やりなおしの数学・微分積分篇（09/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

前回

今日のまとめ

中間値の定理を用いると逆関数を構成できる。

$f:I\rightarrow \mathbb{R}$ が $I$ で一様連続であるとは任意の $\varepsilon\gt0$ に対して $\delta(\varepsilon)\gt0$ が存在し、
$\begin{aligned}{}^{\forall}x,y\in I\ s.t.\ \left|x-y\right|\lt \delta(\varepsilon)\ \left(\left|f(x)-f(y)\right|\lt\varepsilon\right)\end{aligned}$
が成り立つことをいう。

前回
今日のまとめ
4.　数列
- 4.9　中間値の定理の応用：逆関数の構成
- 4.10　一様連続性
次回

4.　数列

　前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。

4.9　中間値の定理の応用：逆関数の構成

　中間値の定理を用いると逆関数を構成できる。閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数 $f$ が狭義単調増加、すなわち

$\begin{aligned} a\leq x_1\lt x_2\leq b\Longrightarrow f(x_1)\lt f(x_2) \end{aligned}$

だとする。このとき中間値の定理より、任意の $y\in[f(a),f(b)]$ に対して $y=f(x)$ を満たすような $x\in[a,b]$ が存在し、しかも $f$ が狭義単調増加であるからそれは一意に定まる。このような対応

$\begin{aligned} y\rightarrow x \end{aligned}$

が $f$ の逆関数であり、 $x=f^{-1}(y)$ と表す。これは狭義単調減少でも成り立つ。

逆関数の連続性　 $f$ を閉区間 $[a,b]$ で狭義単調増加または狭義単調減少な連続関数であると仮定する。 $\alpha=f(a),\beta=f(b)$ に対して $[\min(\alpha,\beta),\max(\alpha,\beta)]$ で定義された逆関数 $f^{-1}$ が一意に定まり、 $f^{-1}$ も狭義単調増加または狭義単調減少な連続関数である。

（ $\because$ 　 $f^{-1}$ の連続性を示せば十分である。 $f$ が狭義単調増加であるとき、任意の点 $y_0\in[\alpha,\beta]$ において $h\in\mathbb{R}$ として

$\begin{aligned} f^{-1}(y_0+h)-f^{-1}(y_0) \end{aligned}$

を考える。
　 $h\gt0$ のとき、 $f^{-1}$ が狭義単調増加であることから

$\begin{aligned} x_h:=f^{-1}(y_0+h)\gt f^{-1}(y_0) \end{aligned}$

が成り立つ。 $h\downarrow 0$ のとき $x_h$ は単調に減少し、しかも下に有界である。したがって極限 $x_0=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow+0}x_h}$ が定まる。
　また $y_0+h=f(x_h)$ において $x\downarrow0$ とすれば、 $f$ の連続性より $y_0=f(x_0)$ 、すなわち $x_0=f^{-1}(y_0)$ であるから

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{h\rightarrow+0}x_h}=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow+0}f^{-1}(y_0+h)}=f^{-1}(y_0) \end{aligned}$

が成り立つ。また $h\lt0$ のときも同様の議論が成り立つから、 $f^{-1}$ の連続性が示される。　 $\blacksquare$ ）

4.10　一様連続性

　 $f$ が区間 $I$ で連続であるとは任意の $a\in I$ において $f$ が連続であることをいい、具体的には、

　任意の $a\in I,\varepsilon\gt0$ に対してある $\delta(a,\varepsilon)\gt0$ が存在し
$\begin{aligned} {}^{\forall}x\in I\ \ s.t.\ \ \left|x-a\right|\lt\delta(a,\varepsilon)\ \left( \left|f(x)-f(a)\right|\lt\varepsilon \right) \end{aligned}$

であった。ここで $\delta(a,\varepsilon)\gt0$ は $a$ および $\varepsilon$ に依存していることに注意して欲しい。
　この連続の定義の特殊な場合として、 $\delta$ が $a$ には依存せず $\varepsilon$ にのみ依存する場合がある。このときを一様連続という。

定義：一様連続　 $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ が $I$ で一様連続であるとは任意の $\varepsilon\gt0$ に対して $\delta(\varepsilon)\gt0$ が存在し、

$\begin{aligned} {}^{\forall}x,y\in I\ s.t.\ \left|x-y\right|\lt \delta(\varepsilon)\ \left(\left|f(x)-f(y)\right|\lt\varepsilon\right) \end{aligned}$

が成り立つことをいう。