金融工学でのモンテカルロ法(17/22)：アメリカン・オプションの評価(4)バンドリング・アルゴリズム

　金融工学におけるシミュレーションについて学んでいく。テキストとして以下を使う。今回はP.121-123まで。

モンテカルロ法の金融工学への応用 (シリーズ現代金融工学)

作者:祥二, 湯前,輝好, 鈴木
朝倉書店

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8.　アメリカン・オプションのMonte Carlo法による評価
- 8.4　バンドリング・アルゴリズム

8.　アメリカン・オプションのMonte Carlo法による評価

　アメリカン・オプションの価格は、有限差分法またはツリー法によるのが一般的であった。しかしMonte Carlo法でも計算できるようになってきた。

8.4　バンドリング・アルゴリズム

　バンドリング・アルゴリズムはTilleyによって提唱されたアルゴリズムである。アルゴリズムの概略は以下のとおり。

最適行使境界を大雑把に定める。
真の最適行使境界に近づけるためのいくつかの工夫を施す。
停止時刻型Monte Carlo法によりオプション価格を算出する。

　アメリカン・プット・オプション（行使価格 $K$ , 満期 $T$ ）を考えると、持ち越し価値早期行使価値が等しくなる点が最適行使境界である。
　時点 $0$ から満期 $T$ までを

$\begin{aligned} t_j,\ j=1,2,\cdots,M,\ M\Delta t=T \end{aligned}$

で離散化する。また時点 $t_j$ における第 $i$ 番目の株価を

$\begin{aligned} S_j(i),\ j=0,1,\cdots,M,\ i=1,2,\cdots,N \end{aligned}$

と書く。
　アルゴリズムをより詳細に分けると6段階に分けられる：

バンドリング・アルゴリズムによる
アメリカン・プット・オプション価格の算出アルゴリズム

(1)	第 $i$ 株価パス( $i=1,2,\cdots,N$ ) $\begin{aligned}S_j(i),\ j=0,1,\cdots,M,\ M\Delta t=T\end{aligned}$ を発生させてこれらを保存する。
(2)	すべてのパス $i$ およびすべての時点 $t_j$ において行使価値 $\begin{aligned}e_j(i)=\max[K-S_j(i),0]\end{aligned}$ を計算する。
(3)バンドリング	ある時点 $t_j$ を固定する。このときパス $i$ における持越し価値 $V_j(i)$ を与える関数を以下の手順で定める。 (a) $N$ この全パスを $S_j(i)$ を基準として大きい順に並べる。 (b)これらを大きい順に $Q$ 個ずつバンドリングしてパスを $m$ 束にまとめる（ $N=mQ$ ）。 (c)第 $k$ 束( $k=1,2,\cdots,m$ )に入るパスの集合を $\boldsymbol{I}(k)$ とし、その元を $i_k$ とする。このとき $\boldsymbol{I}(k)$ は $\{1,2,\cdots,N\}$ の部分集合で $Q$ 個の元から成る。また時点 $t_j$ 、パス $i_k$ における持越し価値を $\begin{aligned}V_j(i_k)=\displaystyle{\frac{1}{Q}\sum_{i_k\in\boldsymbol{I}(k)}P_{j+1}(i_k)}\end{aligned}$ で定める。ただし $P_j(i)$ は時点 $j$ 、パス $i$ におけるオプション価値である。持越し価値は束内で同じ値とする。
(4)	すべての時点 $t_j$ のすべてのパス $i$ における持越し価値を以下の後進アルゴリズムで計算する。 (a) $j=M$ のとき $P_M(i)=\max[K-S_M(i),0]$ とする。 (b) $j=M-1$ のとき(3)(c)と同様に $\begin{aligned}V_j(i_k)=\displaystyle{\frac{1}{Q}\sum_{i_k\in\boldsymbol{I}(k)}P_{j+1}(i_k)}\end{aligned}$ で $V_{M-1}(i),i=1,2,\cdots,N$ を定める。 (c) $j=M-2$ のとき同様にして $V_{M-2}(i),i=1,2,\cdots,N$ を定め順次 $j=1$ まで持越し価値を定める。
(5)	各時点 $t_j$ について $e_j(i),\ V_j(i)$ の大小が入れ替わる点を最適行使境界とする。
(6)	停止時刻型のMonte Carlo法を行なう。