やりなおしの数学・微分積分篇（04/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

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今日のまとめ

収束する数列は有界である

はさみうちの原理：数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ が任意の $n\geq1$ について $a_n\leq b_n\leq c_n$ を満たすとする。このとき $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}c_n}=\alpha$ ならば $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}=\alpha$ が成り立つ。

極限について四則演算が成り立つ：収束列である $\{a_n\},\{b_n\}$ および $c\in\mathbb{R}$ に対して
$\begin{aligned}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\pm b_n)}&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\pm\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n},\\\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}ca_n}&=c \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n},\\\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n b_n}&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n},\\b_n\neq0かつ\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}\neq0ならば\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}}&=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}}{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}}}\end{aligned}$

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今日のまとめ
4.　数列
- 4.3　極限の基本的性質
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4.　数列

　前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。

4.3　極限の基本的性質

4.3.1　収束する数列の有界性

　収束する数列は有界である。

（ $\because$ 　数列 $\{a_{n}\}$ について有界であること、すなわち $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}}=\alpha,\ \left|\alpha\right|\lt\infty$ であると仮定する。このとき極限の定義から、ある $N\gt0$ が存在して $n\gt N$ を取ると、任意の $\varepsilon\gt0$ について

$\begin{aligned} \left|a_{n}-\alpha\right|\lt\varepsilon \end{aligned}$

が成り立つ。したがってたとえば $\varepsilon=1$ を取ることで

$\begin{aligned} \alpha-1\lt a_{n}\lt\alpha+1 \end{aligned}$

が成立する。そこで $M_{*}=\min\{a_1,a_2,\cdots,a_{N-1},\alpha-1\}$ および $M^{*}=\max\{a_1,a_2,\cdots,a_{N-1},\alpha+1\}$ とおけば、任意の $n\geq 1$ について

$\begin{aligned} M_{*}\lt a_{n}\lt M^{*} \end{aligned}$

となり、これは $\{a_n\}$ が有界であることに他ならない。　 $\blacksquare$ ）

4.3.2　はさみうちの原理

　数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ が任意の $n\geq1$ について $a_n\leq b_n\leq c_n$ を満たすとする。このとき $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}c_n}=\alpha$ ならば $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}=\alpha$ が成り立つ。

（ $\because$ 　任意の $\varepsilon\gt0$ に対して $N_1,N_2\in\mathbb{N}$ を充分に取れば、

$\begin{aligned} \left|a_n-\alpha\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_{1}\\ \left|c_n-\alpha\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_{2} \end{aligned}$

が成り立つ。そこで $N=\max\{N_1,N_2\}$ とすると、 $n\geq N$ であるような任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して

$\begin{aligned} \alpha-\varepsilon\lt a_n\lt\alpha+\varepsilon,\\ \alpha-\varepsilon\lt c_n\lt\alpha+\varepsilon \end{aligned}$

である。
　仮定 $a_n\leq b_n\leq c_n$ から

$\begin{aligned} &\alpha-\varepsilon\lt a_n\leq b_n\leq c_n\lt\alpha+\varepsilon\\ \Leftrightarrow&\alpha-\varepsilon\lt b_n\lt\alpha+\varepsilon \end{aligned}$

が成り立つ。
　これを整理すれば、 $n\geq N$ であるような任意の $n\in\mathbb{N}$ に対してある $n\geq N$ を取れば任意の $\varepsilon$ について

$\begin{aligned} &\ \ \alpha-\varepsilon\lt b_n\lt\alpha+\varepsilon\\ \Leftrightarrow&\ \ \left|b_n-\alpha\right|\lt\varepsilon \end{aligned}$

であることを意味し、これは ${}^{\exists}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}=\alpha$ に他ならない。　 $\blacksquare$ ）

4.3.3　極限に関する加減乗除

　収束列である $\{a_n\},\{b_n\}$ および $c\in\mathbb{R}$ に対して

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\pm b_n)}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\pm\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}$

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}ca_n}=c \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}$

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n b_n}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}$

$b_n\neq0$ かつ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}\neq0$ ならば $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}}=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}}{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}}}$

（ $\because$ 　以下、

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}&=\alpha\\ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}&=\beta \end{aligned}$

とおく。極限の定義よりある $N_1,\ N_2\gt0$ を取ると、任意の $n_1\gt N_1,\ n_2\gt N_2$ について任意の正数 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ を取ることで

$\begin{aligned} \left|a_{n_1}-\alpha\right|\lt\varepsilon_1,\\ \left|b_{n_2}-\beta\right|\lt\varepsilon_2 \end{aligned}$

　まず

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\pm b_n)}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\pm\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n} \end{aligned}$

について。
　ある $N=\max\{N_1,N_2\}$ について任意の $n\gt N$ を取れば、任意の正数 $\varepsilon$ について実数に関する三角不等式から（以下、復号同順である。）

$\begin{aligned} \left|(a_n+ b_n)-(\alpha +\beta)\right|=&\left|(a_n-\alpha)+(b_n-\beta)\right|\\ \leq& \left|a_n-\alpha\right|+\left|b_n-\beta\right|\\ \lt& \varepsilon_1+\varepsilon_2=\varepsilon\ (\varepsilon=\varepsilon_1+\varepsilon_2) \end{aligned}$

