統計学のための線形代数（037/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

統計学のための線形代数

朝倉書店

Amazon

を基により高等な線形代数を学ぶ。

前回

power-of-awareness.com

前回
5.　一般化逆行列
- 5.3　行列積のMoore-Penrose形一般逆行列

5.　一般化逆行列

5.3　行列積のMoore-Penrose形一般逆行列

定理5.9　 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般化逆行列の積が可換な十分条件　次数がそれぞれ $m\times p,$ $p\times n$ であるような行列 $A,B$ が

$\begin{aligned} \mathrm{rank}\ A=\mathrm{rank}\ B=p \end{aligned}$

であるならば $(AB)^{+}=B^{+}A^{+}$ が成り立つ。

( $\because$ 　 $A$ は最大列階数で $B$ は最大行階数であるから、 $A^{+}=\left(A^{\prime}A\right)^{-1}A^{\prime}$ で、 $B^{+}=B^{\prime}\left(BB^{\prime}\right)^{-1}$ である。したがって

$\begin{aligned} ABB^{+}A^{+}AB&=AB\left(B^{\prime}\left(BB^{\prime}\right)^{-1}\right)\left(\left(A^{\prime}A\right)^{-1}A^{\prime}\right)AB\\ &=A\left(BB^{\prime}\right)\left(BB^{\prime}\right)^{-1}\left(A^{\prime}A\right)^{-1}\left(A^{\prime}A\right)B\\ &=AB\\ B^{+}A^{+}ABB^{+}A^{+}&=B^{\prime}\left(BB^{\prime}\right)^{-1}\left(A^{\prime}A\right)^{-1}A^{\prime}ABB^{\prime}\left(BB^{\prime}\right)^{-1}\left(A^{\prime}A\right)^{-1}A^{\prime}\\ &=B^{\prime}\left(BB^{\prime}\right)^{-1}\left(A^{\prime}A\right)^{-1}\left(A^{\prime}A\right)\left(BB^{\prime}\right)\left(BB^{\prime}\right)^{-1}\left(A^{\prime}A\right)^{-1}A^{\prime}\\ &=B^{\prime}\left(BB^{\prime}\right)^{-1}\left(A^{\prime}A\right)^{-1}A^{\prime}\\ &=B^{+}A^{+} \end{aligned}$

が成り立つ。更に

$\begin{aligned} ABB^{+}A^{+}&=ABB^{\prime}\left(BB^{\prime}\right)^{-1}\left(A^{\prime}A\right)A^{\prime}\\ &=A\left(A^{\prime}A\right)^{-1}A^{\prime}\\ B^{+}A^{+}AB&=B^{\prime}\left(BB^{\prime}\right)^{-1}\left(A^{\prime}A\right)^{-1}A^{\prime}AB\\ &=B^{\prime}\left(BB^{\prime}\right)^{-1}B \end{aligned}$

であるから、これらの行列は対称である。したがって $B^{+}A^{+}$ は $AB$ の $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般化逆行列である。　 $\blacksquare$ )

　定理5.9は有用ではあるものの、 $(AB)^{+}$ の分解のための十分条件した与えないという欠点がある。以下の定理はこの分解が成り立つための必要十分条件を与える。

定理5.10　 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般化逆行列の積が可換な必要十分条件　 $A$ を $m\times p$ 行列、 $B$ を $p\times n$ 行列とする。このとき $(AB)^{+}=B^{+}A^{+}$ のための必要十分条件は以下のそれぞれである。

$A^{+}ABB^{\prime}A^{\prime}=B^{\prime}A^{\prime}$ および $BB^{+}A^{\prime}AB=A^{\prime}AB$ が成り立つこと。
$A^{+}ABB^{\prime}$ および $A^{\prime}ABB^{+}$ が対称行列であること。
$A^{+}ABB^{\prime}A^{\prime}ABB^{+}=BB^{\prime}A^{\prime}A$ であること。
$A^{+}AB=B(AB)^{+}AB$ および $BB^{+}A^{\prime}=A^{\prime}AB(AB)^{+}$ であること。

