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やりなおしの数学・微分積分篇(004/X)

以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

www.rokakuho.co.jp

今日のまとめ

  • 収束する数列は有界である
  • はさみうちの原理:数列\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}が任意のn\geq1についてa_n\leq b_n\leq c_nを満たすとする。このとき\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}c_n}=\alphaならば\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}=\alphaが成り立つ。
  • 極限について四則演算が成り立つ:収束列である\{a_n\},\{b_n\}およびc\in\mathbb{R}に対して
    \begin{aligned}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\pm b_n)}&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\pm\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n},\\\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}ca_n}&=c \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n},\\\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n b_n}&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n},\\b_n\neq0かつ\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}\neq0ならば\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}}&=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}}{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}}}\end{aligned}

4. 数列

 前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。

4.3 極限の基本的性質

4.3.1 収束する数列の有界

 収束する数列は有界である。

\because 数列\{a_{n}\}について有界であること、すなわち\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}}=\alpha,\ \left|\alpha\right|\lt\inftyであると仮定する。このとき極限の定義から、あるN\gt0が存在してn\gt Nを取ると、任意の\varepsilon\gt0について


\begin{aligned}
\left|a_{n}-\alpha\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}
が成り立つ。したがってたとえば\varepsilon=1を取ることで

\begin{aligned}
\alpha-1\lt a_{n}\lt\alpha+1
\end{aligned}
が成立する。そこでM_{*}=\min\{a_1,a_2,\cdots,a_{N-1},\alpha-1\}およびM^{*}=\max\{a_1,a_2,\cdots,a_{N-1},\alpha+1\}とおけば、任意のn\geq 1について

\begin{aligned}
M_{*}\lt a_{n}\lt M^{*}
\end{aligned}
となり、これは\{a_n\}有界であることに他ならない。 \blacksquare

4.3.2 はさみうちの原理

 数列\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}が任意のn\geq1についてa_n\leq b_n\leq c_nを満たすとする。このとき\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}c_n}=\alphaならば\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}=\alphaが成り立つ。

\because 任意の\varepsilon\gt0に対してN_1,N_2\in\mathbb{N}を充分に取れば、


\begin{aligned}
\left|a_n-\alpha\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_{1}\\
\left|c_n-\alpha\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_{2}
\end{aligned}
が成り立つ。そこでN=\max\{N_1,N_2\}とすると、n\geq Nであるような任意のn\in\mathbb{N}に対して

\begin{aligned}
\alpha-\varepsilon\lt a_n\lt\alpha+\varepsilon,\\
\alpha-\varepsilon\lt c_n\lt\alpha+\varepsilon
\end{aligned}
である。
 仮定a_n\leq b_n\leq c_nから

\begin{aligned}
&\alpha-\varepsilon\lt a_n\leq b_n\leq c_n\lt\alpha+\varepsilon\\
\Leftrightarrow&\alpha-\varepsilon\lt b_n\lt\alpha+\varepsilon
\end{aligned}
が成り立つ。
 これを整理すれば、n\geq Nであるような任意のn\in\mathbb{N}に対してあるn\geq Nを取れば任意の\varepsilonについて

\begin{aligned}
&\ \ \alpha-\varepsilon\lt b_n\lt\alpha+\varepsilon\\
\Leftrightarrow&\ \ \left|b_n-\alpha\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}
であることを意味し、これは{}^{\exists}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}=\alphaに他ならない。 \blacksquare

4.3.3 極限に関する加減乗除

 収束列である\{a_n\},\{b_n\}およびc\in\mathbb{R}に対して

  • \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\pm b_n)}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\pm\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}
  • \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}ca_n}=c \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}
  • \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n b_n}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}
  • b_n\neq0かつ\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}\neq0ならば\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}}=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}}{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}}}

\because 以下、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}&=\alpha\\
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}&=\beta
\end{aligned}
とおく。極限の定義よりあるN_1,\ N_2\gt0を取ると、任意のn_1\gt N_1,\ n_2\gt N_2について任意の正数\varepsilon_1,\varepsilon_2を取ることで

\begin{aligned}
\left|a_{n_1}-\alpha\right|\lt\varepsilon_1,\\
\left|b_{n_2}-\beta\right|\lt\varepsilon_2
\end{aligned}

 まず


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\pm b_n)}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\pm\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}
\end{aligned}
について。
 あるN=\max\{N_1,N_2\}について任意のn\gt Nを取れば、任意の正数\varepsilonについて実数に関する三角不等式から(以下、復号同順である。)

\begin{aligned}
\left|(a_n+ b_n)-(\alpha +\beta)\right|=&\left|(a_n-\alpha)+(b_n-\beta)\right|\\
\leq& \left|a_n-\alpha\right|+\left|b_n-\beta\right|\\
\lt& \varepsilon_1+\varepsilon_2=\varepsilon\ (\varepsilon=\varepsilon_1+\varepsilon_2)
\end{aligned}

