やりなおしの数学・微分積分篇（11/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

前回

今日のまとめ

数列 $\{a_n\}$ が与えられたときに、
$\begin{aligned}\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots\end{aligned}$
を無限級数という

前回
今日のまとめ
4.　数列
- 4.12　無限級数の導入
- 4.13　級数の収束判定
  - 4.13.1　正項級数
  - 4.13.2　比較判定法
次回

4.　数列

　前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。

4.12　無限級数の導入

　数列 $\{a_n\}$ が与えられたときに、

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots \end{aligned}$

を無限級数という。

$\begin{aligned} S_n=&\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k},\\ \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}=&\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_n} \end{aligned}$

として、数列 $\{S_n\}$ の収束性を以て無限級数の収束を判定する。

定義：無限級数の収束性　数列 $\{a_n\}$ に対し

$\begin{aligned} S_n=&\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k},\\ \end{aligned}$

で数列 $\{S_n\}$ を定義する。
　 $n\rightarrow\infty$ で $\{S_n\}$ が収束するとき、級数 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}$ は収束するといい、 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_n}=\alpha$ ならば

$\begin{aligned} \alpha=\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k} \end{aligned}$

と書く。また $\{S_n\}$ が発散するとき、級数 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}$ は発散するという。

　数列の判定条件を利用すると、数列 $\{S_n\}$ が収束する必要十分条件は、 $m\gt n$ について

$\begin{aligned} \left|S_m-S_n\right|=\left|\displaystyle{\sum_{k=n+1}^{\infty}a_k}\right|\rightarrow 0\ (m,n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

が成り立つことである。
　また $m=n+1$ とすることで、以下が得られる。

級数の収束と数列の収束　級数 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}S_k}$ が収束するならば、 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=0$ が成り立つ。

4.13　級数の収束判定

4.13.1　正項級数

　各項 $a_k$ について $a_k\geq0$ がなりたつような級数 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}S_k}$ を正項級数という。この収束性を考える。各項が正であるから、部分和 $S_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}$ は単調増加列である。したがって数列 $\{S_n\}$ は有界であるか、発散する。
　この収束性について以下が成り立つ。

正項級数の収束性　正項級数 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}S_k}$ が収束することと数列 $\{S_n\}$ が収束することは同値である。

4.13.2　比較判定法

収束性の判定：比較判定法　2つの正項級数 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k},\ \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}b_k}$ について、ある定数 $C\gt0$ を選べば、有限個の $n\in\mathbb{N}$ を取り除くことで

$\begin{aligned} a_n\leq C b_n \end{aligned}$

とする。このとき、

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}b_k}$ が収束するならば、 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}$ も収束する。
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}$ が発散するならば、 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}b_k}$ も発散する。

（ $\because$ 　仮定より、 $N$ を大きく取ることで ${}^{\forall}k\in\mathbb{N}\ s.t.\ k\geq N$ について $a_k\leq Cb_k$ が成り立ち、

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{k=N}^{n}a_k}\leq C\displaystyle{\sum_{k=N}^{n}b_k} \end{aligned}$

となる。
(a) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}b_k}=M\lt\infty$ とする。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{k=N}^{n}a_k}\leq CM \end{aligned}$

である。したがって左辺に $a_1,a_2,\cdots,a_{N-1}$ を加えることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}\leq a_1+a_2+\cdots+a_{N-1}+C\displaystyle{\sum_{k=N}^{n}b_k}\lt\infty \end{aligned}$

が成り立つから、 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}$ も収束する。

(b) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}$ が発散するならば、

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}\leq C\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}b_k} \end{aligned}$

の左辺 $\rightarrow\infty (n\rightarrow\infty)$ であるから、 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}b_k}\rightarrow\infty (n\rightarrow\infty)$ が成立する。　 $\blacksquare$ ）

　比較判定法の実例を扱う。

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3+1}}$

　 $0\lt n^3 \lt n^3+1$ であるから、

$\begin{aligned} 0\lt\displaystyle{\frac{n}{n^3+1}}\lt \displaystyle{\frac{n}{n^3}}=\displaystyle{\frac{1}{n^2}} \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k^3+1}}\lt \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}} \end{aligned}$

