定番書
を基に線形代数を学び直していく。
今日のまとめ
7. ベクトルおよび行列の解析的取扱い
7.1 ベクトルおよび行列関数の微積分
行列の微分は以下の性質を持つ:
- 微分可能行列関数
に対して
- 微分可能行列関数
に対して
(
の
余因子を
とおくと、
の
成分は
また、逆行列の定義および3番目の性質より
であり、左辺第1項を右辺に移項した上で、両辺に左からを掛けることで
が得られる。)
行列のTaylor展開
7.2 行列の冪級数
次正方行列
に対して行列の級数
をの冪級数という。
の収束性に帰着し、主張は正しい。
(ii) がJordan行列である場合、
(
は対角行列、
は冪零行列で、
)とおく。このとき
とすれば、
に対して
が成り立つ。したがって行列の冪級数の収束性は個の冪級数
の収束性に一致する。これは
を
回だけ項別微分したものの
倍であるから、その収束半径は
である。
は対角行列であるから主張は正しい。
(iii)が一般の行列の場合、
が正則行列ならば、2つの冪級数
は同時に収束または発散する。がジョルダン行列になるように
を選ぶことが可能であるから、(ii)より、主張は正しい。
)
7.2.1 行列の指数級数
指数級数
は任意の行列に対して収束する。これを
と書き、写像
を行列の指数関数という。すなわち
である。
上記から
が成り立つ。の固有値を
とおけば、
の固有値は
ですべて正である。したがって
が成り立ち、は必ず正則となる。また
が成り立つ。
である。
さらに行列が交換可能ならば
である。が交代行列ならば
は直交行列である。逆にすべての
に対して
が直交行列ならば
は交代行列である。また
が実対称行列ならば
は正値対称行列である。逆にすべての
に対して
が実対称行列ならば
は実対称行列である。実際、
が交代行列ならば
が成り立つ。このとき
である。したがっては直交行列である。逆に
がすべて直交行列ならば
が成り立つが、この両辺をについて微分し
を代入することで
となる。
またが実対称行列であると仮定する。このとき
が成り立ち、
であり、の各成分が実数であるから
である。また
の両辺をに関して微分し
を代入することで
7.3 行列のノルム
に対して
で2-ノルムおよび1-ノルムを定義する。また
で作用素ノルムを定義する。
これらについて
(a) 。また
ならば
(b) の型が一致するならば、
(c)
(d) 積が定義できるならば
が成り立つ。について、実際、
であり、任意のに対し
であるから
である。また
を仮定する。
であるが、任意のに対し
の定義から
となる。したがって任意のに対して
となるからである。
次に2-ノルムでの成立を前提とすれば
さらに
そして
また
が成り立つため、無限列が
に収束するための条件
はいずれのノルムに対しても成り立つ。
7.3.1 Cauchyの収束判定法
型行列の無限列
が収束するためには任意の正数
に対し充分大きな
を選んで、
である限り
が成り立つようにできることが必要十分である。