これは $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)}=\alpha+\beta$ を意味する。
　同様に考えることで

$\begin{aligned} \left|(a_n- b_n)-(\alpha -\beta)\right|=&\left|(a_n-\alpha)+\{-(b_n-\beta)\}\right|\\ \lt& \left|a_n-\alpha\right|+\left|b_n-\beta\right|\\ \lt& \varepsilon_1+\varepsilon_2=\varepsilon\ (\varepsilon=\varepsilon_1+\varepsilon_2) \end{aligned}$

これは $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)}=\alpha-\beta$ を意味する。

　次に

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}ca_n}=c \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n} \end{aligned}$

について。
　 $\{a_n\}$ の極限について $\varepsilon_1$ は任意であるから、 $\displaystyle{\frac{\varepsilon_1}{|c|}}$ としてもよく

$\begin{aligned} &\left|a_n-\alpha\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon_1}{|c|}} \Leftrightarrow&\left|ca_n-c\alpha\right|\lt\varepsilon_1 \end{aligned}$

が成り立つ。これは $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}ca_n}=c\alpha$ を意味する。

　また

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n)}=\left(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\right)\left(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}\right) \end{aligned}$

について。

$\begin{aligned} \left|a_n b_n-\alpha\beta\right|&=\left|a_n b_n-\beta a_n+\beta a_n-\alpha\beta\right|\\ &=\left|a_n(b_n-\beta)+\beta (a_n-\alpha)\right|\\ &=\left|a_n(b_n-\beta)+\beta (a_n-\alpha)\right|\\ &\lt\left|a_n(b_n-\beta)\right|+\left|\beta (a_n-\alpha)\right|\\ &\lt\left|a_n(b_n-\beta)\right|+\left|\beta (a_n-\alpha)\right|\\ &\lt\left|a_n\right|\left|b_n-\beta\right|+\left|\beta\right|\left|a_n-\alpha\right|\\ \end{aligned}$

が成り立つ。前節にて示したように、収束列は有界であるから、 $|a_n|$ について

$\begin{aligned} {}^{\exists}M\in\mathbb{R}\ s.t.\ |a_n|\lt M \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} \left|a_n b_n-\alpha\beta\right|=&\left|a_n b_n-\beta a_n+\beta a_n-\alpha\beta\right|\\ \lt&\left|a_n\right|\left|b_n-\beta\right|+\left|\beta\right|\left|a_n-\alpha\right|\\ \lt&|M|\left|b_n-\beta\right|+\left|\beta\right|\left|a_n-\alpha\right|\\ \lt&|M|\varepsilon_1+|\beta|\varepsilon_2=\varepsilon (\varepsilon=|M|\varepsilon_1+|\beta|\varepsilon_2) \end{aligned}$

が成り立つ。これは $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n)}=\alpha\beta$ を意味する。

　最後、 $b_n\neq0$ かつ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}\neq0$ として

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}}=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}}{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}}} \end{aligned}$

については、直前に示した内容において $c_n=\displaystyle{\frac{1}{b_n}}$ として $a_n c_n$ の極限を考えればよい。
　実際、 ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対して ${}^{\forall}n\geq N_2$ を取れば

$\begin{aligned} \left|\beta\right|-\left|b_n\right|\leq\left|\left|\beta\right|-\left|b_n\right|\right|\leq\left|b_n-\beta\right|\lt\varepsilon \end{aligned}$

が成り立つ。ここで特に $\varepsilon=\displaystyle{\frac{\left|\beta\right|}{2}}$ を取れば、 $n\geq N^{*}$ に対して $\left|b_n\right|\geq\displaystyle{\frac{\left|\beta\right|}{2}}$ を満たすような $N^{*}\in\mathbb{N}$ を取ることができる。
　したがって ${}^{\forall}n\geq\max\{N_2,N^{*}\}$ に対して

$\begin{aligned} \left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{\beta}\right|=\displaystyle{\frac{\left|b_n-\beta\right|}{\left|b_n\beta\right|}}\leq \displaystyle{\frac{2\left|b_n-\beta\right|}{\left|\beta\right|^2}}\leq \displaystyle{\frac{2\varepsilon}{\left|\beta\right|^2}} \end{aligned}$

である。 $\displaystyle{\frac{2\varepsilon}{\left|\beta\right|^2}}$ も任意の正数であるから、これは

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle{\frac{1}{b_n}}=\displaystyle{\frac{1}{\beta}} \end{aligned}$

を意味する。したがって $b_n\neq0$ かつ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}\neq0$ として

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}}=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}}{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}}} \end{aligned}$

が成り立つ。　 $\blacksquare$ ）

次回

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今日のまとめ

4. 数列

4.3 極限の基本的性質

4.3.1 収束する数列の有界性

4.3.2 はさみうちの原理

4.3.3 極限に関する加減乗除

次回

4.　数列

4.3　極限の基本的性質

4.3.1　収束する数列の有界性

4.3.2　はさみうちの原理

4.3.3　極限に関する加減乗除