p,q\in\mathbb{Q}$ を取れば、単調性から

$\begin{aligned} a^p\lt a^x\lt a^q \end{aligned}$

が成り立つ。 $a^q-a^p=a^p(a^{q-p}-1)$ であり、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して $0\lt q-p\lt \displaystyle{\frac{1}{n}$ を満たすような $p,q\in\mathbb{Q}$ が取れる。しかも $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a^{\frac{1}{n}}}=1$ であるから、 $p,q\in\mathbb{Q}\ s.t\ p\lt x\lt q$ を $x$ の充分近くに取れば、 $a^q-a^p$ はどれだけでも小さく取ることが出来る。したがって $f(x-0)=f(x+0)$ を示すことが出来る。以上から連続性も成り立つ。

4.11.　対数関数

　 $a\gt1$ ならば指数関数 $y=f(x)=a^{x}$ は狭義単調増加な連続関数である。この値域は $(0,\infty)$ である。また $0\lt a\lt1$ のとき $y=a^x$ は狭義単調減少な連続関数であり、この値域は $(0,\infty)$ である。したがって $y\in(0,\infty)$ に対して $y=f(x)$ より逆関数 $x=f^{-1}(y)$ が定まる。 $x,y$ を入れ替えて