以下の書籍
今日のまとめ
- 収束する数列は有界である
- はさみうちの原理:数列
が任意の
について
を満たすとする。このとき
ならば
が成り立つ。
- 極限について四則演算が成り立つ:収束列である
および
に対して
4. 数列
前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。
4.3 極限の基本的性質
4.3.1 収束する数列の有界性
収束する数列は有界である。
( 数列
について有界であること、すなわち
であると仮定する。このとき極限の定義から、ある
が存在して
を取ると、任意の
について
4.3.2 はさみうちの原理
数列が任意の
について
を満たすとする。このとき
ならば
が成り立つ。
( 任意の
に対して
を充分に取れば、
仮定
これを整理すれば、
4.3.3 極限に関する加減乗除
収束列であるおよび
に対して
かつ
ならば
( 以下、
まず
ある
これはを意味する。
同様に考えることで
これはを意味する。
次に
また
最後、かつ
として
実際、
したがって