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統計学のための線形代数(036/X)

 統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

を基により高等な線形代数を学ぶ。

5. 一般化逆行列

5.3 行列積のMoore-Penrose形一般逆行列

 もしm次正方行列A,B正則行列ならば\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}が成り立つ。逆行列に関するこの性質は、\mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}型一般化逆行列に直ちに一般化される訳ではない。

 以下の2ベクトル


\begin{aligned}
\boldsymbol{a}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\\
\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}
\end{aligned}

を定義する。このとき


\begin{aligned}
\boldsymbol{a}^{+}&=\left(\boldsymbol{a}^{\prime}\boldsymbol{a}\right)^{-1}\boldsymbol{a}^{\prime}=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix},\\
\boldsymbol{b}^{+}&=\left(\boldsymbol{b}^{\prime}\boldsymbol{b}\right)^{-1}\boldsymbol{b}^{\prime}=\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}\end{bmatrix}
\end{aligned}

が成り立つから、


\begin{aligned}
\left(\boldsymbol{a}^{\prime}\boldsymbol{b}\right)^{+}=1\neq\boldsymbol{b}^{+}\left(\boldsymbol{a}^{+}\right)^{\prime}=\displaystyle{\frac{1}{2}}
\end{aligned}

を得る。



定理5.8 行列積の逆行列が可換である条件 m\times n行列Aに対して、P,QがそれぞれPP^{\prime}=I,QQ^{\prime}=Iを満たすようなh\times m,n\times p行列だとする。このとき


\begin{aligned}
\left(PAQ\right)^{+}=Q^{+}A^{+}P^{+}=Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because Am\times n行列、P,QをそれぞれPP^{\prime}=I,QQ^{\prime}=Iを満たすようなh\times m,n\times p行列だとする。このとき定理5.3より


\begin{aligned}
P^{+}&=P^{\prime}\left(PP^{\prime}\right)^{-1}=P^{\prime}\\
Q^{+}&=Q^{\prime}\left(QQ^{\prime}\right)^{-1}=Q^{\prime}
\end{aligned}

であり、またこれらから、


\begin{aligned}
P^{+\ \prime}&=P\\
Q^{+\ \prime}&=Q
\end{aligned}

である。したがって


\begin{aligned}
\left(PAQ\right)\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\left(PAQ\right)&=PAQQ^{+}A^{+}P^{+}PAQ\\
&=PAI_nA^{+}I_mAQ\\
&=PAA^{+}AQ\\
&=PAQ\ (\because AA^{+}A=A)\\
\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\left(PAQ\right)\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)&=Q^{+}A^{+}P^{+}PAQQ^{+}A^{+}P^{+}\\
&=Q^{+}A^{+}P^{+}PAQQ^{+}A^{+}P^{+}\\
&=Q^{+}A^{+}AA^{+}P^{+}\\
&=Q^{+}A^{+}P^{+}\\
\left(\left(PAQ\right)\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\right)^{\prime}&=\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)^{\prime}\left(PAQ\right)^{\prime}\\
&=\left(A^{+}P^{+}\right)^{\prime}Q^{+\ \prime}Q^{\prime}\left(PA\right)^{\prime}\\
&=P^{+\ \prime}A^{+\ \prime}QQ^{+}A^{\prime}P^{\prime}\\
&=P^{+\ \prime}A^{+\ \prime}A^{\prime}P^{\prime}(\because\ QQ^{+}=I_n)\\
&=P\left(AA^{+}\right)^{\prime}P^{+}\\
&=P\left(AA^{+}\right)P^{+}\\
&=PA\left(QQ^{\prime}\right)A^{+}P^{+}\\
&=PA\left(QQ^{+}\right)A^{+}P^{+}\\
&=\left(PAQ\right)\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\\
\left(\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\left(PAQ\right)\right)^{\prime}&=\left(PAQ\right)^{\prime}\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)^{\prime}\\
&=Q^{\prime}\left(PA\right)^{\prime}P^{+\ \prime}\left(Q^{+}A^{+}\right)^{\prime}\\
&=Q^{\prime}A^{\prime}P^{\prime}P^{+\ \prime}A^{+\ \prime}Q^{+\ \prime}\\
&=Q^{+}A^{\prime}P^{+}PA^{+\ \prime}Q\\
&=Q^{+}A^{\prime}P^{\prime}PA^{+\ \prime}Q\\
&=Q^{+}A^{\prime}A^{+\ \prime}Q\\
&=Q^{+}\left(A^{+}A\right)^{\prime}Q\\
&=Q^{+}\left(A^{+}A\right)Q\\
&=Q^{+}A^{+}\left(P^{+}P\right)AQ\\
&=\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\left(PAQ\right)

\end{aligned}

を得る。これは\mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}型一般化逆行列の定義を満たすことに他ならない。
 次に


\begin{aligned}
\left(PAQ\right)\left(Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\right)\left(PAQ\right)&=PAQQ^{\prime}A^{+}P^{\prime}PAQ\\
&=PAA^{+}AQ\\
&=PAQ\\
\left(Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\right)\left(PAQ\right)\left(Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\right)&=Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}PAQQ^{\prime}A^{+}P^{\prime}\\
&=Q^{\prime}A^{+}AA^{+}P^{\prime}\\
&=Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\\
&=Q^{+}A^{+}P^{+}\\
\left(\left(PAQ\right)\left(Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\right)\right)^{\prime}&=\left(Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\right)^{\prime}\left(PAQ\right)^{\prime}\\
&=PA^{+\ \prime}QQ^{\prime}A^{\prime}P^{\prime}\\
&=PA^{+\ \prime}A^{\prime}P^{\prime}\\
&=P\left(AA^{+}\right)P^{+}\\
&=PA\left(QQ^{+}\right)A^{+}P^{+}\\
&=\left(PAQ\right)\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\\
\left(\left(Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\right)\left(PAQ\right)\right)^{\prime}&=\left(PAQ\right)^{\prime}\left(Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\right)^{\prime}\\
&=Q^{\prime}A^{\prime}P^{\prime}PA^{+\ \prime}Q\\
&=Q^{+}A^{+}AQ\\
&=Q^{+}A^{+}\left(P^{\prime}P\right)AQ\\
&=\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\left(PAQ\right)
\end{aligned}

を得る。これも\mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}型一般化逆行列の定義を満たすことに他ならない。
 \mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}型一般化逆行列の一意性から、題意を得る。  \blacksquare)

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