統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書
を基により高等な線形代数を学ぶ。
前回
5. 一般化逆行列
5.2 Moore-Penrose形一般逆行列の性質
5.2.2 射影行列とMoore-Penrose形一般逆行列
行列
の列がベクトル空間
における基底を形成しているならば、
の射影行列
は、
で与えられる。このとき定理5.3 より
で得られる。
例:2次形式と
-
形逆行列
-
形逆行列は、正規確率ベクトルの2次形式を構成する際に有用であり、その2次形式は
分布に従う。
標本統計量が得られたときに、
次母数ベクトル
に対して仮説検定
を考える。
もしが正定値ならば、統計量
を考えればよい。
いまが
を満たす任意の
次正方行列であり、
と定義すると、
であるから、
である。したがって
はそれぞれ独立かつ同一に正規分布に従うから、
は自由度
の
分布に従う。この分布は
ならば中心
分布に、宋でなければ非心
分布に従う。したがって
が充分に大きければ帰無仮説を棄却する。
他方でが半正定値である場合には、
が半正定値である場合、
-
形逆行列を用いることで上述の議論を一般化できる。この場合、もし
であり、また
であるから、
は
であるため、
である。したがって
は独立かつ同一に正規分布に従うから
は
分布に従い、
ならば、これは自由度
の中心
分布である。