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今日のまとめ
- 関数の極限:
として
で定義される関数
について、任意の
について適当に
を選べば
であるような任意のについて
が成り立つとき、と表す。
4. 数列
前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。
4.6 関数の極限と連続性
数列と同様に、関数についても極限
を、以下で定義する。
として
で定義される関数
について、任意の
について適当に
を選べば
であるような任意の
について
が成り立つとき、
と表す。
なお、でのみ成り立つときには、
と書き、
を右極限という。また
でのみ成り立つときには、
と書き、
を左極限という。
について
で定義される関数
について、任意の
について十分大きな
を選べば
であるような任意の
について
が成り立つとき、
と表す。
例:を既知として
を示せ。
のときを考える。
とおくと、
であるから
であり、
が成立する。に注意すれば、
が得られる。のとき
であるから、はさみうちの原理より
が得られる。
4.6.1 関数の極限の性質
- 関数
が
で定義されているとき、
を満たすような全ての数列
に対して
が成り立つ。
- 関数
が
もしくは
において定義されているとき、
または
または
を満たすような全ての数列
に対して
が成り立つ。
( (
について)
定義から任意のに対して充分に小さい
が存在し、
を満たすような全ての
について
が成り立つ。このとき、数列
は
であるから、充分に大きな
を取れば、
を満たすような全ての
について
が成り立つ。したがって
が成立する、すなわちである。
(について)
を上手く取ることで任意の
に対しても
かつ
を満たすような
が存在すると仮定する。このとき、特に
とすれば、
とおいて
が成り立つことになる。これは数列が
を満たしつつも
が決して
に収束しないことになるがこれは仮定に矛盾する。2つ目も同様に示すことが出来る。
)
4.6.2 Cauchyの判定法
関数の極限の存在に関する有用な判定法を述べる。
- 関数
が
で定義されているとき、極限
が存在する
任意の
に対して
を充分小さく取れば
を満たすような全ての
について
- 関数
が
で定義されているとき、極限
が存在する
任意の
に対して
を十分大きく取れば
を満たすような全ての
について
(
を
を満たすような数列とすれば、仮定より
はCauchy列となり、このとき
が存在する。一方で
を
を満たすような数列とすれば、仮定より仮定より
はCauchy列となり、このとき
が存在する。
ここで任意のに対して
を仮定内に現れる整数だとする。
を十分大きく取れば、
を満たすような全ての
について
を満たすから、仮定より
となる。
ここでとすれば
である。
は任意の正数であるから
であり、これはすなわち
を満たすような任意の数列
について
は同一の極限
を満たすことになり、直前に示した定理より
である。
逆に任意のに対して
を充分小さく取れば
を満たすような全ての
について
と仮定する。このとき
はCauchy列であることを意味するから
の極限が存在する。2つ目も同様に示せばよい。
)
4.6.3 関数の連続性
区間で定義された関数
を考える。
(定義1)
関数が
で連続であるとは、
が成り立つときをいう。
(定義2)
関数が
で連続であるとは、任意の
に対して
を適当に選べば、
であるような全ての
について
を満たすときをいう。
4.6.4 連続性の存在と同値な定理
関数
で連続となる
となるような全ての点列
について
が成立する