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統計学のための線形代数（033/X）

数学 統計学 線形代数

　統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

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5.　一般化逆行列

5.2　Moore-Penrose形一般逆行列の性質

　\mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}型逆行列は、\mathrm{Moore}(1935)により初めてなされたもので、それは従前に示したものとは異なる。この定義は、射影行列を基にしている。


定義5.4　\mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}型逆行列（\mathrm{Moore}）　m\times n行列Aに対して、以下の条件を満たす一意なn\times m行列A^{+}をAの\mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}型逆行列という：

  • AA^{+}=P_{R(A)}
  • A^{+}A=P_{R(A^{+})}

ここでP_{R(A)}およびP_{R(A^{+})}はそれぞれA,A^{+}の列空間の射影行列である。

この定義が、\mathrm{Penrose}による定義と等価であることを以下に示す。

　まず\mathrm{Moore}による定義を満たすA^{+}が\mathrm{Penrose}による定義を満たすことを示す。定義から射影行列は対称であるから、\mathrm{Penrose}による定義のうち

\begin{aligned} \left(AA^{+}\right)^{\prime}&=AA^{+}\\ \left(A^{+}A\right)^{\prime}&=A^{+}A \end{aligned}

が直ちに成り立つ。
　次にAの列はR(A)内に含まれるため、

\begin{aligned} AA^{+}A=P_{R(A)}A=A \end{aligned}

が成り立ち、同様に

\begin{aligned} A^{+}AA^{+}=P_{R(A^{+})}A^{+}=A^{+} \end{aligned}

が成立する。以上から1つ目および2つ目の条件

\begin{aligned} AA^{+}A&=A,\\ A^{+}AA^{+}&=A^{+} \end{aligned}

を満たす。
　逆にA^{+}が\mathrm{Penrose}型逆行列を満たすと仮定する。このとき、

\begin{aligned} &A^{+}AA^{+}=A^{+}\\ \Leftrightarrow&AA^{+}AA^{+}=AA^{+}\\ \Leftrightarrow&\left(AA^{+}\right)^2=AA^{+} \end{aligned}

を得る。これはAA^{+}が冪等行列かつ対称行列であることを意味し、これによりAA^{+}は射影行列である。AA^{+}がAの列空間の射影行列であることは、積の定義できる任意の行列B,Cについて、R(BC)\subset R(B)が成り立つことから、

\begin{aligned} R(A)=R(AA^{+}A)\subset R(AA^{+})\subset R(A) \end{aligned}

が得られる。以上から、R(A)=R(AA^{+})であり、P_{R(A)}=AA^{+}が成立する。P_{R(A^{+})}=A^{+}Aについても同様の議論をすればよい。　\blacksquare)


　行列の階数と\mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}型逆行列の階数には、以下の関係がある。


定理5.5　行列の階数と\mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}型逆行列の階数の関係　任意のm\times n行列Aに対して以下が成り立つ：

\begin{aligned} \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^{+})=\mathrm{rank}(AA^{+})=\mathrm{rank}(A^{+}A) \end{aligned}
(\because　行列の積の階数は、積に含まれるいずれの行列の階数を超えないことに注意すれば、AA^{+}A=Aより

\begin{aligned} \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(AA^{+}A)\leq\mathrm{AA^{+}}\leq\mathrm{A^{+}} \end{aligned}

が成り立つ。同様に条件A^{+}AA^{+}=A^{+}より、

\begin{aligned} \mathrm{rank}(A^{+})=\mathrm{rank}(A^{+}AA^{+})\leq\mathrm{rank}(A^{+}A)\leq\mathrm{rank}(A) \end{aligned}

が成り立つ。これらをまとめて題意を得る。　\blacksquare)

次回

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