やりなおしの数学・微分積分篇（07/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

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今日のまとめ

関数の極限： $\epsilon\gt0$ として $x\in\left[a-\epsilon,a+\epsilon\right]$ で定義される関数 $f(x)$ について、任意の $\varepsilon\gt0$ について適当に $\delta(\varepsilon)\gt0$ を選べば
$\begin{aligned}0\lt\left|x-a\right|\lt\delta\end{aligned}$
であるような任意の $x$ について
$\begin{aligned}\left|f(x)-\alpha\right|=\varepsilon\end{aligned}$
が成り立つとき、
$\begin{aligned}\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}=\alpha\ \ \ \ または\ \ \ \ f(x)\rightarrow \alpha (x\rightarrow a)\end{aligned}$
と表す。

前回
今日のまとめ
4.　数列
- 4.6　関数の極限と連続性
次回

4.　数列

　前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。

4.6　関数の極限と連続性

　数列と同様に、関数についても極限

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}=\alpha} \end{aligned}$

を、以下で定義する。

　 $\epsilon\gt0$ として $x\in\left[a-\epsilon,a+\epsilon\right]$ で定義される関数 $f(x)$ について、任意の $\varepsilon\gt0$ について適当に $\delta(\varepsilon)\gt0$ を選べば
$\begin{aligned} 0\lt\left|x-a\right|\lt\delta \end{aligned}$
であるような任意の $x$ について
$\begin{aligned} \left|f(x)-\alpha\right|=\varepsilon \end{aligned}$
が成り立つとき、
$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}=\alpha\ \ \ \ または\ \ \ \ f(x)\rightarrow \alpha (x\rightarrow a) \end{aligned}$
と表す。
　なお、
$\begin{aligned} 0\lt x-a\lt\delta \end{aligned}$
でのみ成り立つときには、
$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)}=\alpha\ \ \ \ または\ \ \ \ f(x)\rightarrow \alpha (x\rightarrow a+0) \end{aligned}$
と書き、 $\alpha$ を右極限という。また
$\begin{aligned} 0\lt a-x\lt\delta \end{aligned}$
でのみ成り立つときには、
$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)}=\alpha\ \ \ \ または\ \ \ \ f(x)\rightarrow \alpha (x\rightarrow a-0) \end{aligned}$
と書き、 $\alpha$ を左極限という。

　 $b\in\mathbb{R}$ について $x\in\left[b,\infty\right)$ で定義される関数 $f(x)$ について、任意の $\varepsilon\gt0$ について十分大きな $M(\varepsilon)\gt0$ を選べば $x\gt M$ であるような任意の $x$ について
$\begin{aligned} \left|f(x)-\alpha\right|=\varepsilon \end{aligned}$
が成り立つとき、
$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)}=\alpha\ \ \ \ または\ \ \ \ f(x)\rightarrow \alpha (x\rightarrow \infty) \end{aligned}$
と表す。

例： $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\displaystyle{\frac{1}{n}}\right)^{n}}=e$ を既知として $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\displaystyle{\frac{1}{x}}\right)^{x}}=e$ を示せ。
　 $x\rightarrow\infty$ のときを考える。 $n=[x]$ とおくと、 $n\leq x\lt n+1$ であるから

$\begin{aligned} \displaystyle{1+\frac{1}{n+1}}\lt\displaystyle{1+\frac{1}{x}}\leq \displaystyle{1+\frac{1}{n}} \end{aligned}$

であり、

$\begin{aligned} \left(\displaystyle{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n}\lt\left(\displaystyle{1+\frac{1}{x}}\right)^{x}\lt\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n}}\right)^{n+1} \end{aligned}$

が成立する。 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\displaystyle{\frac{1}{n}}\right)^{n}}=e$ に注意すれば、

$\begin{aligned} \left(\displaystyle{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n}&=\displaystyle{\frac{\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1}}{1+\displaystyle{\frac{1}{n+1}}}}\longrightarrow\displaystyle{\frac{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1}}}{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle{\frac{1}{n+1}}\right)}}}=e,\\ \left(\displaystyle{1+\frac{1}{n}}\right)^{n+1}&=\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n}}\right)^{n}\cdot \left(\displaystyle{1+\frac{1}{n}}\right)\longrightarrow\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n}}\right)^{n}}\cdot \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\displaystyle{1+\frac{1}{n}}\right)}=e \end{aligned}$

が得られる。 $[x]\rightarrow \infty$ のとき $n\rightarrow\infty$ であるから、はさみうちの原理より

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle{\frac{1}{x}}\right)^x=e} \end{aligned}$

が得られる。

4.6.1　関数の極限の性質

関数 $f$ が $I=\{x|0\lt |x-a|\lt b\}$ で定義されているとき、 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\alpha}\Longleftrightarrow \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}a_n=a$ を満たすような全ての数列 $\{a_n\}\subset I$ に対して $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}}f(a_n)=\alpha$ が成り立つ。

関数 $f$ が $I=\left[c,\infty\right)$ もしくは $I=\left(-\infty,d\right]$ において定義されているとき、 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\alpha}$ または $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\alpha}\Longleftrightarrow \displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}a_n=\infty}$ または $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}a_n=\infty}$ を満たすような全ての数列 $\{a_n\}\subset I$ に対して $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}}f(a_n)=\alpha$ が成り立つ。

（ $\because$ 　（ $\Longrightarrow$ について）
　定義から任意の $\varepsilon\gt0$ に対して充分に小さい $\delta\gt0$ が存在し、 $0\lt |x-a|\lt\delta$ を満たすような全ての $x\in I$ について $|f(x)-\alpha|\lt\varepsilon$ が成り立つ。このとき、数列 $\{a_n\}$ は $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}a_n=a$ であるから、充分に大きな $N\in\mathbb{N}$ を取れば、 $n\geq N$ を満たすような全ての $n$ について

