やりなおしの数学・線形代数篇（08/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
4.　線形空間
- 4.1　集合と写像
- 4.2　線形空間
  - 4.2.1　線形空間の定義
  - 4.2.2　線形写像

今日のまとめ

集合 $V$ が以下の2つの条件を満たすとき、 $V$ を線型空間（もしくはベクトル空間）という。
(1)加法 $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}$ が定義されており、これに対し以下が成り立つ：
$\ \ \$ (a) $(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})$
$\ \ \$ (b) $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}$
$\ \ \$ (c) ${}^{\exists!}\boldsymbol{o}\ s.t.\ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{o}=\boldsymbol{o}+\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}$
$\ \ \$ (d) ${}^{\exists!}\boldsymbol{x}^{-1}\ s.t.\ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^{-1}=\boldsymbol{x}^{-1}+\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
(2)複素数 $c\in\mathbb{C}$ に対しスカラー倍 $c\boldsymbol{x}$ が定義され、これに対し以下が成り立つ：
$\ \ \$ (e) $(a+b)\boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}$
$\ \ \$ (f) $a(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y}$
$\ \ \$ (g) $(ab)\boldsymbol{x}=a(b\boldsymbol{x})$
$\ \ \$ (h) $1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}$

4.　線形空間

4.1　集合と写像

　集合 $A$ があるとき、

$\begin{aligned} B=\{a|a\in A\} \end{aligned}$

を $A$ の部分集合という。このとき $B\subset A$ と書く。
　元がまったくない集合を空集合 $\emptyset$ という。
　集合 $A,B$ があるとき、

$\begin{aligned} \{x|x \in A \land x\in B\},\\ \{x|x \in A \lor x\in B\} \end{aligned}$

をそれぞれ $A,B$ の共通部分、和集合という。

4.1.1　集合の諸性質

$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$
$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
$A\subset A\cup B,\ A\supset A\cap B$
$A\supset B\Longrightarrow A\cap B=B,\ A\cup B=A$
$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$
$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$

4.1.2　集合の相似

　 $n$ 次正方行列全体の集合 $M_n$ を考える。 $A,B\in M_n$ に対して ${}^{\exists}P s.t.\ P^{-1}AP=B$ が成り立つとき、 $A$ と $B$ は相似であるといい、 $A\sim B$ で表す。
　このとき、以下が成り立つ：

（反射律） $A\sim A$
（対称律） $A\sim B \Longrightarrow B\sim A$
（推移律） $A\sim B, B\sim C\Longrightarrow A\sim C$

（ $\because$ 　1番目について、 $P=I$ とすれば、 $I^{-1}=I$ に注意すれば、

$\begin{aligned} P^{-1}AP=IAI=A \end{aligned}$

である。したがって $A\sim A$ である。
　2番目について、 $A\sim B$ と仮定する。このとき ${}^{\exists}P s.t.\ P^{-1}AP=B$ である。 $(P^{-1})^{-1}=P$ に注意すれば、

$\begin{aligned} (P^{-1})^{-1}BP^{-1}=PBP^{-1}=PP^{-1}APP^{-1}=(PP^{-1})A(PP^{-1})=A \end{aligned}$

である。したがって $A\sim B \Longrightarrow B\sim A$ が成り立つ。
　3番目について、 $A\sim B, B\sim C$ と仮定する。このとき ${}^{\exists}P_1 s.t.\ P_1^{-1}AP_1=B,\ {}^{\exists}P_2 s.t.\ P_2^{-1}BP_2=C$ であるから、

$\begin{aligned} P_2^{-1}BP_2=C\Leftrightarrow P_2^{-1}(P_1^{-1}AP_1)P_2=C\Leftrightarrow (P_{1}P_{2})^{-1}A(P_1P_2)=C \end{aligned}$

が成り立つ。これは $A\sim C$ に他ならない。　 $\blacksquare$ ）

4.1.3　同値関係

　ある集合の任意の2つの元において定義された関係 $\sim$ について、反射律、対称律、推移律のすべてが成り立つとき、関係 $\sim$ は同値関係であるという。互いに同値な元をひとまとめにした集合 $B\subset A$ を関係 $\sim$ による類という。2つの類は等しくない限り互いに素である。集合 $A$ に1つの同値関係 $\sim$ が存在するとき、それによる類を元とするような集合を $A$ の $\sim$ による商集合という。

4.1.4　集合間における写像の性質

　集合 $A$ から $B$ への写像 $T$ がある。 $b\in B$ に対して $Ta=b$ を満たすような $a\in A$ を $b$ の $T$ による逆像という。逆像は1つだけとは限らず、存在しないこともあり得る。 $b$ の逆像全体を全逆像といい $T^{^-1}(b)$ と書く：

$\begin{aligned} T^{-1}(b)=\{a\in A| Ta=b\} \end{aligned}$

　 ${}^{\forall}a_1\neq {}^{\forall}a_2\ a_1,a_2\in A$ に対して $T(a_1)\neq T(a_2)$ が成り立つとき、 $T$ を1対1写像という。 $B\supset B^{\prime}=\{b\in B| ({}^{\forall}a\in A)(b=T(a)) \}$ を $A$ の $T$ による像といい、 $T(A)$ と書く。 $T(A)=B$ が成り立つとき、 $T$ を $A$ から $B$ への上への写像という。 $A$ から $B$ への上への一対一写像を $A$ から $B$ との間の一対一対応という。
　写像 $T$ が $({}^{\forall}a\in A)(Ta=a)$ を満たすとき、 $T$ を恒等変換という。
　写像 $T$ が $A$ から $B$ への写像、写像 $S$ が $B$ から $A$ への写像で、 $S\circ T=I_A,\ T\circ S=I_B$ が成り立つとき、 $S$ を $T$ の逆写像という。

