金融工学でのモンテカルロ法(16/23)：アメリカン・オプションの評価(1)手法の概要

　金融工学におけるシミュレーションについて学んでいく。テキストとして以下を使う。今回はP.112-115まで。

モンテカルロ法の金融工学への応用 (シリーズ 現代金融工学)

power-of-awareness.com

8.　アメリカン・オプションのMonte Carlo法による評価

　アメリカン・オプションの価格は、有限差分法またはツリー法によるのが一般的であった。しかし法でも計算できるようになってきた。

8.1　計算手法の発展

　Black and Scholesは原資産が1つでリスク中立な確率微分方程式

を満たす場合、を原資産とする配当の無いすべてのオプションは次の偏微分方程式を満たすことを示した：

これはアメリカン・オプションでも成り立つ。ただし、早期行使境界が解の一部になっている点が原因となり、明快な解析解が得られていない。
　現在提唱されているアメリカン・オプションの評価モデルは近似に頼っており、以下の方法に分類できる：

(1) 解析的近似解	①上記の偏微分方程式を常微分方程式で近似する。満期までの期間が長くなると不正確になる。 ②離散的な自国で行使可能なコンパウンド・オプションとして捉える。ただし多次元正規分布の累積分布関数は数値計算を用いる。
(2) 数値的近似解	①有限差分法 ②ツリー法 ③モンテカルロ・シミュレーション

　解析的近似解では多資産評価は困難であり、（研究当時の）コンピュータの性能では高々3～4資産が限界であった。他方で法は多資産評価に強い。

図表1　法によるアメリカン・オプション評価手法の概要

方法	資産数	経路依存型	権利更新頻度	真の値への収束	バイアス
バンドリング・アルゴリズム	1	不可	充分*1	明示されない	プラス方向にあり
最適行使境界の バックワード・サーチ法①	1,2,3	不可	充分	問題なし	なし
最適行使境界の バックワード・サーチ法②	1,2,3	可	充分	問題なし	マイナス方向にあり
stratified state aggregation法	1～400	不可	充分	保証なし	？
ランダム・ツリーによる挟みうち法	1,2,3	不可	3程度まで	明確に保証	プラス・マイナス方向にあり得る
確率的メッシュによる挟みうち法	1～10	不可	充分	明確に保証	プラス・マイナス方向にあり得る

出典：湯前・鈴木(2000)*2を基に一部改訂

次回

power-of-awareness.com

*1:負荷が幾何級数的に増えないことを意味する。

*2:湯前祥二・鈴木輝好（2000）「モンテカルロ法の金融工学への応用」朝倉書店　P.114参照。