「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

MENU

やりなおしの数学・線形代数篇(08/26)

 定番書

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ

  • 集合Vが以下の2つの条件を満たすとき、V線型空間(もしくはベクトル空間)という。

    (1)加法\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}が定義されており、これに対し以下が成り立つ:

    \ \ \ (a) (\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})

    \ \ \ (b) \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}

    \ \ \ (c) {}^{\exists!}\boldsymbol{o}\ s.t.\ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{o}=\boldsymbol{o}+\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}

    \ \ \ (d) {}^{\exists!}\boldsymbol{x}^{-1}\ s.t.\ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^{-1}=\boldsymbol{x}^{-1}+\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}

    (2)複素数c\in\mathbb{C}に対しスカラーc\boldsymbol{x}が定義され、これに対し以下が成り立つ:

    \ \ \ (e) (a+b)\boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}

    \ \ \ (f) a(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y}

    \ \ \ (g) (ab)\boldsymbol{x}=a(b\boldsymbol{x})

    \ \ \ (h) 1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}

4. 線形空間

4.1 集合と写像

 集合Aがあるとき、


\begin{aligned}
B=\{a|a\in A\}
\end{aligned}

Aの部分集合という。このときB\subset Aと書く。
 元がまったくない集合を空集合\emptysetという。
 集合A,Bがあるとき、


\begin{aligned}
\{x|x \in A \land x\in B\},\\
\{x|x \in A \lor x\in B\}
\end{aligned}

をそれぞれA,Bの共通部分、和集合という。

4.1.1 集合の諸性質
  • (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)
  • (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)
  • A\subset A\cup B,\ A\supset A\cap B
  • A\supset B\Longrightarrow A\cap B=B,\ A\cup B=A
  • (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)
  • (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)
4.1.2 集合の相似

 n次正方行列全体の集合M_nを考える。A,B\in M_nに対して{}^{\exists}P s.t.\ P^{-1}AP=Bが成り立つとき、ABは相似であるといい、A\sim Bで表す。
 このとき、以下が成り立つ:

  • (反射律)A\sim A
  • (対称律)A\sim B \Longrightarrow B\sim A
  • (推移律)A\sim B, B\sim C\Longrightarrow A\sim C

\because 1番目について、P=Iとすれば、I^{-1}=Iに注意すれば、


\begin{aligned}
P^{-1}AP=IAI=A
\end{aligned}

である。したがってA\sim Aである。
 2番目について、A\sim Bと仮定する。このとき{}^{\exists}P s.t.\ P^{-1}AP=Bである。(P^{-1})^{-1}=Pに注意すれば、


\begin{aligned}
(P^{-1})^{-1}BP^{-1}=PBP^{-1}=PP^{-1}APP^{-1}=(PP^{-1})A(PP^{-1})=A
\end{aligned}

である。したがってA\sim B \Longrightarrow B\sim Aが成り立つ。
 3番目について、A\sim B, B\sim Cと仮定する。このとき{}^{\exists}P_1 s.t.\ P_1^{-1}AP_1=B,\ {}^{\exists}P_2 s.t.\ P_2^{-1}BP_2=Cであるから、


\begin{aligned}
P_2^{-1}BP_2=C\Leftrightarrow P_2^{-1}(P_1^{-1}AP_1)P_2=C\Leftrightarrow (P_{1}P_{2})^{-1}A(P_1P_2)=C
\end{aligned}

が成り立つ。これはA\sim Cに他ならない。 \blacksquare

4.1.3 同値関係

 ある集合の任意の2つの元において定義された関係\simについて、反射律、対称律、推移律のすべてが成り立つとき、関係\simは同値関係であるという。互いに同値な元をひとまとめにした集合B\subset Aを関係\simによる類という。2つの類は等しくない限り互いに素である。集合Aに1つの同値関係\simが存在するとき、それによる類を元とするような集合をA\simによる商集合という。

4.1.4 集合間における写像の性質

 集合AからBへの写像Tがある。b\in Bに対してTa=bを満たすようなa\in AbTによる逆像という。逆像は1つだけとは限らず、存在しないこともあり得る。bの逆像全体を全逆像といいT^{^-1}(b)と書く:


\begin{aligned}
T^{-1}(b)=\{a\in A| Ta=b\}
\end{aligned}

 {}^{\forall}a_1\neq {}^{\forall}a_2\ a_1,a_2\in Aに対してT(a_1)\neq T(a_2)が成り立つとき、T1対1写像という。B\supset B^{\prime}=\{b\in B| ({}^{\forall}a\in A)(b=T(a)) \}ATによるといい、T(A)と書く。T(A)=Bが成り立つとき、TAからBへの上への写像という。AからBへの上への一対一写像AからBとの間の一対一対応という。
 写像T({}^{\forall}a\in A)(Ta=a)を満たすとき、T恒等変換という。
 写像TAからBへの写像写像SBからAへの写像で、S\circ T=I_A,\ T\circ S=I_Bが成り立つとき、ST写像という。

