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今日のまとめ
4. 数列
前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。
4.7 連続関数の性質
を満たすような点が存在する。
点列はそのすべてが
に属するから有界である。そこでBolzano-Weierstraussの定理*1より、収束するようなその部分列を選べるから、
としてよく、
においてとすれば、
が連続であることから
となる。しかしこれは
が有界でないという仮定に矛盾する。
)
4.8 中間値の定理
まずは実関数の最大値と最小値の存在について議論する。
( 前述の定理より集合
は有界であるから、実数の連続性公理から上限と下限が存在する。これらを
とおく。
それぞれのに対して
は
の上界ではないから、
を満たすような
が存在する。このとき
は有界列であるから、Bolzano-Weierstraussの定理より、その収束部分列
を構築することができる。
とするとき、
においてとすれば、
かつ
の連続性から、
となり、
である。同様に考えることで、
が成り立つ。
)
(
と仮定しても一般性を失わない。
に対して、集合
を定義する。このとき
は有界であるから
が定まる。
上限の定義から、および
を満たすように
の点からなる数列
を選ぶことが出来る。このとき
であるから、
の連続性から
である。
一方で数列を
および
を満たすように取ると、
は
に含まれないから、
が成り立つ。ここで
とすれば、
の連続性より
が成り立つ。これらから
が成り立つ。
)