9. 関数列の収束
本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。
9.1 関数列の各点収束と一様収束
関数列とする。各点を取るごとに実数列がに収束するとき、はに上で各点収束するという。このとき
と表す。このとき数列の極限の定義から、
が成り立つ。
各点収束では収束しないようなが存在しても成り立つ。そこで各点収束よりも強い概念として任意のにおいて各点収束する場合を考える。
一様収束 関数列が関数に上に一様収束するとは、任意のに対してが存在し、すべてのに対して
が成り立つときをいう。
( 関数列が関数に上に一様収束すると仮定する。このとき任意のに対してある自然数が存在し、すべてのとに対して
が成り立つ。したがってならば
である。これは数列はすなわち
が成り立つ。
逆に
が成り立つと仮定する。このときに対してならばを満たすようにを取ることができる。したがってに対して
が成り立ち、これは一様収束の定義に他ならない。 )
一様収束性にはそれを判定するための手段がある。
の判定法 関数列は上で定義された実関数列だとする。このときが一様収束するためには、
が成り立つことが必要十分である。
が成り立つ。そこでに対して
が成立するから、
は成り立つ。
(について)逆に
が成り立つと仮定する。各ごとには列であるから、実数の完備性からを得る。そこで仮定においてとすれば、任意のに対して
が成り立つ。これは関数列がに一様収束することに他ならない。 )