である。また $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}}$ について、

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{1}{k^2}}\lt \displaystyle{\frac{1}{k(k-1)}}=\displaystyle{\frac{1}{k-1}}-\displaystyle{\frac{1}{k}} \end{aligned}$

であるから、 $m\gt n$ に対して部分和 $\{S_n\}$ に関し

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{k=n+1}^{m}\frac{1}{k^2}}\lt \displaystyle{\sum_{k=n+1}^{m}\frac{1}{k(k-1)}}=\displaystyle{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}}\rightarrow0 (m,n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}}\rightarrow0 (n\rightarrow\infty)$ であるから、 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3+1}}$ は収束する。

Cauchyの判定法　 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}$ を正項級数とする。このとき、

$\displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}a_{k}^{\frac{1}{n}}}=r\lt1$ ならば $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}$ は収束する。
$\displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}a_{k}^{\frac{1}{n}}}=r\gt1$ ならば $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}$ は発散する。

（ $\because$ 　 $r\lt1$ とする。 $\varepsilon\gt0$ を $r+\varepsilon\lt1$ を満たすように充分小さく取ると、極限の定義より $N$ を十分大きく取れば ${}^{\forall}n\in\mathbb{N}\ s.t.\ n\geq N$ について

$\begin{aligned} {a_n}^{\frac{1}{n}}\lt r+\varepsilon,\ a_n\lt (r+\varepsilon)^{n} \end{aligned}$

が成り立つ。ここで $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}(r+\varepsilon)^n}$ は収束するから、級数 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}$ は収束する。

(b) $\displaystyle{{a_n}^{\frac{1}{n}}}=r\gt1$ であるから、充分大きい $n$ について $a_n\geq1$ っである。したがって $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=0$ とはならないから、級数は発散する。　 $\blacksquare$ ）

d'Alembertの判定法　数列 $\{a_n\}$ について正項級数 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}$ とする。このとき、

$\displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}}=r\lt1$ ならば $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}$ は収束する。
$\displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}}=r\gt1$ ならば $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}$ は発散する。

（ $\because$
(a)　 $r\lt1$ とする。 $\varepsilon\gt0$ を $r+\varepsilon\lt1$ を満たすように取ると、 $N$ を十分に大きく取れば、

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\lt r+\varepsilon(n\geq N) \end{aligned}$

が成り立つ。特に $n\geq N$ ならば $a_n\lt (r+\varepsilon)^{n-N}a_N$ となる。公比が $1$ よりも小さい等比級数の収束性から級数 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}$ は収束する。

(b)　 $r\gt1$ であるから、充分大きい $N$ を取れば $n\geq N$ のとき $a_{n+1}\gt a_n$ 、すなわち

$\begin{aligned} a_n\gt a_{n-1}\gt\cdots\gt a_N \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=0$ とはならないため、級数は発散する。　 $\blacksquare$ ）

　Cauchyの判定法やd'Alembertの判定法が使えない場合がある。たとえば $p\gt0$ のときに $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}}$ の収束・発散を考える。このとき $a_n=\displaystyle{\frac{1}{n^p}}$ とおくと、

$\begin{aligned} {a_n}^{\frac{1}{n}}=\displaystyle{\frac{1}{n^{\frac{p}{n}}}}\lt1,\ \displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\displaystyle{\frac{n^p}{(n+1)^p}}\lt1 \end{aligned}$

が成り立つ。しかし、

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}{a_k}^{\frac{1}{k}}}=&1,\\ \displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}}=&1 \end{aligned}$

であるから、Cauchyの判定法およびd'Alembertの判定法の適用範囲外にある。

　最後に積分を用いた収束判定法を扱う。

級数 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}},\ p\gt0$ は、 $p\gt1$ で収束し、 $0\lt p\lt1$ で発散する。

　収束を議論すべく、部分和 $S_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^p}}$ を考える。このとき $f(x)=\displaystyle{\frac{1}{x^p}}$ は単調減少であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{1}^{n+1}\frac{1}{x^p}dx}\lt S_n\lt \displaystyle{\int_{1}^{n}\frac{1}{x^p}dx} \end{aligned}$

が成り立つ。他方で

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{1}^{m}\frac{1}{x^p}dx}=\begin{cases} \displaystyle{\frac{1}{p-1}(1-m^{1-p})},&p\neq1\\ \log m,&p=1 \end{cases} \end{aligned}$