やりなおしの数学・線形代数篇（07/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
3.　行列式
- 3.3　行列式の展開

今日のまとめ

$n$ 次正方行列 $A$ の第 $i$ 行、第 $j$ 列を除いてできる $n-1$ 次正方行列に符号 $(-1)^{i+j}$ を掛けたものを $A$ の第 $(i,j)$ 余因子という。

余因子 $\tilde{a}_{ji}$ を $(i,j)$ 成分にもつような行列 $\tilde{A}$ を余因子行列という。

3.　行列式

3.3　行列式の展開

3.3.1　余因子

　 $n$ 次正方行列 $A$ の第 $i$ 行、第 $j$ 列を除いてできる $n-1$ 次正方行列を $A$ の第 $i,j$ 小行列式といい、それに符号 $(-1)^{i+j}$ を掛けたものを $A$ の第 $(i,j)$ 余因子という。
　 $n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ の第 $(i,j)$ 余因子を $\tilde{a}_{ij}$ で表すとき、

$\begin{aligned} \ |A|&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\tilde{a}_{ij}}&,\ j=1,2,\cdots,n\\ \ |A|&=\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\tilde{a}_{ij}}&,\ i=1,2,\cdots,n \end{aligned}$

これらをそれぞれ第 $j$ 列、第 $i$ 行に関する行列式の展開という。
（ $\because$ 　行列式の性質より

$\begin{aligned} \ |A|&=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0 &a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0 &a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 &a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0 &a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}+\cdots+\begin{vmatrix} 0 &a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0 &a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0 &a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0 &a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}+(-1)^{1}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ 0 &a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0 &a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}+\cdots\\&\ \ \ \ +(-1)^{n-1}\begin{vmatrix} a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ 0 &a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0 &a_{n-1\ 2}&\cdots&a_{n-1\ n} \end{vmatrix}\\ &=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_{i1}\tilde{a}_{i1}}\\ &=\ |A| \end{aligned}$

一般の $j$ に関しては第 $j$ 列を一番左に移動すれば、行列式は $(-1)^{j+1}$ 倍されるので両辺を $(-1)^{j+1}$ で割ればよい。　 $\blacksquare$ ）

例：行列式

$\begin{aligned} \Delta=\begin{vmatrix} \ 3 &-2&5&1\\ \ 1 &3&2&5\\ \ 2 &-5&-1&4\\ \ -3 &2&3&2 \end{vmatrix} \end{aligned}$

を計算せよ。
　第2行の $3,2$ 倍をそれぞれ第1行、第3行から引き、第2行の $3$ 倍を第4行に加えれば

$\begin{aligned} \Delta=\begin{vmatrix} \ 0 &-11&-1&-14\\ \ 1 &3&2&5\\ \ 0 &-11&-5&-6\\ \ 0 &11&9&17 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} \ -11&-1&-14\\ \ -11&-5&-6\\ \ 11&9&17 \end{vmatrix}=&-11\cdot\begin{vmatrix} \ -1&-1&-14\\ \ -1&-5&-6\\ \ 1&9&17 \end{vmatrix}\\ =&-11\cdot\begin{vmatrix} \ 1&1&14\\ \ 1&5& 6\\ \ 1&9&17 \end{vmatrix}\\ =&-11\cdot\begin{vmatrix} \ 1&1&14\\ \ 0&4& -8\\ \ 0&8& 3 \end{vmatrix}\\ =&-11\cdot\begin{vmatrix} \ 4& -8\\ \ 8& 3 \end{vmatrix}\\ =&-11\cdot(12+64)=-836 \end{aligned}$

3.3.3　余因子行列

　余因子 $\tilde{a}_{ji}$ を $(i,j)$ 成分にもつような行列 $\tilde{A}$ を余因子行列という。

　 $n$ 次正方行列 $A$ の余因子行列を $\tilde{A}$ とすれば

$\begin{aligned} \tilde{A}A=A\tilde{A}=|A|\cdot I_n \end{aligned}$

が成り立つ。また $n$ 次正方行列 $A$ が正則である $\Longleftrightarrow |A|\neq 0$ で、このとき $A=|A|^{-1}\tilde{A}$ である。

3.3.2　Cramérの公式

　方程式

$\begin{aligned} A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} \end{aligned}$

（ただし $A$ は正則、 $\boldsymbol{x}$ は $n$ 次元で未知の列ベクトル、 $\boldsymbol{b}$ は $n$ 次元列ベクトル）について

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b} \end{aligned}$

である。ここで前節の結果を代入すれば

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}&=A^{-1}\boldsymbol{b}=\displaystyle{\frac{1}{|A|}}\boldsymbol{b}=\displaystyle{\frac{1}{|A|}}\begin{bmatrix} \tilde{a}_{11}&\tilde{a}_{21}&\cdots&\tilde{a}_{n1}\\ \tilde{a}_{12}&\tilde{a}_{22}&\cdots&\tilde{a}_{n2}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ \tilde{a}_{1n}&\tilde{a}_{2n}&\cdots&\tilde{a}_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n \end{bmatrix}=\displaystyle{\frac{1}{|A|}}\boldsymbol{b}\\&= \displaystyle{\frac{1}{|A|}}\begin{bmatrix} b_1\tilde{a}_{11}+b_2\tilde{a}_{21}+\cdots+b_n\tilde{a}_{n1}\\ b_1\tilde{a}_{12}+b_2\tilde{a}_{22}+\cdots+b_n\tilde{a}_{n2}\\ \vdots\\ b_1\tilde{a}_{1n}+b_2\tilde{a}_{2n}+\cdots+b_n\tilde{a}_{nn} \end{bmatrix} \end{aligned}$

　ここで最右辺のベクトルの第 $j$ 成分は行列 $A$ の第 $j$ 列を $\boldsymbol{b}$ に置き換えた

$\begin{aligned} A_{j}:=\begin{bmatrix} a_{11}&\cdots&b_{1}&\cdots&a_{n1}\\ a_{12}&\cdots&b_{2}&\cdots&a_{n2}\\ \vdots & &\vdots & &\vdots\\ a_{1n}&\cdots&b_{n}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix} \end{aligned}$

を用いることで

Cramérの公式

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}&=\displaystyle{\frac{1}{|A|}}\begin{bmatrix} A_1\\ A_2\\ \vdots\\ A_n \end{bmatrix},\ \\ x_j&=\displaystyle{\frac{|A_j|}{|A|}}=\displaystyle{\frac{\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&b_{1}&\cdots&a_{1n}\\ a_{12}&\cdots&b_{2}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots & &\vdots & &\vdots\\ a_{n1}&\cdots&b_{n}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots &&\vdots & &\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}}} \end{aligned}$

今日のまとめ

3. 行列式

3.3 行列式の展開

3.3.1 余因子

3.3.3 余因子行列

3.3.2 Cramérの公式

3.　行列式

3.3　行列式の展開

3.3.1　余因子

3.3.3　余因子行列

3.3.2　Cramérの公式