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今日のまとめ
4. 数列
前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。
4.3 極限の基本的性質
4.3.4 極限の計算例
(1)のとき
を求めよ。
であるから
とおけば、
である。
二項定理より
(2) の極限を求めよ。
に対して
であるから
4.3.5 極限の大小関係
収束列に対して
ならば、
( 収束列
に対してそれらの極限をそれぞれ
とおく。このとき、極限の定義から、
したがって
が成り立つ。
より
であり、は任意の正数であったから
4.4 単調列
数列が与えられたときにその収束性を判定することを考える。その簡単な例として、単調列を導入する。
任意の
について
が成り立つような数列を単調増加列という。
逆に任意のについて
が成り立つような数列を単調減少列という。単調増加列と単調減少列を併せて単調列という。
4.4.1 単調列の収束性
上に有界な単調増加列はその上限に収束する。また下に有界な単調減少列はその下限に収束する。
( 上に有界な単調増加列
について収束性を証明する。
が上に有界な集合であるから、
が存在する。任意の
を取ると
は
の上界でないから、ある
について
が成り立つ。また数列の単調性からであるようなすべての
についても
が成り立つ。このときが成り立つから、
であるようなすべての
についても
である。これは
であることに他ならない。
単調減少列については
とすれば単調増加列の議論に帰着できる。
)
4.4.2 単調列の収束性の例
について、単調性及び有界性を示したうえでその極限を求めよ。
関数とおくと
が成り立つ。また
まず単調性を示す。
であるから、単調増加性が成り立つ。
次にについて単調増加性が成り立つと仮定する。すなわち
と仮定すると、関数の単調増加性から
が成り立つ。したがってについても単調増加性が成り立つ。
次にが上に有界であることを示す。すなわち
が成り立つことを示す。この
として
の解、すなわち
を取る。
まずのとき、
であるから
とが成り立つ。
次ににおいて
が成り立つと仮定する。このとき
の単調増加性より
が成り立ち、
である。したがって
が成り立つ。したがっては上に有界であり、
はその有界である。
前節において示したとおり、上に有界な単調列は収束する。この極限値をとおけば
において
とすることで
が成り立つ。これをについて解くことで
を得る。したがって
が成り立つ。 )