やりなおしの数学・線形代数篇（06/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
3.　行列式
- 3.1　置換
  - 3.1.1　置換の諸性質
- 3.2　行列式
  - 3.2.1　行列式の性質

今日のまとめ

$n$ 個の元からなる集合の一対一変換を $n$ 文字の置換という

行列
$\begin{aligned}\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nn}\end{bmatrix}\end{aligned}$
に対して多項式
$\begin{aligned}\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n} sgn\ \sigma x_{1\sigma(1)}x_{2\sigma(2)}\cdots x_{n\sigma(n)}}\end{aligned}$
を行列 $A$ の行列式という。

3.　行列式

3.1　置換

3.1.1　置換の諸性質

　 $n$ 個の元からなる集合の一対一変換を $n$ 文字の置換という。これは全部で $n!$ 個ある。
　ある $n$ 文字の置換 $\sigma$ があって

$\begin{aligned} \sigma(1)=i_{1},\cdots,\sigma(k)=i_{k},\cdots\sigma(n)=i_{n} \end{aligned}$

であるとき、

$\begin{aligned} \sigma=\begin{bmatrix} 1&2&\cdots&n\\ i_{1}&i_{2}&\cdots&i_{n} \end{bmatrix} \end{aligned}$

更には本質的でない第1行を書かずに

$\begin{aligned} \sigma=\begin{bmatrix} i_{1}&i_{2}&\cdots&i_{n} \end{bmatrix} \end{aligned}$

と書く。
　どの文字も動かさない置換を恒等置換といい、 $1_{n}$ と書く。また置換 $\sigma$ の逆変換を $\sigma$ の逆置換といい、 $\sigma^{-1}$ と書く。

$\begin{aligned} \sigma=\begin{bmatrix} 1&2&\cdots&n\\ i_{1}&i_{2}&\cdots&i_{n} \end{bmatrix} \end{aligned}$

ならば

$\begin{aligned} \sigma^{-1}=\begin{bmatrix} i_{1}&i_{2}&\cdots&i_{n}\\ 1&2&\cdots&n \end{bmatrix} \end{aligned}$

である。
　2つの置換 $\sigma,\tau$ の合成変換を $\sigma,\tau$ の積といい、 $\tau\sigma$ で表す。一般に非可換*1である。
　置換 $\sigma$ が偶数個の互換の積で表されるときに偶置換、奇数個の積で表されるときに奇置換という。さらに記号 $sgn\ \sigma$ を偶置換には $+1$ 、奇置換には $-1$ と定義し、置換 $\sigma$ の符号という。

3.2　行列式

　 $n^2$ 個の変数 $x_{ij},\ i,j=1,2,\cdots,n$ の多項式

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n} sgn\ \sigma x_{1\sigma(1)}x_{2\sigma(2)}\cdots x_{n\sigma(n)}} \end{aligned}$

を $n$ 次の行列式と言い、

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\ x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nn} \end{vmatrix} \end{aligned}$

と書く。
　行列

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\ x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nn} \end{bmatrix} \end{aligned}$

に対しても、　 $n^2$ 個の変数 $x_{ij},\ i,j=1,2,\cdots,n$ の多項式

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n} sgn\ \sigma x_{1\sigma(1)}x_{2\sigma(2)}\cdots x_{n\sigma(n)}} \end{aligned}$

を行列 $A$ の行列式といい、

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\ x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nn} \end{vmatrix},\ |A|,\ det\ A \end{aligned}$

と書く。また $A=\begin{bmatrix}\boldsymbol{a}_1\ \boldsymbol{a}_2\ \cdots\ \boldsymbol{a}_n\end{bmatrix}$ と列ベクトルで表示したとき、その行列式は

$\begin{aligned} \det\left(\boldsymbol{a}_1,\ \boldsymbol{a}_2,\ \cdots,\ \boldsymbol{a}_n\right) \end{aligned}$

