金融工学でのモンテカルロ法(20/23)：アメリカン・オプションの評価(5)Stratified state aggregation法

　金融工学におけるシミュレーションについて学んでいく。テキストとして以下を使う。今回はP.133-136まで。

モンテカルロ法の金融工学への応用 (シリーズ現代金融工学)

作者:祥二, 湯前,輝好, 鈴木
朝倉書店

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8.　アメリカン・オプションのMonte Carlo法による評価
- 8.6　Stratified state aggregation法
次回

8.　アメリカン・オプションのMonte Carlo法による評価

　アメリカン・オプションの価格は、有限差分法またはツリー法によるのが一般的であった。しかし $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法でも計算できるようになってきた。

8.6　Stratified state aggregation法

　 $\mathrm{Barraquand\ and\ Martineau}$ が示した多資産を原資産とするアメリカン・オプションの評価に有効な方法として $\mathrm{Stratified}$ $\mathrm{state}$ $\mathrm{aggregation}$ 法（ $\mathrm{SSA}$ 法）がある。
　この方法において中心的な役割を果たすアイディアは $\mathrm{state}$ $\mathrm{aggregation}$ と呼ばれる近似計算方法である。空間全体をより低い次元を持つ空間に写像し、その像全体を分割するというものである。

8.6.1　推移確率モデル

　現在価格算出の基本的枠組みは推移確率を用いるというものである。
　ある状態変数（通常は原資産）の時点 $t_j$ 、状態 $k(k=1,\cdots,K_j)$ の値を $X_j(k)$ とする。ただし $K_0=1$ とする。この時状態 $(t_j,k)$ から状態 $t_{j+1},l)$ への推移確率を

$\begin{aligned} \pi_{j}(k,l),\ k=1,\cdots,K_j,\ l=1,\cdots,K_{j+1} \end{aligned}$

とする。また時点 $t_j$ における早期行使価格が状態変数 $X$ の関数 $f(X)$ で定まるものとする。すると時点 $t_j$ 、状態 $k$ においてオプション価格 $P_j(k)$ は漸化式

$\begin{aligned} P_j(k)=\max\left[f(X_j(k)), e^{r(t_{j+1}-t_j)}\displaystyle{\sum_{l=1}^{K_j+1}\pi_j(k,l)P_{j+1}(l)} \right] \end{aligned}$

を満たすことから、これを後進的に解いてオプション価格 $P_0(K_0)$ を得る。

8.6.2　State aggregation

　状態変数を原資産価格とした場合、単純な推移確率モデルでは多資産のオプションは事実上評価できない。なぜならば状態数が幾何級数的に増大するからである。 $\mathrm{SSA}$ 法ではこの問題を" $\mathrm{state}$ $\mathrm{aggregation}$ "近似を用いて解決した。すなわち多資産がもたらす高次元問題を1次元問題に次元縮小した。
　第 $\alpha(\alpha=1,\cdots,A)$ の第 $i$ パス、時点 $t_j$ における値を

$\begin{aligned} S_j^{\alpha}(i),\ i=1\cdots,N,\ j=0,1,\cdots,M,\ t_0=0,t_M=T \end{aligned}$

とし、多資産パスを

$\begin{aligned} \boldsymbol{S}_{j}(i)=(S_j^{1}(i),\cdots,S_j^{A}(i)),\ i=1\cdots,N,\ j=0,1 \end{aligned}$

と記す。またペイオフ関数を $h(\boldsymbol{S})$ で与える。

(1)	ペイオフ関数値を状態変数 $X$ とし、 $\begin{aligned}X_j(i)=h(\boldsymbol{S}_{j}(i))\end{aligned}$ とする。また $X_j$ の値域を区間 $\begin{aligned}C_j^k=\left[c_j^k,c_j^{k+1}\right),\ k=0,\cdots,K_j\end{aligned}$ に分割し $X_j\in C_j^k$ のとき $X_j$ は状態 $k$ にいると定義する。
(2)	多資産パス $\boldsymbol{S}(i)$ を発生させて $X_j\in C_j^k$ となるパスの数 $a_j(k)$ を数える。同様に $X_j\in C_j^k$ かつ $X_{j+1}\in C_{j+1}^l$ となるパスの数 $b_j(k,l)$ を数える。また $\begin{aligned}f_j(k)=\displaystyle{\sum_{X_j\in C_j^k}X_j},\ j=1,\cdots,M\ k=1,\cdots,K_j\end{aligned}$ を計算しておく。
(3)	全パスを発生させた後、推移確率 $\begin{aligned}\pi_j(k,l)=\displaystyle{\frac{b_j(k,l)}{a_j(k)}}\end{aligned}$ を計算する。また時点 $t_j,j=1,\cdots,M$ における状態 $k$ の行使価格を $\begin{aligned}e_j(k)=\displaystyle{\frac{f_j(k)}{a_j(k)}},j=1,\cdots,M,k=1,\cdots,K_j\end{aligned}$ とする。
(4)	$P_j(k)$ および $V_j(k)$ をそれぞれ時点 $t_j$ 、状態 $k$ のオプション価格および持越し価値とし、以下の漸化式を後進アルゴリズムにより解く： $\begin{aligned}\left\{\begin{array}{l}V_j(k)&=e^{-r(t_{J+1}-t_j)}\displaystyle{\sum_{l=1}^{K_{j+1}}\pi_j(k,l)P_{j+1}(l)},\\P_j(k)&=\max\{e_j(k),V_j(k)\},\ j=1,\cdots,M-1,k=1,\cdots,K_j\end{array}\right.\end{aligned}$

ただし $P_M(k)=e_M(k)$ とする。

8.6.3　誤差の修正

　 $\mathrm{Boyle,}$ $\mathrm{Boradie}$ $\mathrm{and}$ $\mathrm{Gallserman}$ は $\mathrm{SSA}$ 法に修正不可能な誤差が存在することを指摘している。
　 $\mathrm{Raymer}$ $\mathrm{and}$ $\mathrm{Zwecher}$ はこの問題を改善する方法を提唱した。次元縮小を与える写像の像を2次元（もしくは3次元）にするように拡張した。ただし推移確率モデルの次元が増えるため、幾何級数的に計算負荷が増大する。