やりなおしの数学・微分積分篇（12/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

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今日のまとめ

数列 $\{a_n\}$ が
$\begin{aligned}a_n\geq a_{n+1}\gt0,\ n=1,2,3,\cdots,\ \ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=0\end{aligned}$
を満たすならば、交代級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n}$ および $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_n}$ は収束する。

数列 $\{a_n\}$ に対して級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}$ が収束するとき、級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ は絶対収束するといい、このとき $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ を絶対収束級数という。絶対収束する級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ は収束する。

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4.　数列
- 4.13.3　比較判定法(続き)
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4.　数列

4.13.3　比較判定法(続き)

　各項の符号が交互に替わる級数を交代級数という。交代級数には以下のような収束性を判定する定理が存在する。

収束性の判定：Leibnizの定理　数列 $\{a_n\}$ が

$\begin{aligned} a_n\geq a_{n+1}\gt0,\ n=1,2,3,\cdots,\ \ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=0 \end{aligned}$

を満たすならば、交代級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n}$ および $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_n}$ は収束する。

( $\because$ 　 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n}$ について考える。

$\begin{aligned} S_n=a_1-a_2+\cdots+(-1)^{n-1}a_n=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_i} \end{aligned}$

と部分和を定義すると、

$\begin{aligned} S_{2m}&=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\cdots+(a_{2m-1}-a_{2m}),\\ S_{2m+1}&=a_1-(a_2-a_3)-\cdots-(a_{2m}-a_{2m+1}) \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $\{S_{2m}\}$ は単調増加列、 $\{S_{2m+1}\}$ は単調減少列であり、これらは更に

$\begin{aligned} S_{2m+1}=S_{2m}+a_{2m+1}\gt S_{2m} \end{aligned}$

を満たす。
　ここから

$\begin{aligned} 0\lt S_2\leq S_4\leq \cdots\leq S_{2m}\leq\cdots\leq S_{2m+1}\leq\cdots\leq S_3\leq S_1 \end{aligned}$

が得られるから、 $\{S_{2m}\}$ は上に有界な単調増加列、 $\{S_{2m+1}\}$ は下に有界な単調減少列であるから、極限

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2m}}=&\alpha,\\ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2m+1}}=&\beta \end{aligned}$

が存在する。
　これにより

$\begin{aligned} S_{2m+1}=S_{2m}+a_{2m+1}\gt S_{2m} \end{aligned}$

の右辺および左辺それぞれの極限を取ることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2m+1}}=\beta=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2m}}+\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_{2m+1}}=\alpha+0=\alpha \end{aligned}$

を得る。以上より $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_n}=\alpha$ となり、したがって交代級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n}$ は収束する。　 $\blacksquare$ ）

　数列 $\{a_n\}$ に対して級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}$ が収束するとき、級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ は絶対収束するといい、このとき $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ を絶対収束級数という。このとき以下が成り立つ：

絶対収束級数と収束性　数列 $\{a_n\}$ に対し絶対収束する級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ は収束する。

（ $\because$ 　 $m\gt n$ に対して

$\begin{aligned} 0\leq\left|\displaystyle{\sum_{k=n+1}^{m}a_k}\right|\leq\displaystyle{\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|} \end{aligned}$

が成り立つ。仮定より $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}$ は収束するから、上式の右辺は $m,n\rightarrow\infty$ とともに $0$ に収束する。したがって級数 $\left|\displaystyle{\sum_{k=n+1}^{m}a_k}\right|$ は収束する。　 $\blacksquare$ ）

　この逆は成り立たない。実際、

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}} \end{aligned}$

は収束するものの

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\right|} \end{aligned}$

は無限大に発散する。一般に、 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}$ が無限大に発散し $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ が収束するとき、 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ は条件収束するという。
　 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}$ は正項級数であるから、この級数が絶対収束するかどうかについては、正項級数の収束判定法が活用できる。

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4.13.3 比較判定法(続き)

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