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やりなおしの数学・微分積分篇(09/X)

以下の書籍

www.rokakuho.co.jp

を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 中間値の定理を用いると逆関数を構成できる。
  • f:I\rightarrow \mathbb{R}I一様連続であるとは任意の\varepsilon\gt0に対して\delta(\varepsilon)\gt0が存在し、
    \begin{aligned}{}^{\forall}x,y\in I\ s.t.\ \left|x-y\right|\lt \delta(\varepsilon)\ \left(\left|f(x)-f(y)\right|\lt\varepsilon\right)\end{aligned}
    が成り立つことをいう。

4. 数列

 前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。

4.9 中間値の定理の応用:逆関数の構成

 中間値の定理を用いると逆関数を構成できる。閉区間[a,b]上の連続関数fが狭義単調増加、すなわち


\begin{aligned}
a\leq x_1\lt x_2\leq b\Longrightarrow f(x_1)\lt f(x_2)
\end{aligned}

だとする。このとき中間値の定理より、任意のy\in[f(a),f(b)]に対してy=f(x)を満たすようなx\in[a,b]が存在し、しかもfが狭義単調増加であるからそれは一意に定まる。このような対応


\begin{aligned}
y\rightarrow x
\end{aligned}

f逆関数であり、x=f^{-1}(y)と表す。これは狭義単調減少でも成り立つ。


逆関数の連続性 fを閉区間[a,b]で狭義単調増加または狭義単調減少な連続関数であると仮定する。\alpha=f(a),\beta=f(b)に対して[\min(\alpha,\beta),\max(\alpha,\beta)]で定義された逆関数f^{-1}が一意に定まり、f^{-1}も狭義単調増加または狭義単調減少な連続関数である。
\because f^{-1}の連続性を示せば十分である。fが狭義単調増加であるとき、任意の点y_0\in[\alpha,\beta]においてh\in\mathbb{R}として

\begin{aligned}
f^{-1}(y_0+h)-f^{-1}(y_0)
\end{aligned}

を考える。
 h\gt0のとき、f^{-1}が狭義単調増加であることから


\begin{aligned}
x_h:=f^{-1}(y_0+h)\gt f^{-1}(y_0)
\end{aligned}

が成り立つ。h\downarrow 0のときx_hは単調に減少し、しかも下に有界である。したがって極限x_0=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow+0}x_h}が定まる。
 またy_0+h=f(x_h)においてx\downarrow0とすれば、fの連続性よりy_0=f(x_0)、すなわちx_0=f^{-1}(y_0)であるから


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{h\rightarrow+0}x_h}=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow+0}f^{-1}(y_0+h)}=f^{-1}(y_0)
\end{aligned}

が成り立つ。またh\lt0のときも同様の議論が成り立つから、f^{-1}の連続性が示される。 \blacksquare

4.10 一様連続性

 f区間Iで連続であるとは任意のa\in Iにおいてfが連続であることをいい、具体的には、

 任意のa\in I,\varepsilon\gt0に対してある\delta(a,\varepsilon)\gt0が存在し


\begin{aligned}
{}^{\forall}x\in I\ \ s.t.\ \ \left|x-a\right|\lt\delta(a,\varepsilon)\ \left( \left|f(x)-f(a)\right|\lt\varepsilon \right)
\end{aligned}

であった。ここで\delta(a,\varepsilon)\gt0aおよび\varepsilonに依存していることに注意して欲しい。
 この連続の定義の特殊な場合として、\deltaaには依存せず\varepsilonにのみ依存する場合がある。このときを一様連続という。


定義:一様連続 f:I\rightarrow \mathbb{R}I一様連続であるとは任意の\varepsilon\gt0に対して\delta(\varepsilon)\gt0が存在し、

\begin{aligned}
{}^{\forall}x,y\in I\ s.t.\ \left|x-y\right|\lt \delta(\varepsilon)\ \left(\left|f(x)-f(y)\right|\lt\varepsilon\right)
\end{aligned}
が成り立つことをいう。

 一様連続は単なる連続よりも強い概念であるが、I有界区間であれば一様連続と普通の連続は同値になる。


連続と一様連続が同値になる条件 有界区間Iで連続な関数fIにおいて一様連続である。
\because ある\varepsilon_0\gt0が存在し、任意の\delta\gt0に対して

\begin{aligned}
{}^{\exists}x,y\in I\ s.t.\ \left|x-y\right|\lt\delta\ \left(|f(x)-f(y)|\geq\varepsilon_0\right)
\end{aligned}

と仮定する。
 特に\delta=\displaystyle{\frac{1}{n}},\ n\in\mathbb{N}のとき、x=x_n,y=y_nと書けば


\begin{aligned}
\left|x_n-y_n\right|\lt\displaystyle{\frac{1}{n}},\ \left|f(x_n)-f(y_n)\right|\geq\varepsilon_0
\end{aligned}

を満たすことになる。
 I有界であるから、Bozano-Weierstraussの定理より\{x_n\}の部分列で収束するような数列\{x_{n_k}\}が存在する。Iは閉区間であるから、極限はIに含まれる。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}x_{n_k}}=a\in I
\end{aligned}

が存在する。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}y_{n_k}}=a\in I
\end{aligned}

でもある。fの連続性から、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{k\rightarrow\infty}\left|f(x_{n_k})-f(y_{n_k})\right|}=\left|f(a)-f(a)\right|=0
\end{aligned}

が成り立つ。しかし、これは


\begin{aligned}
\left|x_n-y_n\right|\lt\displaystyle{\frac{1}{n}},\ \left|f(x_n)-f(y_n)\right|\geq\varepsilon_0
\end{aligned}

に矛盾する。 \blacksquare

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