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統計学のための線形代数(031/X)

 統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

を基により高等な線形代数を学ぶ。

5. 一般化逆行列

5.2 Moore-Penrose形一般逆行列の性質

 \mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}形一般逆行列の性質を見ていく。


\mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}形一般逆行列の性質 m\times n行列A\mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}形一般逆行列A^{+}に対して以下が成り立つ。

  • \alpha\neq0に対して(\alpha A)^{+}=\alpha^{-1}A^{+}
  • (A^{\prime})^{+}=(A^{+})^{\prime}
  • (A^{+})^{+}=A^{+}
  • Aが正則ならば、A^{+}=A^{-1}である。
  • (A^{\prime}A)^{+}=A^{+}A^{+\ \prime}および(AA^{\prime})^{+}=A^{+\ \prime}A^{+}
  • (AA^{+})^{+}=AA^{+}および(A^{+}A)^{+}=A^{+}A
  • A^{+}=(A^{\prime}A)^{+}A^{\prime}=A^{\prime}(AA^{\prime})^{+}
  • \mathrm{A}=nならばA^{+}=(A^{\prime}A)^{-1}A^{\prime}およびA^{+}A=I_n
  • \mathrm{A}=mならばA^{+}=A^{\prime}(A^{\prime}A)^{-1}およびAA^{+}=I_m
  • Aが直交行列ならばA^{+}=A^{\prime}

(\because \mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}形一般逆行列の一意性から、各性質を仮定したときに定義の条件式4つを満たすことを確認すればよい。

  • \alpha\neq0に対して(\alpha A)^{+}=\alpha^{-1}A^{+}


\begin{aligned}
(\alpha A)(\alpha A)^{+}(\alpha A)&=(\alpha A)\alpha^{-1}A^{+}(\alpha A)\\
&=\alpha AA^{+}A\\
&=\alpha A\\
(\alpha A)^{+}(\alpha A)(\alpha A)^{+}&=(\alpha^{-1}A^{+})(\alpha A)(\alpha^{-1}A^{+})\\
&=\alpha^{-1}A^{+}AA^{+}\\
&=\alpha^{-1}A^{+}\\
&=(\alpha A)^{+}\\
( (\alpha A)(\alpha A)^{+})^{\prime}&=(\alpha A^{\prime})\alpha^{-1} A^{\prime\ +}\\
&=A^{\prime}A^{\prime\ +}\\
&=(AA^{+})^{\prime}\\
&=AA^{+}\\
&=\alpha A\alpha ^{-1}A^{+}\\
&=(\alpha A)(\alpha A)^{+}\\
( (\alpha A)^{+}(\alpha A))^{\prime}&=( (\alpha^{-1} A^{+})(\alpha A))^{\prime}\\
&=(A^{+}A)^{\prime}\\
&=A^{+}A\\
&=(\alpha^{-1} A^{+})(\alpha A)\\
&=(\alpha A)^{+}(\alpha A)
\end{aligned}

が成り立つ。

  • (A^{\prime})^{+}=(A^{+})^{\prime}

 転置行列の性質から、


\begin{aligned}
A^{\prime}(A^{\prime})^{+}A^{\prime}&=A^{\prime}(A^{+})^{\prime}A^{\prime}\\
&=( (A^{+})A)^{\prime}A^{\prime}\\
&=(AA^{+}A)^{\prime}\\
&=A^{\prime}\\
(A^{\prime})^{+}A^{\prime}(A^{\prime})^{+}&=(A^{+})^{\prime}A^{\prime}(A^{+})^{\prime}\\
&=(AA^{+})^{\prime}(A^{+})^{\prime}\\
&=(AA^{+})^{\prime}(A^{+})^{\prime}\\
&=(A^{+}AA^{+})^{\prime}\\
&=A^{+\ \prime}\\
(A^{\prime}(A^{\prime})^{+})^{\prime}&=(A^{\prime}(A^{+})^{\prime})^{\prime}\\
&=(A^{+})^{\prime\prime}A^{\prime\prime}\\
&=(A^{+})^{\prime\prime}A^{\prime\prime}\\
&=A^{+}A\\
&=(A^{+}A)^{\prime}\\
&=A^{\prime}(A^{+})^{\prime}\\
&=A^{\prime}(A^{\prime})^{+}\\
(A^{\prime +}A^{\prime})^{\prime}&=(A^{+})^{\prime}A^{\prime})^{\prime}\\
&=A^{\prime\prime}(A^{+})^{\prime\prime}\\
&=AA^{+}\\
&=(AA^{+})^{\prime}\\
&=(A^{+})^{\prime}A^{\prime}\\
&=(A^{\prime})^{+}A^{\prime}
\end{aligned}

である。

  • (A^{+})^{+}=A


\begin{aligned}
A^{+}(A^{+})^{+}A^{+}&=A^{+}AA^{+}=A^{+}\\
(A^{+})^{+}A^{+}(A^{+})^{+}&=AA^{+}A=A\\
(A^{+}(A^{+})^{+})^{\prime}&=(A^{+}A)^{\prime}=A^{+}A=A^{+}(A^{+})^{+}\\
( (A^{+})^{+}A^{+})^{\prime}&=(AA^{+})^{\prime}=AA^{+}=A^{+}(A^{+})^{+}
\end{aligned}

  • Aが正則ならば、A^{+}=A^{-1}


\begin{aligned}
AA^{+}A&=AA^{-1}A=A\\
A^{+}AA^{+}&=A^{-1}AA^{-1}=A^{-1}=A^{+}\\
(AA^{+})^{\prime}&=(AA^{-1})^{\prime}=I=AA^{-1}=AA^{+}\\
(A^{+}A)^{\prime}&=(A^{-1}A)^{\prime}=I=A^{-1}A=A^{+}A
\end{aligned}

  • (A^{\prime}A)^{+}=A^{+}(A^{+})^{\prime}および(AA^{\prime})^{+}=(A^{+})^{\prime}A^{+}


\begin{aligned}
A^{\prime}A(A^{\prime}A)^{+}A^{\prime}A&=A^{\prime}AA^{+\ \prime}A^{+}A^{\prime}A\\
&=A^{\prime}AA^{+}AA^{+}A=A^{\prime}AA^{+}A=A^{\prime}A\\
(A^{\prime}A)^{+}(A^{\prime}A)(A^{\prime}A)^{+}&=A^{+}A^{+\ \prime}A^{\prime}AA^{+}A^{+\ \prime}\\
&=A^{+}(AA^{+})^{\prime}AA^{+}A^{+\ \prime}\\
&=A^{+}AA^{+}A^{+\ \prime}\\
&=A^{+}A^{+\ \prime}=(A^{\prime}A)^{+}\\
A^{\prime}A(A^{\prime}A)^{+}&=A^{\prime}AA^{+}A^{+\ \prime}\\
&=A^{\prime}(A^{+}(AA^{+})^{\prime})^{\prime}\\
&=A^{\prime}A^{+\ \prime}\\
&=(A^{+}A)^{\prime}\\
(A^{\prime}A)^{+}(A^{\prime}A)&=A^{+}A^{+\ \prime}A^{\prime}A\\
&=A^{+}(AA^{+})^{\prime}A\\
&=A^{+}AA^{+}A=A^{+}A
\end{aligned}

※続きは次回…)

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