「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

MENU

やりなおしの数学・微分積分篇(11/X)

以下の書籍

www.rokakuho.co.jp

を参考に、改めて微分積分を復習していく。

4. 数列

 前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。

4.12 無限級数の導入

 数列\{a_n\}が与えられたときに、


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots
\end{aligned}

を無限級数という。


\begin{aligned}
S_n=&\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k},\\
\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}=&\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_n}
\end{aligned}
として、数列\{S_n\}の収束性を以て無限級数の収束を判定する。


定義:無限級数の収束性 数列\{a_n\}に対し

\begin{aligned}
S_n=&\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k},\\
\end{aligned}

で数列\{S_n\}を定義する。
 n\rightarrow\infty\{S_n\}が収束するとき、級数\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}は収束するといい、\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_n}=\alphaならば


\begin{aligned}
\alpha=\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}
\end{aligned}

と書く。また\{S_n\}が発散するとき、級数\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}は発散するという。

 数列の判定条件を利用すると、数列\{S_n\}が収束する必要十分条件は、m\gt nについて


\begin{aligned}
\left|S_m-S_n\right|=\left|\displaystyle{\sum_{k=n+1}^{\infty}a_k}\right|\rightarrow 0\ (m,n\rightarrow\infty)
\end{aligned}

が成り立つことである。
 またm=n+1とすることで、以下が得られる。


級数の収束と数列の収束 級数\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}S_k}が収束するならば、\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=0が成り立つ。

4.13 級数の収束判定

4.13.1 正項級数

 各項a_kについてa_k\geq0がなりたつような級数\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}S_k}を正項級数という。この収束性を考える。各項が正であるから、部分和S_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}は単調増加列である。したがって数列\{S_n\}有界であるか、発散する。
 この収束性について以下が成り立つ。


正項級数の収束性 正項級数\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}S_k}が収束することと数列\{S_n\}が収束することは同値である。

4.13.2 比較判定法


収束性の判定:比較判定法 2つの正項級数\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k},\ \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}b_k}について、ある定数C\gt0を選べば、有限個のn\in\mathbb{N}を取り除くことで

\begin{aligned}
a_n\leq C b_n
\end{aligned}

とする。このとき、

  1. \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}b_k}が収束するならば、\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}も収束する。
  2. \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}が発散するならば、\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}b_k}も発散する。

\because 仮定より、Nを大きく取ることで{}^{\forall}k\in\mathbb{N}\ s.t.\ k\geq Nについてa_k\leq Cb_kが成り立ち、

\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{k=N}^{n}a_k}\leq C\displaystyle{\sum_{k=N}^{n}b_k}
\end{aligned}

となる。
(a) \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}b_k}=M\lt\inftyとする。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{k=N}^{n}a_k}\leq CM
\end{aligned}

である。したがって左辺にa_1,a_2,\cdots,a_{N-1}を加えることで


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}\leq a_1+a_2+\cdots+a_{N-1}+C\displaystyle{\sum_{k=N}^{n}b_k}\lt\infty
\end{aligned}

が成り立つから、\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}も収束する。

(b) \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}が発散するならば、


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}\leq C\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}b_k}
\end{aligned}

の左辺\rightarrow\infty (n\rightarrow\infty)であるから、\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}b_k}\rightarrow\infty (n\rightarrow\infty)が成立する。 \blacksquare

 比較判定法の実例を扱う。

  • \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3+1}}

 0\lt n^3 \lt n^3+1であるから、


\begin{aligned}
0\lt\displaystyle{\frac{n}{n^3+1}}\lt \displaystyle{\frac{n}{n^3}}=\displaystyle{\frac{1}{n^2}}
\end{aligned}

が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k^3+1}}\lt \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}}
\end{aligned}

である。また\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}}について、


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{1}{k^2}}\lt \displaystyle{\frac{1}{k(k-1)}}=\displaystyle{\frac{1}{k-1}}-\displaystyle{\frac{1}{k}}
\end{aligned}

であるから、m\gt nに対して部分和\{S_n\}に関し


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{k=n+1}^{m}\frac{1}{k^2}}\lt \displaystyle{\sum_{k=n+1}^{m}\frac{1}{k(k-1)}}=\displaystyle{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}}\rightarrow0 (m,n\rightarrow\infty)
\end{aligned}

