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やりなおしの数学・微分積分篇(44/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 助変数をもつ関数列について収束性をはじめとする各種性質を扱う。

9. 関数列の収束

 本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。

9.6 助変数に関する一様収束

 関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}において自然数nを連続的に変化する助変数\alphaに置き換えてできる\{f_{\alpha}(x)\}に対しても一様収束性を定義することができる。


助変数のある関数の各点収束 A\subset\mathbb{R}^2上で定義された実数値関数g(x)に対してf(x,\alpha)g(x)\alpha\rightarrow\alpha_0のとき各点収束する、すなわち


\begin{aligned}
f(x,\alpha)\rightarrow g(x)(\alpha\rightarrow\alpha_0)
\end{aligned}

であるとは、任意の\varepsilon\gt0と任意のx\in Aに対してc\lt{}^{\exists}\alpha_1(x,\varepsilon)\lt\alpha_0


\begin{aligned}
\alpha_1(x,\varepsilon)\lt\alpha\lt\alpha_0\Rightarrow\left|f(x,\alpha)-g(x)\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成立するときをいう。


助変数のある関数の一様収束 \alpha\rightarrow\alpha_0のときA\subset\mathbb{R}上でf(x,\alpha)g(x)に一様収束するとは、任意の\varepsilon\gt0に対して{}^{\exists}\alpha_1\gt0で、すべてのx\in Aに対して


\begin{aligned}
\alpha_1\lt\alpha\lt\alpha_0\Rightarrow\left|f(x,\alpha)-g(x)\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成立するときをいう。


 ここまでの議論と同様に、以下が成り立つ。



助変数のある関数の一様収束  \alpha\rightarrow\alpha_0であるときにA\subset\mathbb{R}上でf(x,\alpha)g(x)に一様収束することの必要十分条件


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}\sup_{x\in A}|f(x,\alpha)-g(x)|}=0
\end{aligned}

である。



\mathrm{Cauchy}の判定法 (c,\alpha_0)\subset\mathbb{R}について、\alpha\rightarrow\alpha_0であるときにA\subset\mathbb{R}上でf(x,\alpha)g(x)に一様収束することの必要十分条件は任意の\varepsilon\gt0に対して\alpha_1\in(c,\alpha_1)が存在し、任意のx\in Aに対して


\begin{aligned}
\alpha_1\lt\alpha\lt\alpha_0,\alpha_1\lt\alpha^{\prime}\lt\alpha_0\Rightarrow\left|f(x,\alpha)-f(x,\alpha^{\prime})\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成立することである。

(\because 必要条件は自明であるから、十分条件を考える。任意の\varepsilon\gt0に対して\alpha_1\in(c,\alpha_1)が存在し、任意のx\in Aに対して


\begin{aligned}
\alpha_1\lt\alpha\lt\alpha_0,\alpha_1\lt\alpha^{\prime}\lt\alpha_0\Rightarrow\left|f(x,\alpha)-f(x,\alpha^{\prime})\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成立することを仮定する。
 \{\beta_n\}_{n=1,2,\cdots}\beta_n\rightarrow\alpha_0であるような単調増加列だとする。任意の\varepsilon\gt0に対して\alpha\rightarrow\alpha_0であるときにA\subset\mathbb{R}上でf(x,\alpha)g(x)に一様収束するような\alpha_1を、さらに番号N\in\mathbb{N}n\geq Nならば\alpha_1\lt\beta_n\lt\alpha_0となるように取るとき、n,n^{\prime}\geq Nならば\alpha_1\lt\beta_n,\beta_{n^{\prime}}\lt\alpha_0より、


\begin{aligned}
\left|f(x,\beta_n)-f(x,\beta_{n^{\prime}})\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成り立つ。このため数列\{a_n\}_{n=1,2,\cdots},a_n=f(x,\beta_n)は実数の\mathrm{Cauchy}列であるから、(普通の変数に対する)\mathrm{Cauchy}の判定法から、各x\in Aに対して


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f(x,\beta_n)}=g(x)
\end{aligned}

を満たすような実数g(x)が存在する。こうして\alpha^{\prime}=\beta_nとおいてn\rightarrow\inftyとすれば、\alpha\in(\alpha_1,\alpha_0)ならば


\begin{aligned}
\left|f(x,\alpha)-g(x)\right|\leq\varepsilon
\end{aligned}

が成立する。これは\alpha\rightarrow\alpha_0であるときにA\subset\mathbb{R}上でf(x,\alpha)g(x)に一様収束することを意味する。\blacksquare)


助変数をもつ関数の極限の連続性 f(x,\alpha)[a,b]\times(c,\alpha_0)上で定義された実数値関数で、各\alpha\in(c,\alpha_0)に対してf(x,\alpha)x\in[a,b]について連続だとする。
 このとき\alpha\rightarrow\alpha_0であるときにA\subset\mathbb{R}上でf(x,\alpha)g(x)に一様収束するならばg(x)[a,b]上で連続である。さらに


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}\int_{a}^{b}f(x,\alpha)dx}=\displaystyle{\int_a^b g(x)dx}
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because g(x)x_0\in[a,b]で連続ということは


\begin{aligned}
{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}\eta\gt0\left(y\in[a,b]\land|y-x_0|\lt\eta\Rightarrow|g(y)-g(x_0)|\lt\varepsilon\right)\right)
\end{aligned}

が成立する。一様収束性からこれを示す。
 まず一様収束性から、


\begin{aligned}
{}^{\exists}\alpha_1\in(c,\alpha_0)\left({}^{\forall}y\in[a,b]\left(\alpha\in(\alpha_1,\alpha_0)\Rightarrow\left|f(y,\alpha)-g(y)\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\right)\right)
\end{aligned}

が成立する。そこで\alpha\in(\alpha_1,\alpha_0)を満たすような\alphaを1つ取って固定する。f(x,\alpha)[a,b]上連続であるから、ある\eta\gt0y\in[a,b]かつ|y-x_0|\lt\etaならばf(y,\alpha)-f(x_0,\alpha)\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}を満たすものが存在する。こうしてy\in[a,b]\land|x_0-y|\lt\etaならば


\begin{aligned}
\left|g(x_0)-g(x)\right|=&\left|g(x_0)-f(x_0,\alpha)+f(x_0,\alpha)-f(y,\alpha)+f(y,\alpha)-g(y)\right|\\
\leq&\left|g(x_0)-f(x_0,\alpha)\right|+\left|f(x_0,\alpha)-f(y,\alpha)\right|+\left|f(y,\alpha)-g(y)\right|\\
\lt&\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}=\varepsilon
\end{aligned}

が成り立つ。したがってg(x)は連続である。また


\begin{aligned}
\left|\displaystyle{\int_a^b f(x,\alpha)dx}-\displaystyle{\int_a^b g(x)dx}\right|&\leq\displaystyle{\int_a^b|f(x,\alpha)-g(x)|dx}\\
&\leq \displaystyle{\sup_{x\in[a,b]}|f(x,\alpha)-g(x)|\cdot\int_a^b dx}\\
&=(b-a)\displaystyle{\sup_{x\in[a,b]}|f(x,\alpha)-g(x)|}
\end{aligned}

が成り立つ。ここで\displaystyle{\sup_{x\in[a,b]}|f(x,\alpha)-g(x)|}\rightarrow0(\alpha\rightarrow\alpha_0)である。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}\int_{a}^{b}f(x,\alpha)dx}=\displaystyle{\int_a^b g(x)dx}
\end{aligned}

が成り立つ。 \blacksquare)

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