4.2 線形空間

4.2.1 線形空間の定義


線形空間(ベクトル空間)の定義\ \ 集合Vが以下の2つの条件を満たすとき、Vを線型空間(もしくはベクトル空間)\\
という。\\
\ \ \ \ (1)\ 加法\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}が定義されており、これに対し以下が成り立つ:\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a)\ (\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (b)\ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (c)\ {}^{\exists!}\boldsymbol{o}\ s.t.\ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{o}=\boldsymbol{o}+\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (d)\ {}^{\exists!}\boldsymbol{x}^{-1}\ s.t.\ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^{-1}=\boldsymbol{x}^{-1}+\boldsymbol{x}=\boldsymbol{o}\\
\ \ \ \ (2)\ 複素数c\in\mathbb{C}に対しスカラー倍c\boldsymbol{x}が定義され、これに対し以下が成り立つ:\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (e)\ (a+b)\boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (f)\ a(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y}\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (g)\ (ab)\boldsymbol{x}=a(b\boldsymbol{x})\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (h)\ 1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}


 \mathbb{R}上に定義された線形空間を特に実線形空間という。

4.2.2 線形写像


線型写像の定義 体K上の線形空間Vから体K上の線形空間V^{\prime}への写像Tが以下の2条件

  1. T(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=T\boldsymbol{x}+T\boldsymbol{y},\ \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V
  2. T(a\boldsymbol{x})=aT\boldsymbol{x},\ a\in K

を満たすとき、TVからV^{\prime}への線形写像という。

 V=V^{\prime}の場合は特に線形変換という。

 2つの線形写像T:V\rightarrow V^{\prime},\ S:V^{\prime}\rightarrow V^{\prime\prime}に対しこれらの合成写像ST=S\circ T:V\rightarrow V^{\prime\prime}もまた線形写像である。
 実際、{}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in Vを取り、\boldsymbol{a}=T(\boldsymbol{x}),\ \boldsymbol{b}=T(\boldsymbol{y})とおくと、\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in V^{\prime}である。線形写像の定義から、


\begin{aligned}
T(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=T\boldsymbol{x}+T\boldsymbol{y},\\
T(k\boldsymbol{x})=kT\boldsymbol{x},\ k\in K
\end{aligned}

が成り立ち、またSについて


\begin{aligned}
S(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=S\boldsymbol{a}+S\boldsymbol{b},\\
S(k\boldsymbol{a})=k S\boldsymbol{a},\ k\in K
\end{aligned}

が成り立つ。後者に前者を代入することで


\begin{aligned}
S(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=&S(T\boldsymbol{x}+T\boldsymbol{y})=S(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=ST\boldsymbol{x}+ST\boldsymbol{y},\\
S(k\boldsymbol{a})=&S(k T\boldsymbol{x})=S(T(k\boldsymbol{x}))=k S\boldsymbol{a}=k ST\boldsymbol{x}
\end{aligned}

を得る。これらはST線型写像であることに他ならない。 \blacksquare

 また線形写像T_1:V\rightarrow V^{\prime},\ T_2:V\rightarrow V^{\prime}に対して和T_1+T_2


\begin{aligned}
(T_1+T_2)\boldsymbol{x}=T_1\boldsymbol{x}+T_2\boldsymbol{x},\ \boldsymbol{x}\in V
\end{aligned}

で定義すると、この和も線形写像である。
 実際、線形写像の定義から\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V,\ k\in Kに対して


\begin{aligned}
T_1(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=&T_1\boldsymbol{x}+T_1\boldsymbol{y},\\
T_1(k\boldsymbol{x})=kT_1\boldsymbol{x},\\
T_2(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=&T_2\boldsymbol{x}+T_2\boldsymbol{y},\\
T_2(k\boldsymbol{x})=kT_2\boldsymbol{x}
\end{aligned}

が成り立つ。このとき和T_1+T_2について


\begin{aligned}
(T_1+T_2)(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=&T_1(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+T_2(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})\\
=&T_1\boldsymbol{x}+T_1\boldsymbol{y}+T_2\boldsymbol{x}+T_2\boldsymbol{y}\\
=&T_1\boldsymbol{x}+T_2\boldsymbol{x}+T_1\boldsymbol{y}+T_2\boldsymbol{y}\\
=&(T_1+T_2)\boldsymbol{x}+(T_1+T_2)\boldsymbol{y},\\
(T_1+T_2)(k\boldsymbol{x})=&T_1(k\boldsymbol{x})+T_2(k\boldsymbol{x})\\
=&kT_1\boldsymbol{x}+kT_2\boldsymbol{x}\\
=&k(T_1\boldsymbol{x}+T_2\boldsymbol{x})\\
=&k(T_1+T_2)\boldsymbol{x}
\end{aligned}

これは和T_1+T_2線型写像であることに他ならない。


同型写像 VからV^{\prime}への線形写像\varphiが上への一対一写像であるとき、\varphiVからV^{\prime}への同型写像という。またK上での2つの線形空間VV^{\prime}との間に同型写像が存在するとき、VV^{\prime}は互いに同型であるという。

プライバシーポリシー お問い合わせ