9. 関数列の収束
本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。
9.6 助変数に関する一様収束
関数列において自然数
を連続的に変化する助変数
に置き換えてできる
に対しても一様収束性を定義することができる。
助変数のある関数の各点収束
であるとは、任意のと任意の
に対して
で
が成立するときをいう。
助変数のある関数の一様収束
が成立するときをいう。
ここまでの議論と同様に、以下が成り立つ。
(
が成立することを仮定する。
を
であるような単調増加列だとする。任意の
に対して
であるときに
上で
が
に一様収束するような
を、さらに番号
を
ならば
となるように取るとき、
ならば
より、
が成り立つ。このため数列は実数の
列であるから、(普通の変数に対する)
の判定法から、各
に対して
を満たすような実数が存在する。こうして
とおいて
とすれば、
ならば
が成立する。これはであるときに
上で
が
に一様収束することを意味する。
)
助変数をもつ関数の極限の連続性
このとき
が成り立つ。
が成立する。一様収束性からこれを示す。
まず一様収束性から、
が成立する。そこでを満たすような
を1つ取って固定する。
は
上連続であるから、ある
で
かつ
ならば
を満たすものが存在する。こうして
ならば
が成り立つ。したがっては連続である。また
が成り立つ。ここでである。したがって
が成り立つ。 )