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一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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やりなおしの数学・線形代数篇(07/26)

 定番書

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ

  • n次正方行列Aの第i行、第j列を除いてできるn-1次正方行列に符号(-1)^{i+j}を掛けたものをAの第(i,j)余因子という。
  • 余因子\tilde{a}_{ji}(i,j)成分にもつような行列\tilde{A}を余因子行列という。

3. 行列式

3.3 行列式の展開

3.3.1 余因子

 n次正方行列Aの第i行、第j列を除いてできるn-1次正方行列をAの第i,j行列式といい、それに符号(-1)^{i+j}を掛けたものをAの第(i,j)余因子という。
 n次正方行列A=(a_{ij})の第(i,j)余因子を\tilde{a}_{ij}で表すとき、


\begin{aligned}
\ |A|&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\tilde{a}_{ij}}&,\ j=1,2,\cdots,n\\
\ |A|&=\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\tilde{a}_{ij}}&,\ i=1,2,\cdots,n
\end{aligned}

これらをそれぞれ第j列、第i行に関する行列式の展開という。
\because 行列式の性質より


\begin{aligned}
\ |A|&=\begin{vmatrix}
a_{11} &a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
0        &a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&      &\vdots\\
0        &a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
0        &a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&      &\vdots\\
0        &a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}+\cdots+\begin{vmatrix}
0        &a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
0        &a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&      &\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
a_{11} &a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
0        &a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&      &\vdots\\
0        &a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}+(-1)^{1}\begin{vmatrix}
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
0        &a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&      &\vdots\\
0        &a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}+\cdots\\&\ \ \ \ +(-1)^{n-1}\begin{vmatrix}
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\
0        &a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&      &\vdots\\
0        &a_{n-1\ 2}&\cdots&a_{n-1\ n}
\end{vmatrix}\\
&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_{i1}\tilde{a}_{i1}}\\
&=\ |A|
\end{aligned}

一般のjに関しては第j列を一番左に移動すれば、行列式(-1)^{j+1}倍されるので両辺を(-1)^{j+1}で割ればよい。 \blacksquare

例:行列式


\begin{aligned}
\Delta=\begin{vmatrix}
\ 3  &-2&5&1\\
\ 1  &3&2&5\\
\ 2  &-5&-1&4\\
\ -3 &2&3&2
\end{vmatrix}
\end{aligned}
を計算せよ。
 第2行の3,2倍をそれぞれ第1行、第3行から引き、第2行の3倍を第4行に加えれば

\begin{aligned}
\Delta=\begin{vmatrix}
\ 0  &-11&-1&-14\\
\ 1  &3&2&5\\
\ 0  &-11&-5&-6\\
\ 0 &11&9&17
\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
\ -11&-1&-14\\
\ -11&-5&-6\\
\ 11&9&17
\end{vmatrix}=&-11\cdot\begin{vmatrix}
\ -1&-1&-14\\
\ -1&-5&-6\\
\   1&9&17
\end{vmatrix}\\
=&-11\cdot\begin{vmatrix}
\   1&1&14\\
\   1&5&  6\\
\   1&9&17
\end{vmatrix}\\
=&-11\cdot\begin{vmatrix}
\   1&1&14\\
\   0&4& -8\\
\   0&8&  3
\end{vmatrix}\\
=&-11\cdot\begin{vmatrix}
\   4& -8\\
\   8&  3
\end{vmatrix}\\
=&-11\cdot(12+64)=-836
\end{aligned}

3.3.3 余因子行列

 余因子\tilde{a}_{ji}(i,j)成分にもつような行列\tilde{A}を余因子行列という。

 n次正方行列Aの余因子行列を\tilde{A}とすれば


\begin{aligned}
\tilde{A}A=A\tilde{A}=|A|\cdot I_n
\end{aligned}
が成り立つ。またn次正方行列Aが正則である\Longleftrightarrow |A|\neq 0で、このときA=|A|^{-1}\tilde{A}である。

3.3.2 Cramérの公式

 方程式


\begin{aligned}
A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}
\end{aligned}

(ただしAは正則、\boldsymbol{x}n次元で未知の列ベクトル、\boldsymbol{b}n次元列ベクトル)について


\begin{aligned}
\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}
\end{aligned}

である。ここで前節の結果を代入すれば


\begin{aligned}
\boldsymbol{x}&=A^{-1}\boldsymbol{b}=\displaystyle{\frac{1}{|A|}}\boldsymbol{b}=\displaystyle{\frac{1}{|A|}}\begin{bmatrix}
\tilde{a}_{11}&\tilde{a}_{21}&\cdots&\tilde{a}_{n1}\\
\tilde{a}_{12}&\tilde{a}_{22}&\cdots&\tilde{a}_{n2}\\
\vdots     &\vdots     &           &\vdots\\
\tilde{a}_{1n}&\tilde{a}_{2n}&\cdots&\tilde{a}_{nn}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_n
\end{bmatrix}=\displaystyle{\frac{1}{|A|}}\boldsymbol{b}\\&= \displaystyle{\frac{1}{|A|}}\begin{bmatrix}
b_1\tilde{a}_{11}+b_2\tilde{a}_{21}+\cdots+b_n\tilde{a}_{n1}\\
b_1\tilde{a}_{12}+b_2\tilde{a}_{22}+\cdots+b_n\tilde{a}_{n2}\\
\vdots\\
b_1\tilde{a}_{1n}+b_2\tilde{a}_{2n}+\cdots+b_n\tilde{a}_{nn}
\end{bmatrix}
\end{aligned}

 ここで最右辺のベクトルの第j成分は行列Aの第j列を\boldsymbol{b}に置き換えた


\begin{aligned}
A_{j}:=\begin{bmatrix}
a_{11}&\cdots&b_{1}&\cdots&a_{n1}\\
a_{12}&\cdots&b_{2}&\cdots&a_{n2}\\
\vdots          &          &\vdots     &           &\vdots\\
a_{1n}&\cdots&b_{n}&\cdots&a_{nn}
\end{bmatrix}
\end{aligned}

を用いることで

  • Cramérの公式


\begin{aligned}
\boldsymbol{x}&=\displaystyle{\frac{1}{|A|}}\begin{bmatrix}
A_1\\
A_2\\
\vdots\\
A_n
\end{bmatrix},\ \\
x_j&=\displaystyle{\frac{|A_j|}{|A|}}=\displaystyle{\frac{\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&b_{1}&\cdots&a_{1n}\\
a_{12}&\cdots&b_{2}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots          &          &\vdots     &           &\vdots\\
a_{n1}&\cdots&b_{n}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots     &&\vdots     &           &\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}}}
\end{aligned}

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