統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書
を基により高等な線形代数を学ぶ。
5. 一般化逆行列
5.3 行列積のMoore-Penrose形一般逆行列
(が成り立つ。更に
であるから、これらの行列は対称である。したがっては
の
-
型一般化逆行列である。
)
定理5.9は有用ではあるものの、の分解のための十分条件した与えないという欠点がある。以下の定理はこの分解が成り立つための必要十分条件を与える。
定理5.10
および
が成り立つこと。
および
が対称行列であること。
であること。
および
であること。
更に積が定義できるようなすべての行列
に対して成立するような
の一般表現を求める。そのために
を満たすように、
を
に変換することを考える。
定理5.11 積
であるから、1つ目は成り立つ。
2つ目を示すべく、定理5.10の1番目、すなわち
が成り立つことを示す。
まず
である。これらのうち2つ目の式の転置を取り、-
型一般逆行列の定義および上の1つ目の式より
であり、したがって
が成立する。これは定理5.10の1番目の恒等式に他ならない。同定理の2番目の恒等式は
に注目し、この式の両辺にを右から掛けることで
が得られる。 )