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やりなおしの数学・微分積分篇(12/X)

以下の書籍

www.rokakuho.co.jp

を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 数列\{a_n\}
    \begin{aligned}a_n\geq a_{n+1}\gt0,\ n=1,2,3,\cdots,\ \ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=0\end{aligned}
    を満たすならば、交代級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n}および\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_n}は収束する。
  • 数列\{a_n\}に対して級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}が収束するとき、級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}絶対収束するといい、このとき\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}を絶対収束級数という。絶対収束する級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}は収束する。

4. 数列

4.13.3 比較判定法(続き)

 各項の符号が交互に替わる級数を交代級数という。交代級数には以下のような収束性を判定する定理が存在する。


収束性の判定:Leibnizの定理 数列\{a_n\}

\begin{aligned}
a_n\geq a_{n+1}\gt0,\ n=1,2,3,\cdots,\ \ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=0
\end{aligned}
を満たすならば、交代級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n}および\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_n}は収束する。
(\because \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n}について考える。

\begin{aligned}
S_n=a_1-a_2+\cdots+(-1)^{n-1}a_n=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_i}
\end{aligned}

と部分和を定義すると、


\begin{aligned}
S_{2m}&=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\cdots+(a_{2m-1}-a_{2m}),\\
S_{2m+1}&=a_1-(a_2-a_3)-\cdots-(a_{2m}-a_{2m+1})
\end{aligned}

が成り立つ。したがって\{S_{2m}\}は単調増加列、\{S_{2m+1}\}は単調減少列であり、これらは更に


\begin{aligned}
S_{2m+1}=S_{2m}+a_{2m+1}\gt S_{2m}
\end{aligned}

を満たす。
 ここから


\begin{aligned}
0\lt S_2\leq S_4\leq \cdots\leq S_{2m}\leq\cdots\leq S_{2m+1}\leq\cdots\leq S_3\leq S_1
\end{aligned}

が得られるから、\{S_{2m}\}は上に有界な単調増加列、\{S_{2m+1}\}は下に有界な単調減少列であるから、極限


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2m}}=&\alpha,\\
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2m+1}}=&\beta
\end{aligned}

が存在する。
 これにより


\begin{aligned}
S_{2m+1}=S_{2m}+a_{2m+1}\gt S_{2m}
\end{aligned}

の右辺および左辺それぞれの極限を取ることで


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2m+1}}=\beta=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2m}}+\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_{2m+1}}=\alpha+0=\alpha
\end{aligned}

を得る。以上より\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_n}=\alphaとなり、したがって交代級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n}は収束する。 \blacksquare


 数列\{a_n\}に対して級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}が収束するとき、級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}絶対収束するといい、このとき\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}を絶対収束級数という。このとき以下が成り立つ:


絶対収束級数と収束性 数列\{a_n\}に対し絶対収束する級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}は収束する。
\because m\gt nに対して

\begin{aligned}
0\leq\left|\displaystyle{\sum_{k=n+1}^{m}a_k}\right|\leq\displaystyle{\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|}
\end{aligned}

が成り立つ。仮定より\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}は収束するから、上式の右辺はm,n\rightarrow\inftyとともに0に収束する。したがって級数\left|\displaystyle{\sum_{k=n+1}^{m}a_k}\right|は収束する。 \blacksquare


 この逆は成り立たない。実際、


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}}
\end{aligned}

は収束するものの


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\right|}
\end{aligned}

は無限大に発散する。一般に、\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}が無限大に発散し\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}が収束するとき、\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}条件収束するという。
 \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}は正項級数であるから、この級数が絶対収束するかどうかについては、正項級数の収束判定法が活用できる。

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