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やりなおしの数学・微分積分篇(039/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 任意の\varepsilon\gt0に対してN\in\mathbb{N}が存在し、すべてのx\in A, n\gt Nに対して
    \begin{aligned}\left|f_n(x)-f(x)\right|\lt\varepsilon\end{aligned}
    が成り立つとき関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}が関数f(x)A上に一様収束するという。

9. 関数列の収束

 本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。

9.1 関数列の各点収束と一様収束

 関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty},f_n:A(\subset\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R}とする。各点x\in Aを取るごとに実数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}f(x)に収束するとき、\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}f(x)A上で各点収束するという。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)}=f(x)
\end{aligned}

と表す。このとき数列の極限の定義から、


\begin{aligned}
{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\in\mathbb{N}\left(n\geq N\Longrightarrow \left|f_n(x)-f(x)\right|\lt\varepsilon\right)\right)
\end{aligned}

が成り立つ。
 各点収束では収束しないようなx\in Aが存在しても成り立つ。そこで各点収束よりも強い概念として任意のx\in Aにおいて各点収束する場合を考える。



一様収束 関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}が関数f(x)A上に一様収束するとは、任意の\varepsilon\gt0に対してN\in\mathbb{N}が存在し、すべてのx\in A, n\gt Nに対して

\begin{aligned}
\left|f_n(x)-f(x)\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成り立つときをいう。



一様収束である必要十分条件 関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}が関数f(x)A上に一様収束することの必要十分条件は、

\begin{aligned}
\displaystyle{\sup_{x\in A}\left|f_n(x)-f(x)\right|}\rightarrow0(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}

が成り立つことである。

(\because 関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}が関数f(x)A上に一様収束すると仮定する。このとき任意の\varepsilon\gt0に対してある自然数Nが存在し、すべてのx\in An\geq Nに対して

\begin{aligned}
\left|f_n(x)-f(x)\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成り立つ。したがってn\geq Nならば


\begin{aligned}
\sigma_n=\displaystyle{\sup_{x\in A}\left|f_n(x)=f(x)\right|}\leq\varepsilon
\end{aligned}

である。これは数列\{\sigma_n\}_{n=1,2,\cdots}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sigma_n}=0,すなわち


\begin{aligned}
\displaystyle{\sup_{x\in A}\left|f_n(x)-f(x)\right|}\rightarrow0(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}

が成り立つ。
 逆に


\begin{aligned}
\displaystyle{\sup_{x\in A}\left|f_n(x)-f(x)\right|}\rightarrow0(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}

が成り立つと仮定する。このとき{}^{\forall}\varepsilon\gt0に対してn\geq Nならば\sigma_n\lt\varepsilonを満たすようにN\in\mathbb{N}を取ることができる。したがって{}^{\forall}x\in Aに対して


\begin{aligned}
\left|f_n(x)-f(x)\right|\leq\sigma_n\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成り立ち、これは一様収束の定義に他ならない。 \blacksquare)

 一様収束性にはそれを判定するための手段がある。


\mathrm{Cauchy}の判定法 関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}A上で定義された実関数列だとする。このとき\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}が一様収束するためには、

\begin{aligned}
{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\in\mathbb{N}\left({}^{\forall}x\in A\land{}^{\forall}n,m\geq N\left(|f_n(x)-f_m(x)|\lt\varepsilon\right)\right)\right)
\end{aligned}

が成り立つことが必要十分である。

(\because\Rightarrowについて)関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}f(x)に一様収束すると仮定する。このとき

\begin{aligned}
{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\in\mathbb{N}\left({}^{\forall}x\in A\land{}^{\forall}n\geq N\left(\left|f_n(x)-f(x)\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}\right)\right)\right)
\end{aligned}

が成り立つ。そこでn,m\geq Nに対して


\begin{aligned}
\left|f_n(x)-f_m(x)\right|&=\left|f_n(x)-f(x)+f(x)-f_m(x)\right|\\
&\leq|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|\\
&\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}=\varepsilon
\end{aligned}

が成立するから、


\begin{aligned}
{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\in\mathbb{N}\left({}^{\forall}x\in A\land{}^{\forall}n,m\geq N\left(|f_n(x)-f_m(x)|\lt\varepsilon\right)\right)\right)
\end{aligned}

は成り立つ。
 (\Leftarrowについて)逆に


\begin{aligned}
{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\in\mathbb{N}\left({}^{\forall}x\in A\land{}^{\forall}n,m\geq N\left(|f_n(x)-f_m(x)|\lt\varepsilon\right)\right)\right)
\end{aligned}

が成り立つと仮定する。各x\in Aごとに\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\mathrm{Cauchy}列であるから、実数の完備性から{}^{\exists}f(x)\ s.t.\ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)}を得る。そこで仮定においてm\rightarrow\inftyとすれば、任意の\varepsilon\gt0に対して


\begin{aligned}
{}^{\exists}N\in\mathbb{N}\ s.t.\ {}^{\forall}x\in A,n\geq N\left(|f_n(x)-f(x)|\leq\varepsilon\right)
\end{aligned}

が成り立つ。これは関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}f(x)に一様収束することに他ならない。 \blacksquare)

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