やりなおしの数学・微分積分篇（40/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ

任意の $\varepsilon\gt0$ に対して $N\in\mathbb{N}$ が存在し、すべての $x\in A, n\gt N$ に対して
$\begin{aligned}\left|f_n(x)-f(x)\right|\lt\varepsilon\end{aligned}$
が成り立つとき関数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ が関数 $f(x)$ に $A$ 上に一様収束するという。

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今日のまとめ
9.　関数列の収束
- 9.1　関数列の各点収束と一様収束
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9.　関数列の収束

　本節では関数の数列（関数列）に関する収束概念を扱う。

9.1　関数列の各点収束と一様収束

　関数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty},f_n:A(\subset\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R}$ とする。各点 $x\in A$ を取るごとに実数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ が $f(x)$ に収束するとき、 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ は $f(x)$ に $A$ 上で各点収束するという。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)}=f(x) \end{aligned}$

と表す。このとき数列の極限の定義から、

$\begin{aligned} {}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\in\mathbb{N}\left(n\geq N\Longrightarrow \left|f_n(x)-f(x)\right|\lt\varepsilon\right)\right) \end{aligned}$

が成り立つ。
　各点収束では収束しないような $x\in A$ が存在しても成り立つ。そこで各点収束よりも強い概念として任意の $x\in A$ において各点収束する場合を考える。

一様収束　関数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ が関数 $f(x)$ に $A$ 上に一様収束するとは、任意の $\varepsilon\gt0$ に対して $N\in\mathbb{N}$ が存在し、すべての $x\in A, n\gt N$ に対して

$\begin{aligned} \left|f_n(x)-f(x)\right|\lt\varepsilon \end{aligned}$

が成り立つときをいう。

一様収束である必要十分条件　関数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ が関数 $f(x)$ に $A$ 上に一様収束することの必要十分条件は、

$\begin{aligned} \displaystyle{\sup_{x\in A}\left|f_n(x)-f(x)\right|}\rightarrow0(n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

が成り立つことである。

( $\because$ 　関数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ が関数 $f(x)$ に $A$ 上に一様収束すると仮定する。このとき任意の $\varepsilon\gt0$ に対してある自然数 $N$ が存在し、すべての $x\in A$ と $n\geq N$ に対して

$\begin{aligned} \left|f_n(x)-f(x)\right|\lt\varepsilon \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $n\geq N$ ならば

$\begin{aligned} \sigma_n=\displaystyle{\sup_{x\in A}\left|f_n(x)=f(x)\right|}\leq\varepsilon \end{aligned}$

である。これは数列 $\{\sigma_n\}_{n=1,2,\cdots}$ は $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sigma_n}=0,$ すなわち

$\begin{aligned} \displaystyle{\sup_{x\in A}\left|f_n(x)-f(x)\right|}\rightarrow0(n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

が成り立つ。
　逆に

$\begin{aligned} \displaystyle{\sup_{x\in A}\left|f_n(x)-f(x)\right|}\rightarrow0(n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

が成り立つと仮定する。このとき ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対して $n\geq N$ ならば $\sigma_n\lt\varepsilon$ を満たすように $N\in\mathbb{N}$ を取ることができる。したがって ${}^{\forall}x\in A$ に対して

$\begin{aligned} \left|f_n(x)-f(x)\right|\leq\sigma_n\lt\varepsilon \end{aligned}$

が成り立ち、これは一様収束の定義に他ならない。　 $\blacksquare$ )

　一様収束性にはそれを判定するための手段がある。

$\mathrm{Cauchy}$ の判定法　関数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ は $A$ 上で定義された実関数列だとする。このとき $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ が一様収束するためには、

$\begin{aligned} {}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\in\mathbb{N}\left({}^{\forall}x\in A\land{}^{\forall}n,m\geq N\left(|f_n(x)-f_m(x)|\lt\varepsilon\right)\right)\right) \end{aligned}$

が成り立つことが必要十分である。

( $\because$ （ $\Rightarrow$ について）関数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ が $f(x)$ に一様収束すると仮定する。このとき

$\begin{aligned} {}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\in\mathbb{N}\left({}^{\forall}x\in A\land{}^{\forall}n\geq N\left(\left|f_n(x)-f(x)\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}\right)\right)\right) \end{aligned}$

が成り立つ。そこで $n,m\geq N$ に対して

$\begin{aligned} \left|f_n(x)-f_m(x)\right|&=\left|f_n(x)-f(x)+f(x)-f_m(x)\right|\\ &\leq|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|\\ &\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}=\varepsilon \end{aligned}$

が成立するから、

$\begin{aligned} {}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\in\mathbb{N}\left({}^{\forall}x\in A\land{}^{\forall}n,m\geq N\left(|f_n(x)-f_m(x)|\lt\varepsilon\right)\right)\right) \end{aligned}$

は成り立つ。
　（ $\Leftarrow$ について）逆に

$\begin{aligned} {}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\in\mathbb{N}\left({}^{\forall}x\in A\land{}^{\forall}n,m\geq N\left(|f_n(x)-f_m(x)|\lt\varepsilon\right)\right)\right) \end{aligned}$

が成り立つと仮定する。各 $x\in A$ ごとに $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ は $\mathrm{Cauchy}$ 列であるから、実数の完備性から ${}^{\exists}f(x)\ s.t.\ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)}$ を得る。そこで仮定において $m\rightarrow\infty$ とすれば、任意の $\varepsilon\gt0$ に対して