「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。

MENU

やりなおしの数学・微分積分篇(007/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

www.rokakuho.co.jp

今日のまとめ

  • 関数の極限:\epsilon\gt0としてx\in\left[a-\epsilon,a+\epsilon\right]で定義される関数f(x)について、任意の\varepsilon\gt0について適当に\delta(\varepsilon)\gt0を選べば
    \begin{aligned}0\lt\left|x-a\right|\lt\delta\end{aligned}
    であるような任意のxについて
    \begin{aligned}\left|f(x)-\alpha\right|=\varepsilon\end{aligned}
    が成り立つとき、
    \begin{aligned}\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}=\alpha\ \ \ \ または\ \ \ \ f(x)\rightarrow \alpha (x\rightarrow a)\end{aligned}
    と表す。

4. 数列

 前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。

4.6 関数の極限と連続性

 数列と同様に、関数についても極限


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}=\alpha}
\end{aligned}

を、以下で定義する。

 \epsilon\gt0としてx\in\left[a-\epsilon,a+\epsilon\right]で定義される関数f(x)について、任意の\varepsilon\gt0について適当に\delta(\varepsilon)\gt0を選べば


\begin{aligned}
0\lt\left|x-a\right|\lt\delta
\end{aligned}

であるような任意のxについて


\begin{aligned}
\left|f(x)-\alpha\right|=\varepsilon
\end{aligned}

が成り立つとき、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}=\alpha\ \ \ \ または\ \ \ \ f(x)\rightarrow \alpha (x\rightarrow a)
\end{aligned}

と表す。
 なお、


\begin{aligned}
0\lt x-a\lt\delta
\end{aligned}

でのみ成り立つときには、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)}=\alpha\ \ \ \ または\ \ \ \ f(x)\rightarrow \alpha (x\rightarrow a+0)
\end{aligned}

と書き、\alphaを右極限という。また


\begin{aligned}
0\lt a-x\lt\delta
\end{aligned}

でのみ成り立つときには、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)}=\alpha\ \ \ \ または\ \ \ \ f(x)\rightarrow \alpha (x\rightarrow a-0)
\end{aligned}

と書き、\alphaを左極限という。

 b\in\mathbb{R}についてx\in\left[b,\infty\right)で定義される関数f(x)について、任意の\varepsilon\gt0について十分大きなM(\varepsilon)\gt0を選べばx\gt Mであるような任意のxについて


\begin{aligned}
\left|f(x)-\alpha\right|=\varepsilon
\end{aligned}

が成り立つとき、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)}=\alpha\ \ \ \ または\ \ \ \ f(x)\rightarrow \alpha (x\rightarrow \infty)
\end{aligned}

と表す。


例:\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\displaystyle{\frac{1}{n}}\right)^{n}}=eを既知として\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\displaystyle{\frac{1}{x}}\right)^{x}}=eを示せ。
 x\rightarrow\inftyのときを考える。n=[x]とおくと、n\leq x\lt n+1であるから


\begin{aligned}
\displaystyle{1+\frac{1}{n+1}}\lt\displaystyle{1+\frac{1}{x}}\leq \displaystyle{1+\frac{1}{n}}
\end{aligned}

であり、


\begin{aligned}
\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n}\lt\left(\displaystyle{1+\frac{1}{x}}\right)^{x}\lt\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n}}\right)^{n+1}
\end{aligned}

が成立する。\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\displaystyle{\frac{1}{n}}\right)^{n}}=eに注意すれば、


\begin{aligned}
\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n}&=\displaystyle{\frac{\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1}}{1+\displaystyle{\frac{1}{n+1}}}}\longrightarrow\displaystyle{\frac{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1}}}{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle{\frac{1}{n+1}}\right)}}}=e,\\
\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n}}\right)^{n+1}&=\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n}}\right)^{n}\cdot \left(\displaystyle{1+\frac{1}{n}}\right)\longrightarrow\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n}}\right)^{n}}\cdot \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n}}\right)}=e
\end{aligned}

が得られる。[x]\rightarrow \inftyのときn\rightarrow\inftyであるから、はさみうちの原理より


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle{\frac{1}{x}}\right)^x=e}
\end{aligned}

が得られる。

4.6.1 関数の極限の性質
  • 関数fI=\{x|0\lt |x-a|\lt b\}で定義されているとき、\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\alpha}\Longleftrightarrow \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}a_n=aを満たすような全ての数列\{a_n\}\subset Iに対して\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}}f(a_n)=\alphaが成り立つ。
  • 関数fI=\left[c,\infty\right)もしくはI=\left(-\infty,d\right]において定義されているとき、\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\alpha}または\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\alpha}\Longleftrightarrow \displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}a_n=\infty}または\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}a_n=\infty}を満たすような全ての数列\{a_n\}\subset Iに対して\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}}f(a_n)=\alphaが成り立つ。

