計量経済学の基礎（05/22） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　計量経済学を学んでいく。
　まずは

計量経済学 (y21)

作者:皙, 浅野,二朗, 中村
有斐閣

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を中心に参照して基礎を学んでいく。

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今日のまとめ

予測誤差は予測値自身の誤差（分散）とは相違する。

回帰モデルは線形だけとは限らず、対数を取るなどで非線形性を表現することもできる。

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今日のまとめ
3.　古典的2変数回帰モデル
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3.　古典的2変数回帰モデル

3.8　予測

　回帰モデルが与える予測亜h説明変数が特定の値を取るときに目的変数の値を誤差を含めて統計的に述べる条件付き予測を表す。
　回帰モデル

$\begin{aligned} Y=\alpha+\beta X+\varepsilon \end{aligned}$

において $X=X_0$ で実現値が $Y=Y_0$ であるとき、

$\begin{aligned} Y_0=\alpha+\beta X_0+\varepsilon_0 \end{aligned}$

と書ける。ここで $\varepsilon_0$ が古典的正規回帰モデルの仮定を満たすものとする。
　これに対し

$\begin{aligned} \hat{Y}_0=\hat{\alpha}+\hat{\beta}X_0 \end{aligned}$

が点予測値である。
　予測誤差は実現値と点予測値との差であり、

$\begin{aligned} Y_0-\hat{Y}_0&=\{(\alpha-\hat{\alpha})+(\beta-\hat{\beta})X_0\}+\varepsilon_0,\\ &=(E[Y_0]-\hat{Y}_0)+\varepsilon_0 \end{aligned}$

で表される。
　この誤差は推定誤差および将来の攪乱項から成り立つが、後者を意図してコントロールすることは出来ないため、予測精度を上げるためには前者を改善する。

3.8.1　予測値の期待値と分散

　 $E[Y_0]-\hat{Y}_0$ について期待値と分散を考える。
　まず

$\begin{aligned} E[E[Y_0]-\hat{Y}_0]=E[Y_0]-E[\hat{Y}_0]=E[Y_0]-E[Y_0]=0 \end{aligned}$

であり、点予測値は実現値の不偏推定量と言える。
　また

$\begin{aligned} V[E[Y_0]-\hat{Y}_0]=&V[\hat{Y}_0]=V[\hat{\alpha}+\hat{\beta}X_0]\\ =&V[\hat{\alpha}]+2Cov[\hat{\alpha},\hat{\beta}X_0]+V[\hat{\beta}X_0]\\ =&V[\hat{\alpha}]+2X_0\cdot Cov[\hat{\alpha},\hat{\beta}]+{X_0}^2 V[\hat{\beta}]\\ =&\left\{\displaystyle{\frac{{\overline{X}}^2}{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}}}+\displaystyle{\frac{1}{n}}\right\}\sigma^2+2X_0\cdot Cov[\hat{\alpha},\hat{\beta}]+{X_0}^2 V[\hat{\beta}] \end{aligned}$

である。ここで

$\begin{aligned} Cov[\hat{\alpha},\hat{\beta}]=&Cov[\bar{Y}-\hat{\beta}\bar{X},\hat{\beta}],\\ =&Cov[\bar{Y},\hat{\beta}]-\bar{X}\cdot V[\hat{\beta}]\\ =&Cov[\alpha+\beta\bar{X}+\bar{\varepsilon},\hat{\beta}]-\bar{X}\cdot V[\hat{\beta}]\\ =&Cov[\bar{\varepsilon},\hat{\beta}]-\bar{X}\cdot V[\hat{\beta}]\\ =&-\bar{X}\cdot V[\hat{\beta}] \end{aligned}$

を代入すれば $V[\hat{\beta}]=\displaystyle{\frac{\sigma^2}{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}}}$ に注意すれば

$\begin{aligned} V[E[Y_0]-\hat{Y}_0]=&\left\{\displaystyle{\frac{{\overline{X}}^2}{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}}}+\displaystyle{\frac{1}{n}}\right\}\sigma^2-2X_0\cdot\bar{X}\cdot V[\hat{\beta}]+{X_0}^2 V[\hat{\beta}]\\ =&\displaystyle{\frac{\sigma^2}{n}}+{\overline{X}}^2 V[\hat{\beta}]-2X_0\cdot\bar{X}\cdot V[\hat{\beta}]+{X_0}^2 V[\hat{\beta}]\\ =&\displaystyle{\frac{\sigma^2}{n}}+(X_0-\bar{X})^2 V[\hat{\beta}]\\ =&\displaystyle{\frac{\sigma^2}{n}}+(X_0-\bar{X})^2\displaystyle{\frac{\sigma^2}{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}}} \end{aligned}$

である。
　更に予測誤差の分散は $V[\varepsilon_0]=\sigma^2$ に注意すれば

$\begin{aligned} V[Y_0-\hat{Y}_0]=&V[E[Y_0]-\hat{Y}_0]+V[\varepsilon_0]\\ =&\left(1+\displaystyle{\frac{1}{n}}\right)\sigma^2+(X_0-\bar{X})^2\displaystyle{\frac{\sigma^2}{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}}} \end{aligned}$

である。
　予測値の分散の推定量は、攪乱項の標準誤差や $\hat{\beta}$ の標準誤差を用いて

$\begin{aligned} {S_{\hat{Y}_0}}^{2}=\left(1+\displaystyle{\frac{1}{n}}\right)S^2+(X_0-\bar{X})^2\displaystyle{\frac{{S_{\hat{\beta}}}^2}{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}}} \end{aligned}$

で与えられる。

3.9　関数形

　前節までは線形モデルを扱ってきたが、非線形なモデルを扱うことも可能である。


(a)	$Y=\alpha+\beta(1/X)$	逆数
(b)	$Y=1/(1+e^{\alpha+\beta X})$	ロジスティック
(c)	$Y=\alpha X^{\beta}$	対数線形 $\log$ - $\log$
(d)	$Y=e^{\alpha+X\beta}$	半対数線形 $\log$ - $lin$
(e)	$Y=\alpha+\beta \log{X}$	半対数線形 $lin$ - $\log$