4.2　線形空間

4.2.1　線形空間の定義

線形空間（ベクトル空間）の定義 $\ \ 集合Vが以下の2つの条件を満たすとき、Vを線型空間（もしくはベクトル空間）\\ という。\\ \ \ \ \ (1)\ 加法\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}が定義されており、これに対し以下が成り立つ：\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a)\ (\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (b)\ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (c)\ {}^{\exists!}\boldsymbol{o}\ s.t.\ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{o}=\boldsymbol{o}+\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (d)\ {}^{\exists!}\boldsymbol{x}^{-1}\ s.t.\ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^{-1}=\boldsymbol{x}^{-1}+\boldsymbol{x}=\boldsymbol{o}\\ \ \ \ \ (2)\ 複素数c\in\mathbb{C}に対しスカラー倍c\boldsymbol{x}が定義され、これに対し以下が成り立つ：\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (e)\ (a+b)\boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (f)\ a(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (g)\ (ab)\boldsymbol{x}=a(b\boldsymbol{x})\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (h)\ 1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}$

　 $\mathbb{R}$ 上に定義された線形空間を特に実線形空間という。

4.2.2　線形写像

線型写像の定義　体 $K$ 上の線形空間 $V$ から体 $K$ 上の線形空間 $V^{\prime}$ への写像 $T$ が以下の2条件

$T(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=T\boldsymbol{x}+T\boldsymbol{y},\ \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V$
$T(a\boldsymbol{x})=aT\boldsymbol{x},\ a\in K$

を満たすとき、 $T$ を $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像という。

　 $V=V^{\prime}$ の場合は特に線形変換という。

　2つの線形写像 $T:V\rightarrow V^{\prime},\ S:V^{\prime}\rightarrow V^{\prime\prime}$ に対しこれらの合成写像 $ST=S\circ T:V\rightarrow V^{\prime\prime}$ もまた線形写像である。
　実際、 ${}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V$ を取り、 $\boldsymbol{a}=T(\boldsymbol{x}),\ \boldsymbol{b}=T(\boldsymbol{y})$ とおくと、 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in V^{\prime}$ である。線形写像の定義から、

$\begin{aligned} T(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=T\boldsymbol{x}+T\boldsymbol{y},\\ T(k\boldsymbol{x})=kT\boldsymbol{x},\ k\in K \end{aligned}$

が成り立ち、また $S$ について

$\begin{aligned} S(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=S\boldsymbol{a}+S\boldsymbol{b},\\ S(k\boldsymbol{a})=k S\boldsymbol{a},\ k\in K \end{aligned}$

が成り立つ。後者に前者を代入することで

$\begin{aligned} S(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=&S(T\boldsymbol{x}+T\boldsymbol{y})=S(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=ST\boldsymbol{x}+ST\boldsymbol{y},\\ S(k\boldsymbol{a})=&S(k T\boldsymbol{x})=S(T(k\boldsymbol{x}))=k S\boldsymbol{a}=k ST\boldsymbol{x} \end{aligned}$

を得る。これらは $ST$ が線型写像であることに他ならない。　 $\blacksquare$ ）

　また線形写像 $T_1:V\rightarrow V^{\prime},\ T_2:V\rightarrow V^{\prime}$ に対して和 $T_1+T_2$ を

$\begin{aligned} (T_1+T_2)\boldsymbol{x}=T_1\boldsymbol{x}+T_2\boldsymbol{x},\ \boldsymbol{x}\in V \end{aligned}$

で定義すると、この和も線形写像である。
　実際、線形写像の定義から $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V,\ k\in K$ に対して

$\begin{aligned} T_1(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=&T_1\boldsymbol{x}+T_1\boldsymbol{y},\\ T_1(k\boldsymbol{x})=kT_1\boldsymbol{x},\\ T_2(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=&T_2\boldsymbol{x}+T_2\boldsymbol{y},\\ T_2(k\boldsymbol{x})=kT_2\boldsymbol{x} \end{aligned}$

が成り立つ。このとき和 $T_1+T_2$ について

$\begin{aligned} (T_1+T_2)(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=&T_1(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+T_2(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})\\ =&T_1\boldsymbol{x}+T_1\boldsymbol{y}+T_2\boldsymbol{x}+T_2\boldsymbol{y}\\ =&T_1\boldsymbol{x}+T_2\boldsymbol{x}+T_1\boldsymbol{y}+T_2\boldsymbol{y}\\ =&(T_1+T_2)\boldsymbol{x}+(T_1+T_2)\boldsymbol{y},\\ (T_1+T_2)(k\boldsymbol{x})=&T_1(k\boldsymbol{x})+T_2(k\boldsymbol{x})\\ =&kT_1\boldsymbol{x}+kT_2\boldsymbol{x}\\ =&k(T_1\boldsymbol{x}+T_2\boldsymbol{x})\\ =&k(T_1+T_2)\boldsymbol{x} \end{aligned}$

これは和 $T_1+T_2$ が線型写像であることに他ならない。

同型写像　 $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像 $\varphi$ が上への一対一写像であるとき、 $\varphi$ は $V$ から $V^{\prime}$ への同型写像という。また $K$ 上での2つの線形空間 $V$ と $V^{\prime}$ との間に同型写像が存在するとき、 $V$ と $V^{\prime}$ は互いに同型であるという。

今日のまとめ

4. 線形空間

4.1 集合と写像

4.1.1 集合の諸性質

4.1.2 集合の相似

4.1.3 同値関係

4.1.4 集合間における写像の性質

4.2 線形空間

4.2.1 線形空間の定義

4.2.2 線形写像