統計学のための線形代数（031/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

統計学のための線形代数

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5.　一般化逆行列
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5.　一般化逆行列

5.2　Moore-Penrose形一般逆行列の性質

　 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 形一般逆行列の性質を見ていく。

定理5.3　 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 形一般逆行列の性質　 $m\times n$ 行列 $A$ の $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 形一般逆行列 $A^{+}$ に対して以下が成り立つ。

$\alpha\neq0$ に対して $(\alpha A)^{+}=\alpha^{-1}A^{+}$
$(A^{\prime})^{+}=(A^{+})^{\prime}$
$(A^{+})^{+}=A^{+}$
$A$ が正則ならば、 $A^{+}=A^{-1}$ である。
$(A^{\prime}A)^{+}=A^{+}A^{+\ \prime}$ および $(AA^{\prime})^{+}=A^{+\ \prime}A^{+}$
$(AA^{+})^{+}=AA^{+}$ および $(A^{+}A)^{+}=A^{+}A$
$A^{+}=(A^{\prime}A)^{+}A^{\prime}=A^{\prime}(AA^{\prime})^{+}$
$\mathrm{A}=n$ ならば $A^{+}=(A^{\prime}A)^{-1}A^{\prime}$ および $A^{+}A=I_n$
$\mathrm{A}=m$ ならば $A^{+}=A^{\prime}(A^{\prime}A)^{-1}$ および $AA^{+}=I_m$
$A$ が直交行列ならば $A^{+}=A^{\prime}$

( $\because$ 　 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 形一般逆行列の一意性から、各性質を仮定したときに定義の条件式4つを満たすことを確認すればよい。

$\alpha\neq0$ に対して $(\alpha A)^{+}=\alpha^{-1}A^{+}$

$\begin{aligned} (\alpha A)(\alpha A)^{+}(\alpha A)&=(\alpha A)\alpha^{-1}A^{+}(\alpha A)\\ &=\alpha AA^{+}A\\ &=\alpha A\\ (\alpha A)^{+}(\alpha A)(\alpha A)^{+}&=(\alpha^{-1}A^{+})(\alpha A)(\alpha^{-1}A^{+})\\ &=\alpha^{-1}A^{+}AA^{+}\\ &=\alpha^{-1}A^{+}\\ &=(\alpha A)^{+}\\ ( (\alpha A)(\alpha A)^{+})^{\prime}&=(\alpha A^{\prime})\alpha^{-1} A^{\prime\ +}\\ &=A^{\prime}A^{\prime\ +}\\ &=(AA^{+})^{\prime}\\ &=AA^{+}\\ &=\alpha A\alpha ^{-1}A^{+}\\ &=(\alpha A)(\alpha A)^{+}\\ ( (\alpha A)^{+}(\alpha A))^{\prime}&=( (\alpha^{-1} A^{+})(\alpha A))^{\prime}\\ &=(A^{+}A)^{\prime}\\ &=A^{+}A\\ &=(\alpha^{-1} A^{+})(\alpha A)\\ &=(\alpha A)^{+}(\alpha A) \end{aligned}$

が成り立つ。

$(A^{\prime})^{+}=(A^{+})^{\prime}$

　転置行列の性質から、

$\begin{aligned} A^{\prime}(A^{\prime})^{+}A^{\prime}&=A^{\prime}(A^{+})^{\prime}A^{\prime}\\ &=( (A^{+})A)^{\prime}A^{\prime}\\ &=(AA^{+}A)^{\prime}\\ &=A^{\prime}\\ (A^{\prime})^{+}A^{\prime}(A^{\prime})^{+}&=(A^{+})^{\prime}A^{\prime}(A^{+})^{\prime}\\ &=(AA^{+})^{\prime}(A^{+})^{\prime}\\ &=(AA^{+})^{\prime}(A^{+})^{\prime}\\ &=(A^{+}AA^{+})^{\prime}\\ &=A^{+\ \prime}\\ (A^{\prime}(A^{\prime})^{+})^{\prime}&=(A^{\prime}(A^{+})^{\prime})^{\prime}\\ &=(A^{+})^{\prime\prime}A^{\prime\prime}\\ &=(A^{+})^{\prime\prime}A^{\prime\prime}\\ &=A^{+}A\\ &=(A^{+}A)^{\prime}\\ &=A^{\prime}(A^{+})^{\prime}\\ &=A^{\prime}(A^{\prime})^{+}\\ (A^{\prime +}A^{\prime})^{\prime}&=(A^{+})^{\prime}A^{\prime})^{\prime}\\ &=A^{\prime\prime}(A^{+})^{\prime\prime}\\ &=AA^{+}\\ &=(AA^{+})^{\prime}\\ &=(A^{+})^{\prime}A^{\prime}\\ &=(A^{\prime})^{+}A^{\prime} \end{aligned}$

である。

$(A^{+})^{+}=A$

$\begin{aligned} A^{+}(A^{+})^{+}A^{+}&=A^{+}AA^{+}=A^{+}\\ (A^{+})^{+}A^{+}(A^{+})^{+}&=AA^{+}A=A\\ (A^{+}(A^{+})^{+})^{\prime}&=(A^{+}A)^{\prime}=A^{+}A=A^{+}(A^{+})^{+}\\ ( (A^{+})^{+}A^{+})^{\prime}&=(AA^{+})^{\prime}=AA^{+}=A^{+}(A^{+})^{+} \end{aligned}$

$A$ が正則ならば、 $A^{+}=A^{-1}$

$\begin{aligned} AA^{+}A&=AA^{-1}A=A\\ A^{+}AA^{+}&=A^{-1}AA^{-1}=A^{-1}=A^{+}\\ (AA^{+})^{\prime}&=(AA^{-1})^{\prime}=I=AA^{-1}=AA^{+}\\ (A^{+}A)^{\prime}&=(A^{-1}A)^{\prime}=I=A^{-1}A=A^{+}A \end{aligned}$

$(A^{\prime}A)^{+}=A^{+}(A^{+})^{\prime}$ および $(AA^{\prime})^{+}=(A^{+})^{\prime}A^{+}$

$\begin{aligned} A^{\prime}A(A^{\prime}A)^{+}A^{\prime}A&=A^{\prime}AA^{+\ \prime}A^{+}A^{\prime}A\\ &=A^{\prime}AA^{+}AA^{+}A=A^{\prime}AA^{+}A=A^{\prime}A\\ (A^{\prime}A)^{+}(A^{\prime}A)(A^{\prime}A)^{+}&=A^{+}A^{+\ \prime}A^{\prime}AA^{+}A^{+\ \prime}\\ &=A^{+}(AA^{+})^{\prime}AA^{+}A^{+\ \prime}\\ &=A^{+}AA^{+}A^{+\ \prime}\\ &=A^{+}A^{+\ \prime}=(A^{\prime}A)^{+}\\ A^{\prime}A(A^{\prime}A)^{+}&=A^{\prime}AA^{+}A^{+\ \prime}\\ &=A^{\prime}(A^{+}(AA^{+})^{\prime})^{\prime}\\ &=A^{\prime}A^{+\ \prime}\\ &=(A^{+}A)^{\prime}\\ (A^{\prime}A)^{+}(A^{\prime}A)&=A^{+}A^{+\ \prime}A^{\prime}A\\ &=A^{+}(AA^{+})^{\prime}A\\ &=A^{+}AA^{+}A=A^{+}A \end{aligned}$

※続きは次回…)

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