\because (\Longrightarrowについて)
 定義から任意の\varepsilon\gt0に対して充分に小さい\delta\gt0が存在し、0\lt |x-a|\lt\deltaを満たすような全てのx\in Iについて|f(x)-\alpha|\lt\varepsilonが成り立つ。このとき、数列\{a_n\}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}a_n=aであるから、充分に大きなN\in\mathbb{N}を取れば、n\geq Nを満たすような全てのnについて


\begin{aligned}
\left|a_n-a\right|\lt\delta
\end{aligned}

が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
\left|f(x)-\alpha\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成立する、すなわちf(a_n)\rightarrow\alpha(n\rightarrow \infty)である。
 (\Longleftarrowについて)
 \varepsilon_0\gt0を上手く取ることで任意の\delta\gt0に対しても0\lt|x_{\delta}-a|\lt\deltaかつ|f(x_{\delta})-\alpha|\geq\varepsilon_0を満たすようなx_{\delta}\in Iが存在すると仮定する。このとき、特に\delta=\displaystyle{\frac{1}{n}}とすれば、a_n=x_{\frac{1}{n}}とおいて


\begin{aligned}
0\lt \left|a_n-a\right|\lt\displaystyle{\frac{1}{n}}\ \ \ \ \ かつ\ \ \ \ \ \left|f(a_n)-\alpha\right|\geq \varepsilon_{0}
\end{aligned}

が成り立つことになる。これは数列\{a_n\}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} a_n}=aを満たしつつも\{f(a_n)\}が決して\alphaに収束しないことになるがこれは仮定に矛盾する。2つ目も同様に示すことが出来る。 \blacksquare

4.6.2 Cauchyの判定法

 関数の極限の存在に関する有用な判定法を述べる。

  • 関数f(x)0\lt|x-a|\leq dで定義されているとき、極限\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}が存在する\Longleftrightarrow任意の\varepsilon\gt0に対して\delta\gt0を充分小さく取れば0\lt|x_1-a|\lt\delta,\ 0\lt|x_2-a|\lt\deltaを満たすような全てのx_1,x_2について|f(x_1)-f(x_2)|\lt\varepsilon
  • 関数f(x)x\gt bで定義されているとき、極限\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)}が存在する\Longleftrightarrow任意の\varepsilon\gt0に対してR\gt0を十分大きく取ればx_1\gt R,\ x_2\gt Rを満たすような全てのx_1,x_2について|f(x_1)-f(x_2)|\lt\varepsilon

\because \{x_n\}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}x_n=aを満たすような数列とすれば、仮定より\{f(x_n)\}はCauchy列となり、このとき\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)}=lが存在する。一方で\{x_n^{*}\}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}x_n^{x}=aを満たすような数列とすれば、仮定より仮定より\{f(x_n^{*})\}はCauchy列となり、このとき\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n^{*})}=l^{*}が存在する。
 ここで任意の\varepsilon\gt0に対して\deltaを仮定内に現れる整数だとする。N\in\mathbb{N}を十分大きく取れば、n\geq Nを満たすような全てのn\in\mathbb{N}について


\begin{aligned}
\left|x_n-a\right|\lt\delta,\ \left|x_n^{*}-a\right|\lt\delta
\end{aligned}

を満たすから、仮定より


\begin{aligned}
\left|f(x_n)-f(x_n^{*})\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}

となる。
 ここでn\rightarrow\inftyとすれば|l-l^{*}|\leq\varepsilonである。\varepsilon\gt0は任意の正数であるからl=l^{*}であり、これはすなわち\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}x_n=aを満たすような任意の数列\{x_n\}について\{f(x_n)\}は同一の極限lを満たすことになり、直前に示した定理より\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}f(x)=lである。
 逆に任意の\varepsilon\gt0に対して\delta\gt0を充分小さく取れば0\lt|x_1-a|\lt\delta,\ 0\lt|x_2-a|\lt\deltaを満たすような全てのx_1,x_2について|f(x_1)-f(x_2)|\lt\varepsilonと仮定する。このとき\{f(x_n)\}はCauchy列であることを意味するからf(x)の極限が存在する。2つ目も同様に示せばよい。 \blacksquare

4.6.3 関数の連続性

 区間Iで定義された関数fを考える。

(定義1)
 関数f:I\longrightarrow\mathbb{R}x=a\in Iで連続であるとは、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}=f(a)
\end{aligned}

が成り立つときをいう。

(定義2)
 関数f:I\longrightarrow\mathbb{R}x=a\in Iで連続であるとは、任意の\varepsilon\gt0に対して\delta(\varepsilon)\gt0を適当に選べば、|x-a|\lt\deltaであるような全てのx\in Iについて


\begin{aligned}
\left|f(x)-f(a)\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}
を満たすときをいう。

4.6.4 連続性の存在と同値な定理

 関数f:I\longrightarrow\mathbb{R}が[tex:x=a\in Iで連続となる\Longleftrightarrow\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}a_n=aとなるような全ての点列\{a_n\}\subset Iについて\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}f(a_n)=f(a)が成立する

プライバシーポリシー お問い合わせ