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4. 数列
前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。
4.12 無限級数の導入
数列が与えられたときに、
を無限級数という。
数列の判定条件を利用すると、数列が収束する必要十分条件は、
について
が成り立つことである。
またとすることで、以下が得られる。
4.13 級数の収束判定
4.13.1 正項級数
各項について
がなりたつような級数
を正項級数という。この収束性を考える。各項が正であるから、部分和
は単調増加列である。したがって数列
は有界であるか、発散する。
この収束性について以下が成り立つ。
4.13.2 比較判定法
(となる。
(a) とする。このとき
である。したがって左辺にを加えることで
が成り立つから、も収束する。
(b) が発散するならば、
の左辺であるから、
が成立する。
)
比較判定法の実例を扱う。
であるから、
が成り立つ。したがって
である。またについて、
であるから、に対して部分和
に関し
が成り立つ。したがってであるから、
は収束する。
が成り立つ。ここでは収束するから、級数
は収束する。
(b) であるから、充分大きい
について
っである。したがって
とはならないから、級数は発散する。
)
(
(a) とする。
を
を満たすように取ると、
を十分に大きく取れば、
が成り立つ。特にならば
となる。公比が
よりも小さい等比級数の収束性から級数
は収束する。
(b) であるから、充分大きい
を取れば
のとき
、すなわち
が成り立つ。したがってとはならないため、級数は発散する。
)
Cauchyの判定法やd'Alembertの判定法が使えない場合がある。たとえばのときに
の収束・発散を考える。このとき
とおくと、
が成り立つ。しかし、
であるから、Cauchyの判定法およびd'Alembertの判定法の適用範囲外にある。
最後に積分を用いた収束判定法を扱う。
- 級数
は、
で収束し、
で発散する。
収束を議論すべく、部分和を考える。このとき
は単調減少であるから、
が成り立つ。他方で
である。
のとき積分は
のときに収束し、
のときに発散する。したがって
より級数も
のときに収束し、
のときに発散する。