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統計学のための線形代数（033/X）

数学統計学線形代数

　統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

統計学のための線形代数

統計学のための線形代数

朝倉書店

を基により高等な線形代数を学ぶ。

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5.　一般化逆行列
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5.　一般化逆行列

5.2　Moore-Penrose形一般逆行列の性質

　 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型逆行列は、 $\mathrm{Moore}$ (1935)により初めてなされたもので、それは従前に示したものとは異なる。この定義は、射影行列を基にしている。

定義5.4　 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型逆行列（ $\mathrm{Moore}$ ）　 $m\times n$ 行列 $A$ に対して、以下の条件を満たす一意な $n\times m$ 行列 $A^{+}$ を $A$ の $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型逆行列という：

$AA^{+}=P_{R(A)}$
$A^{+}A=P_{R(A^{+})}$

ここで $P_{R(A)}$ および $P_{R(A^{+})}$ はそれぞれ $A,A^{+}$ の列空間の射影行列である。

この定義が、 $\mathrm{Penrose}$ による定義と等価であることを以下に示す。

　まず $\mathrm{Moore}$ による定義を満たす $A^{+}$ が $\mathrm{Penrose}$ による定義を満たすことを示す。定義から射影行列は対称であるから、 $\mathrm{Penrose}$ による定義のうち

$\begin{aligned} \left(AA^{+}\right)^{\prime}&=AA^{+}\\ \left(A^{+}A\right)^{\prime}&=A^{+}A \end{aligned}$

が直ちに成り立つ。
　次に $A$ の列は $R(A)$ 内に含まれるため、

$\begin{aligned} AA^{+}A=P_{R(A)}A=A \end{aligned}$

が成り立ち、同様に

$\begin{aligned} A^{+}AA^{+}=P_{R(A^{+})}A^{+}=A^{+} \end{aligned}$

が成立する。以上から1つ目および2つ目の条件

$\begin{aligned} AA^{+}A&=A,\\ A^{+}AA^{+}&=A^{+} \end{aligned}$

を満たす。
　逆に $A^{+}$ が $\mathrm{Penrose}$ 型逆行列を満たすと仮定する。このとき、

$\begin{aligned} &A^{+}AA^{+}=A^{+}\\ \Leftrightarrow&AA^{+}AA^{+}=AA^{+}\\ \Leftrightarrow&\left(AA^{+}\right)^2=AA^{+} \end{aligned}$

を得る。これは $AA^{+}$ が冪等行列かつ対称行列であることを意味し、これにより $AA^{+}$ は射影行列である。 $AA^{+}$ が $A$ の列空間の射影行列であることは、積の定義できる任意の行列 $B,C$ について、 $R(BC)\subset R(B)$ が成り立つことから、

$\begin{aligned} R(A)=R(AA^{+}A)\subset R(AA^{+})\subset R(A) \end{aligned}$

が得られる。以上から、 $R(A)=R(AA^{+})$ であり、 $P_{R(A)}=AA^{+}$ が成立する。 $P_{R(A^{+})}=A^{+}A$ についても同様の議論をすればよい。　 $\blacksquare$ )

　行列の階数と $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型逆行列の階数には、以下の関係がある。

定理5.5　行列の階数と $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型逆行列の階数の関係　任意の $m\times n$ 行列 $A$ に対して以下が成り立つ：

$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^{+})=\mathrm{rank}(AA^{+})=\mathrm{rank}(A^{+}A) \end{aligned}$

( $\because$ 　行列の積の階数は、積に含まれるいずれの行列の階数を超えないことに注意すれば、 $AA^{+}A=A$ より

$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(AA^{+}A)\leq\mathrm{AA^{+}}\leq\mathrm{A^{+}} \end{aligned}$

が成り立つ。同様に条件 $A^{+}AA^{+}=A^{+}$ より、

$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A^{+})=\mathrm{rank}(A^{+}AA^{+})\leq\mathrm{rank}(A^{+}A)\leq\mathrm{rank}(A) \end{aligned}$

が成り立つ。これらをまとめて題意を得る。　 $\blacksquare$ )

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