これは\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)}=\alpha+\betaを意味する。
 同様に考えることで


\begin{aligned}
\left|(a_n- b_n)-(\alpha -\beta)\right|=&\left|(a_n-\alpha)+\{-(b_n-\beta)\}\right|\\
\lt& \left|a_n-\alpha\right|+\left|b_n-\beta\right|\\
\lt& \varepsilon_1+\varepsilon_2=\varepsilon\ (\varepsilon=\varepsilon_1+\varepsilon_2)
\end{aligned}

これは\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)}=\alpha-\betaを意味する。

 次に


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}ca_n}=c \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}
\end{aligned}
について。
 \{a_n\}の極限について\varepsilon_1は任意であるから、\displaystyle{\frac{\varepsilon_1}{|c|}}としてもよく

\begin{aligned}
&\left|a_n-\alpha\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon_1}{|c|}}
\Leftrightarrow&\left|ca_n-c\alpha\right|\lt\varepsilon_1
\end{aligned}
が成り立つ。これは\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}ca_n}=c\alphaを意味する。

 また


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n)}=\left(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\right)\left(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}\right)
\end{aligned}
について。

\begin{aligned}
\left|a_n b_n-\alpha\beta\right|&=\left|a_n b_n-\beta a_n+\beta a_n-\alpha\beta\right|\\
&=\left|a_n(b_n-\beta)+\beta (a_n-\alpha)\right|\\
&=\left|a_n(b_n-\beta)+\beta (a_n-\alpha)\right|\\
&\lt\left|a_n(b_n-\beta)\right|+\left|\beta (a_n-\alpha)\right|\\
&\lt\left|a_n(b_n-\beta)\right|+\left|\beta (a_n-\alpha)\right|\\
&\lt\left|a_n\right|\left|b_n-\beta\right|+\left|\beta\right|\left|a_n-\alpha\right|\\
\end{aligned}
が成り立つ。前節にて示したように、収束列は有界であるから、|a_n|について

\begin{aligned}
{}^{\exists}M\in\mathbb{R}\ s.t.\ |a_n|\lt M
\end{aligned}
が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
\left|a_n b_n-\alpha\beta\right|=&\left|a_n b_n-\beta a_n+\beta a_n-\alpha\beta\right|\\
\lt&\left|a_n\right|\left|b_n-\beta\right|+\left|\beta\right|\left|a_n-\alpha\right|\\
\lt&|M|\left|b_n-\beta\right|+\left|\beta\right|\left|a_n-\alpha\right|\\
\lt&|M|\varepsilon_1+|\beta|\varepsilon_2=\varepsilon (\varepsilon=|M|\varepsilon_1+|\beta|\varepsilon_2)
\end{aligned}
が成り立つ。これは\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n)}=\alpha\betaを意味する。

 最後、b_n\neq0かつ\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}\neq0として


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}}=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}}{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}}}
\end{aligned}
については、直前に示した内容においてc_n=\displaystyle{\frac{1}{b_n}}としてa_n c_nの極限を考えればよい。
 実際、{}^{\forall}\varepsilon\gt0に対して{}^{\forall}n\geq N_2を取れば

\begin{aligned}
\left|\beta\right|-\left|b_n\right|\leq\left|\left|\beta\right|-\left|b_n\right|\right|\leq\left|b_n-\beta\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}
が成り立つ。ここで特に\varepsilon=\displaystyle{\frac{\left|\beta\right|}{2}}を取れば、n\geq N^{*}に対して\left|b_n\right|\geq\displaystyle{\frac{\left|\beta\right|}{2}}を満たすようなN^{*}\in\mathbb{N}を取ることができる。
 したがって{}^{\forall}n\geq\max\{N_2,N^{*}\}に対して

\begin{aligned}
\left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{\beta}\right|=\displaystyle{\frac{\left|b_n-\beta\right|}{\left|b_n\beta\right|}}\leq \displaystyle{\frac{2\left|b_n-\beta\right|}{\left|\beta\right|^2}}\leq \displaystyle{\frac{2\varepsilon}{\left|\beta\right|^2}}
\end{aligned}
である。\displaystyle{\frac{2\varepsilon}{\left|\beta\right|^2}}も任意の正数であるから、これは

\begin{aligned}
\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle{\frac{1}{b_n}}=\displaystyle{\frac{1}{\beta}}
\end{aligned}
を意味する。したがってb_n\neq0かつ\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}\neq0として

\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}}=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}}{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}}}
\end{aligned}
が成り立つ。 \blacksquare

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