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やりなおしの数学・線形代数篇(006/X)

 定番書

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ

  • n個の元からなる集合の一対一変換をn文字の置換という
  • 行列
    \begin{aligned}\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nn}\end{bmatrix}\end{aligned}
    に対して多項式
    \begin{aligned}\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n} sgn\ \sigma x_{1\sigma(1)}x_{2\sigma(2)}\cdots x_{n\sigma(n)}}\end{aligned}
    を行列A行列式という。

3. 行列式

3.1 置換

3.1.1 置換の諸性質

 n個の元からなる集合の一対一変換をn文字の置換という。これは全部でn!個ある。
 あるn文字の置換\sigmaがあって


\begin{aligned}
\sigma(1)=i_{1},\cdots,\sigma(k)=i_{k},\cdots\sigma(n)=i_{n}
\end{aligned}

であるとき、


\begin{aligned}
\sigma=\begin{bmatrix}
1&2&\cdots&n\\
i_{1}&i_{2}&\cdots&i_{n}
\end{bmatrix}
\end{aligned}

更には本質的でない第1行を書かずに


\begin{aligned}
\sigma=\begin{bmatrix}
i_{1}&i_{2}&\cdots&i_{n}
\end{bmatrix}
\end{aligned}

と書く。
 どの文字も動かさない置換を恒等置換といい、1_{n}と書く。また置換\sigmaの逆変換を\sigmaの逆置換といい、\sigma^{-1}と書く。


\begin{aligned}
\sigma=\begin{bmatrix}
1&2&\cdots&n\\
i_{1}&i_{2}&\cdots&i_{n}
\end{bmatrix}
\end{aligned}

ならば


\begin{aligned}
\sigma^{-1}=\begin{bmatrix}
i_{1}&i_{2}&\cdots&i_{n}\\
1&2&\cdots&n
\end{bmatrix}
\end{aligned}

である。
 2つの置換\sigma,\tauの合成変換を\sigma,\tauの積といい、\tau\sigmaで表す。一般に非可換*1である。
 置換\sigmaが偶数個の互換の積で表されるときに偶置換、奇数個の積で表されるときに奇置換という。さらに記号sgn\ \sigmaを偶置換には+1、奇置換には-1と定義し、置換\sigmaの符号という。

3.2 行列式

 n^2個の変数x_{ij},\ i,j=1,2,\cdots,n多項式


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n} sgn\ \sigma x_{1\sigma(1)}x_{2\sigma(2)}\cdots x_{n\sigma(n)}}
\end{aligned}

n次の行列式と言い、


\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\
x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{1n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nn}
\end{vmatrix}
\end{aligned}

と書く。
 行列


\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\
x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{1n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nn}
\end{bmatrix}
\end{aligned}

に対しても、 n^2個の変数x_{ij},\ i,j=1,2,\cdots,n多項式


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n} sgn\ \sigma x_{1\sigma(1)}x_{2\sigma(2)}\cdots x_{n\sigma(n)}}
\end{aligned}

を行列A行列式といい、


\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\
x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{1n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nn}
\end{vmatrix},\ |A|,\ det\ A
\end{aligned}

と書く。またA=\begin{bmatrix}\boldsymbol{a}_1\ \boldsymbol{a}_2\ \cdots\ \boldsymbol{a}_n\end{bmatrix}と列ベクトルで表示したとき、その行列式


\begin{aligned}
\det\left(\boldsymbol{a}_1,\ \boldsymbol{a}_2,\ \cdots,\ \boldsymbol{a}_n\right)
\end{aligned}

とも書く。

3.2.1 行列式の性質


\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
a_{1}&0&\cdots&0\\
0&a_{2}&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\cdots&a_{n}
\end{vmatrix}=a_1a_2\cdots a_n
\end{aligned}

    特に


\begin{aligned}|I|=1,\ |O|=0
\end{aligned}

  • 行列Aの1つの行または1つの列が零ベクトルならば、|A|=0
  • |cA|=c^n|A|
  • 転置行列の行列式はもとの行列の行列式に等しい。

(\because A=(a_{ij})とすれば、


\begin{aligned}
\ |A|=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}sgn\ \sigma\cdot a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}}
\end{aligned}

である。\sigma^{-1}\in S_nだから、


\begin{aligned}
\ |A|=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}sgn\ \sigma^{-1}\cdot a_{1\sigma^{-1}(1)}a_{2\sigma^{-1}(2)}\cdots a_{n\sigma^{-1}(n)}}
\end{aligned}

\sigma^{-1}(1),\sigma^{-1}(2),\cdots \sigma^{-1}(n)は全体として1,2,\cdots,nと一致しているから、これを小さい順に並び替える。任意のi(i=1,2,\cdots,n)に対して\sigma^{-1}(i)=kとすれば、i=\sigma(k)であるから


\begin{aligned}
\ |A|=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}sgn\ \sigma \cdot a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\cdots a_{\sigma(n)n}}
\end{aligned}

が成り立ち、これは{}^{t}|A|に他ならない。 \blacksquare)
 ここから、行列式は行に関して成り立つものはすべて列に関しても成り立つことが分かる。

  • A=\begin{bmatrix}\boldsymbol{a}_1\ \boldsymbol{a}_2\ \cdots\ \boldsymbol{a}_n\end{bmatrix},\ c\in\mathbb{C}に対して


\begin{aligned}
\det\left(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_j+{\boldsymbol{a}_j}^{\prime},\cdots ,\boldsymbol{a}_n\right)=\det\left(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_j,\cdots ,\boldsymbol{a}_n\right)+\det\left(\boldsymbol{a}_1,\cdots,{\boldsymbol{a}_j}^{\prime},\cdots ,\boldsymbol{a}_n\right)
\end{aligned}

\begin{aligned}
\det\left(\boldsymbol{a}_1,\cdots,c\boldsymbol{a}_j,\cdots ,\boldsymbol{a}_n\right)=c\cdot\det\left(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_j,\cdots ,\boldsymbol{a}_n\right)
\end{aligned}

  • \det\left(\boldsymbol{a}_{\tau(1)},\boldsymbol{a}_{\tau(2)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\tau(n)}\right)=sgn\ \tau\cdot \det\left(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\right)

したがって行列Aの列あるいは行の番号に置換\tauを施して得られる行列の行列式sgn\ \tau\cdot|A|に等しい。これを行列式の交代性という。

  • 行列Aの2つの列または行が一致すれば|A|=0
  • 行列Aのある列または行に、他のある列あるいは行の定数倍を加えて得られる行列の行列式は、元の行列A行列式|A|に等しい。
  • \det(AB)=\det A\cdot\det B


\begin{aligned}
A=\begin{bmatrix}
A_{11}&A_{12}\\
O       &A_{22}
\end{bmatrix}
\end{aligned}または\begin{aligned}
A=\begin{bmatrix}
A_{11}&O       \\
A_{21}&A_{22}
\end{bmatrix}\Longrightarrow\left|A\right|=|A_{11}|\cdot|A_{22}|
\end{aligned}

*1:積の順序を変えると値が等しくなるとは限らない。

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