　更に積 $AB$ が定義できるようなすべての行列 $A,B$ に対して成立するような $(AB)^{+}$ の一般表現を求める。そのために $AB=A_1B_1,$ $(A_1B_1)=B_1^{+}A_1^{+}$ を満たすように、 $A,B$ を $A_1^{+},B_1^{+}$ に変換することを考える。

定理5.11　積 $(AB)^{+}$ の一般表現　 $A$ を $m\times p$ 行列、 $B$ を $p\times n$ 行列とする。このとき $B_1=A^{+}AB$ かつ $A_1=AB_1B_1^{+}$ ならば $AB=A_1B_1$ かつ $(AB)^{+}=(B_1A_1)^{+}$ である。

( $\because$ 　与えられた行列 $A,B$ は

$\begin{aligned} AB=AA^{+}AB=AB_1=AB_1B_1^{+}B_1=A_1B_1 \end{aligned}$

であるから、1つ目は成り立つ。
　2つ目を示すべく、定理5.10の1番目、すなわち

$\begin{aligned} A^{+}ABB^{\prime}A^{\prime}&=B^{\prime}A^{\prime},\\ BB^{+}A^{\prime}AB&=A^{\prime}AB \end{aligned}$

が成り立つことを示す。
　まず

$\begin{aligned} A^{+}A_1&=A^{+}AB_1B_1^{+}=A^{+}A(A^{+}AB)B_1^{+}\\ &=A^{+}ABB_1^{+}=B_1B_1^{+}\\ A_1^{+}A_1&=A_1^{+}AB_1B_1^{+}=A_1^{+}A(B_1B_1^{+}B_1)B_1^{+}\\ &=A_1^{+}A_1B_1B_1^{+} \end{aligned}$

である。これらのうち2つ目の式の転置を取り、 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般逆行列の定義および上の1つ目の式より

$\begin{aligned} \left(A_1^{+}A_1\right)^{\prime}&=A_1^{+}A_1\ \ (\because\ \mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}型一般逆行列の条件式)\\ &=\left(B_1B_1^{+}\right)^{\prime}\left(A_1^{+}A_1\right)^{\prime}\ \ (\because\ 2つ目の式)\\ &=B_1B_1^{+}A_1^{+}A_1\ \ (\because\ 1つ目の式)\\ &=A^{+}\left(A_1A_1^{+}\right)A_1\\ &=A^{+}A_1\ \ (\because\ \mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}型一般逆行列の定義)\\ &=B_1B_1^{+}\ \ (\because\ 1つ目の式) \end{aligned}$

であり、したがって

$\begin{aligned} A_1^{+}A_1B_1B_1^{\prime}A_1^{\prime}&=B_1B_1^{+}B_1B_1^{\prime}A_1^{\prime}=B_1B_1^{\prime}A_1^{\prime} \end{aligned}$

が成立する。これは定理5.10の1番目の恒等式に他ならない。同定理の2番目の恒等式は

$\begin{aligned} A_1^{\prime}&=(AB_1B_1^{+})^{\prime}=(AB_1B_1^{+}B_1B_1^{+})^{\prime}\\ &=(A_1B_1B_1^{\prime})^{\prime}=B_1B_1^{+}A_1^{\prime} \end{aligned}$

に注目し、この式の両辺に $A_1B_1$ を右から掛けることで

$\begin{aligned} A_1^{\prime}A_1B_1&=(A_1B_1B_1^{\prime})^{\prime}=B_1B_1^{+}A_1^{\prime}A_1B_1\\ \end{aligned}$

が得られる。　 $\blacksquare$ )

前回

5. 一般化逆行列

5.3 行列積のMoore-Penrose形一般逆行列

5.　一般化逆行列

5.3　行列積のMoore-Penrose形一般逆行列