$\begin{aligned} \left|a_n-a\right|\lt\delta \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} \left|f(x)-\alpha\right|\lt\varepsilon \end{aligned}$

が成立する、すなわち $f(a_n)\rightarrow\alpha(n\rightarrow \infty)$ である。
　（ $\Longleftarrow$ について）
　 $\varepsilon_0\gt0$ を上手く取ることで任意の $\delta\gt0$ に対しても $0\lt|x_{\delta}-a|\lt\delta$ かつ $|f(x_{\delta})-\alpha|\geq\varepsilon_0$ を満たすような $x_{\delta}\in I$ が存在すると仮定する。このとき、特に $\delta=\displaystyle{\frac{1}{n}}$ とすれば、 $a_n=x_{\frac{1}{n}}$ とおいて

$\begin{aligned} 0\lt \left|a_n-a\right|\lt\displaystyle{\frac{1}{n}}\ \ \ \ \ かつ\ \ \ \ \ \left|f(a_n)-\alpha\right|\geq \varepsilon_{0} \end{aligned}$

が成り立つことになる。これは数列 $\{a_n\}$ が $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} a_n}=a$ を満たしつつも $\{f(a_n)\}$ が決して $\alpha$ に収束しないことになるがこれは仮定に矛盾する。2つ目も同様に示すことが出来る。　 $\blacksquare$ ）

4.6.2　Cauchyの判定法

　関数の極限の存在に関する有用な判定法を述べる。

関数 $f(x)$ が $0\lt|x-a|\leq d$ で定義されているとき、極限 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ が存在する $\Longleftrightarrow$ 任意の $\varepsilon\gt0$ に対して $\delta\gt0$ を充分小さく取れば $0\lt|x_1-a|\lt\delta,\ 0\lt|x_2-a|\lt\delta$ を満たすような全ての $x_1,x_2$ について $|f(x_1)-f(x_2)|\lt\varepsilon$

関数 $f(x)$ が $x\gt b$ で定義されているとき、極限 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)}$ が存在する $\Longleftrightarrow$ 任意の $\varepsilon\gt0$ に対して $R\gt0$ を十分大きく取れば $x_1\gt R,\ x_2\gt R$ を満たすような全ての $x_1,x_2$ について $|f(x_1)-f(x_2)|\lt\varepsilon$

（ $\because$ 　 $\{x_n\}$ を $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}x_n=a$ を満たすような数列とすれば、仮定より $\{f(x_n)\}$ はCauchy列となり、このとき $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)}=l$ が存在する。一方で $\{x_n^{*}\}$ を $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}x_n^{x}=a$ を満たすような数列とすれば、仮定より仮定より $\{f(x_n^{*})\}$ はCauchy列となり、このとき $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n^{*})}=l^{*}$ が存在する。
　ここで任意の $\varepsilon\gt0$ に対して $\delta$ を仮定内に現れる整数だとする。 $N\in\mathbb{N}$ を十分大きく取れば、 $n\geq N$ を満たすような全ての $n\in\mathbb{N}$ について

$\begin{aligned} \left|x_n-a\right|\lt\delta,\ \left|x_n^{*}-a\right|\lt\delta \end{aligned}$

を満たすから、仮定より

$\begin{aligned} \left|f(x_n)-f(x_n^{*})\right|\lt\varepsilon \end{aligned}$

となる。
　ここで $n\rightarrow\infty$ とすれば $|l-l^{*}|\leq\varepsilon$ である。 $\varepsilon\gt0$ は任意の正数であるから $l=l^{*}$ であり、これはすなわち $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}x_n=a$ を満たすような任意の数列 $\{x_n\}$ について $\{f(x_n)\}$ は同一の極限 $l$ を満たすことになり、直前に示した定理より $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}f(x)=l$ である。
　逆に任意の $\varepsilon\gt0$ に対して $\delta\gt0$ を充分小さく取れば $0\lt|x_1-a|\lt\delta,\ 0\lt|x_2-a|\lt\delta$ を満たすような全ての $x_1,x_2$ について $|f(x_1)-f(x_2)|\lt\varepsilon$ と仮定する。このとき $\{f(x_n)\}$ はCauchy列であることを意味するから $f(x)$ の極限が存在する。2つ目も同様に示せばよい。　 $\blacksquare$ ）

4.6.3　関数の連続性

　区間 $I$ で定義された関数 $f$ を考える。

（定義1）
　関数 $f:I\longrightarrow\mathbb{R}$ が $x=a\in I$ で連続であるとは、
$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}=f(a) \end{aligned}$
が成り立つときをいう。

（定義2）
　関数 $f:I\longrightarrow\mathbb{R}$ が $x=a\in I$ で連続であるとは、任意の $\varepsilon\gt0$ に対して $\delta(\varepsilon)\gt0$ を適当に選べば、 $|x-a|\lt\delta$ であるような全ての $x\in I$ について
$\begin{aligned} \left|f(x)-f(a)\right|\lt\varepsilon \end{aligned}$
を満たすときをいう。

4.6.4　連続性の存在と同値な定理

　関数 $f:I\longrightarrow\mathbb{R}が[tex:x=a\in I$ で連続となる $\Longleftrightarrow$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}a_n=a$ となるような全ての点列 $\{a_n\}\subset I$ について $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}f(a_n)=f(a)$ が成立する

次回

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今日のまとめ

4. 数列

4.6 関数の極限と連続性

4.6.1 関数の極限の性質

4.6.2 Cauchyの判定法

4.6.3 関数の連続性

4.6.4 連続性の存在と同値な定理

次回