とも書く。

3.2.1　行列式の性質

対角行列の行列式は行列式はその対角成分の積に等しい。

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a_{1}&0&\cdots&0\\ 0&a_{2}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{n} \end{vmatrix}=a_1a_2\cdots a_n \end{aligned}$

特に

$\begin{aligned}|I|=1,\ |O|=0 \end{aligned}$

行列 $A$ の1つの行または1つの列が零ベクトルならば、 $|A|=0$
$|cA|=c^n|A|$
転置行列の行列式はもとの行列の行列式に等しい。

( $\because$ 　 $A=(a_{ij})$ とすれば、

$\begin{aligned} \ |A|=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}sgn\ \sigma\cdot a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}} \end{aligned}$

である。 $\sigma^{-1}\in S_n$ だから、

$\begin{aligned} \ |A|=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}sgn\ \sigma^{-1}\cdot a_{1\sigma^{-1}(1)}a_{2\sigma^{-1}(2)}\cdots a_{n\sigma^{-1}(n)}} \end{aligned}$

$\sigma^{-1}(1),\sigma^{-1}(2),\cdots \sigma^{-1}(n)$ は全体として $1,2,\cdots,n$ と一致しているから、これを小さい順に並び替える。任意の $i(i=1,2,\cdots,n)$ に対して $\sigma^{-1}(i)=k$ とすれば、 $i=\sigma(k)$ であるから

$\begin{aligned} \ |A|=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}sgn\ \sigma \cdot a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\cdots a_{\sigma(n)n}} \end{aligned}$

が成り立ち、これは ${}^{t}|A|$ に他ならない。　 $\blacksquare$ )
　ここから、行列式は行に関して成り立つものはすべて列に関しても成り立つことが分かる。

$A=\begin{bmatrix}\boldsymbol{a}_1\ \boldsymbol{a}_2\ \cdots\ \boldsymbol{a}_n\end{bmatrix},\ c\in\mathbb{C}$ に対して

$\begin{aligned} \det\left(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_j+{\boldsymbol{a}_j}^{\prime},\cdots ,\boldsymbol{a}_n\right)=\det\left(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_j,\cdots ,\boldsymbol{a}_n\right)+\det\left(\boldsymbol{a}_1,\cdots,{\boldsymbol{a}_j}^{\prime},\cdots ,\boldsymbol{a}_n\right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \det\left(\boldsymbol{a}_1,\cdots,c\boldsymbol{a}_j,\cdots ,\boldsymbol{a}_n\right)=c\cdot\det\left(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_j,\cdots ,\boldsymbol{a}_n\right) \end{aligned}$

$\det\left(\boldsymbol{a}_{\tau(1)},\boldsymbol{a}_{\tau(2)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\tau(n)}\right)=sgn\ \tau\cdot \det\left(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\right)$

したがって行列 $A$ の列あるいは行の番号に置換 $\tau$ を施して得られる行列の行列式は $sgn\ \tau\cdot|A|$ に等しい。これを行列式の交代性という。

行列 $A$ の2つの列または行が一致すれば $|A|=0$
行列 $A$ のある列または行に、他のある列あるいは行の定数倍を加えて得られる行列の行列式は、元の行列 $A$ の行列式 $|A|$ に等しい。
$\det(AB)=\det A\cdot\det B$

$\begin{aligned} A=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}\\ O &A_{22} \end{bmatrix} \end{aligned}$ または $\begin{aligned} A=\begin{bmatrix} A_{11}&O \\ A_{21}&A_{22} \end{bmatrix}\Longrightarrow\left|A\right|=|A_{11}|\cdot|A_{22}| \end{aligned}$

*1:積の順序を変えると値が等しくなるとは限らない。

今日のまとめ

3. 行列式

3.1 置換

3.1.1 置換の諸性質

3.2 行列式

3.2.1 行列式の性質

3.　行列式

3.1　置換

3.1.1　置換の諸性質

3.2　行列式

3.2.1　行列式の性質