が成り立つ。したがって\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}}\rightarrow0 (n\rightarrow\infty)であるから、 \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3+1}}は収束する。


Cauchyの判定法 \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}を正項級数とする。このとき、

  1. \displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}a_{k}^{\frac{1}{n}}}=r\lt1ならば\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}は収束する。
  2. \displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}a_{k}^{\frac{1}{n}}}=r\gt1ならば\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}は発散する。

\because r\lt1とする。\varepsilon\gt0r+\varepsilon\lt1を満たすように充分小さく取ると、極限の定義よりNを十分大きく取れば{}^{\forall}n\in\mathbb{N}\ s.t.\ n\geq Nについて

\begin{aligned}
{a_n}^{\frac{1}{n}}\lt r+\varepsilon,\ a_n\lt (r+\varepsilon)^{n}
\end{aligned}

が成り立つ。ここで\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}(r+\varepsilon)^n}は収束するから、級数\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}は収束する。

(b) \displaystyle{{a_n}^{\frac{1}{n}}}=r\gt1であるから、充分大きいnについてa_n\geq1っである。したがって\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=0とはならないから、級数は発散する。 \blacksquare



d'Alembertの判定法 数列\{a_n\}について正項級数\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}とする。このとき、

  1. \displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}}=r\lt1ならば\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}は収束する。
  2. \displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}}=r\gt1ならば\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}は発散する。

\because
(a) r\lt1とする。\varepsilon\gt0r+\varepsilon\lt1を満たすように取ると、Nを十分に大きく取れば、


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\lt r+\varepsilon(n\geq N)
\end{aligned}

が成り立つ。特にn\geq Nならばa_n\lt (r+\varepsilon)^{n-N}a_Nとなる。公比が1よりも小さい等比級数の収束性から級数\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}a_k}は収束する。

(b) r\gt1であるから、充分大きいNを取ればn\geq Nのときa_{n+1}\gt a_n、すなわち


\begin{aligned}
a_n\gt a_{n-1}\gt\cdots\gt a_N
\end{aligned}

が成り立つ。したがって\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=0とはならないため、級数は発散する。 \blacksquare


 Cauchyの判定法やd'Alembertの判定法が使えない場合がある。たとえばp\gt0のときに\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}}の収束・発散を考える。このときa_n=\displaystyle{\frac{1}{n^p}}とおくと、


\begin{aligned}
{a_n}^{\frac{1}{n}}=\displaystyle{\frac{1}{n^{\frac{p}{n}}}}\lt1,\ \displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\displaystyle{\frac{n^p}{(n+1)^p}}\lt1
\end{aligned}

が成り立つ。しかし、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}{a_k}^{\frac{1}{k}}}=&1,\\
\displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}}=&1
\end{aligned}

であるから、Cauchyの判定法およびd'Alembertの判定法の適用範囲外にある。

 最後に積分を用いた収束判定法を扱う。

  • 級数\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}},\ p\gt0は、p\gt1で収束し、0\lt p\lt1で発散する。

 収束を議論すべく、部分和S_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^p}}を考える。このときf(x)=\displaystyle{\frac{1}{x^p}}は単調減少であるから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{1}^{n+1}\frac{1}{x^p}dx}\lt S_n\lt \displaystyle{\int_{1}^{n}\frac{1}{x^p}dx}
\end{aligned}

が成り立つ。他方で


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{1}^{m}\frac{1}{x^p}dx}=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{1}{p-1}(1-m^{1-p})},&p\neq1\\
\log m,&p=1
\end{cases}
\end{aligned}

である。
 m\rightarrow\inftyのとき積分p\gt1のときに収束し、p\leq1のときに発散する。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{1}^{n+1}\frac{1}{x^p}dx}\lt S_n\lt \displaystyle{\int_{1}^{n}\frac{1}{x^p}dx}
\end{aligned}

より級数\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^p}}p\gt1のときに収束し、p\leq1のときに発散する。

プライバシーポリシー お問い合わせ