統計学のための線形代数（036/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

統計学のための線形代数

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を基により高等な線形代数を学ぶ。

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5.　一般化逆行列
- 5.3　行列積のMoore-Penrose形一般逆行列
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5.　一般化逆行列

5.3　行列積のMoore-Penrose形一般逆行列

　もし $m$ 次正方行列 $A,B$ が正則行列ならば $\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ が成り立つ。逆行列に関するこの性質は、 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般化逆行列に直ちに一般化される訳ではない。

　以下の2ベクトル
$\begin{aligned} \boldsymbol{a}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\\ \boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} \end{aligned}$
を定義する。このとき
$\begin{aligned} \boldsymbol{a}^{+}&=\left(\boldsymbol{a}^{\prime}\boldsymbol{a}\right)^{-1}\boldsymbol{a}^{\prime}=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix},\\ \boldsymbol{b}^{+}&=\left(\boldsymbol{b}^{\prime}\boldsymbol{b}\right)^{-1}\boldsymbol{b}^{\prime}=\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}\end{bmatrix} \end{aligned}$
が成り立つから、
$\begin{aligned} \left(\boldsymbol{a}^{\prime}\boldsymbol{b}\right)^{+}=1\neq\boldsymbol{b}^{+}\left(\boldsymbol{a}^{+}\right)^{\prime}=\displaystyle{\frac{1}{2}} \end{aligned}$
を得る。

定理5.8　行列積の逆行列が可換である条件　 $m\times n$ 行列 $A$ に対して、 $P,Q$ がそれぞれ $PP^{\prime}=I,$ $QQ^{\prime}=I$ を満たすような $h\times m,$ $n\times p$ 行列だとする。このとき

$\begin{aligned} \left(PAQ\right)^{+}=Q^{+}A^{+}P^{+}=Q^{\prime}A^{+}P^{\prime} \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　 $A$ を $m\times n$ 行列、 $P,Q$ をそれぞれ $PP^{\prime}=I,$ $QQ^{\prime}=I$ を満たすような $h\times m,$ $n\times p$ 行列だとする。このとき定理5.3より

$\begin{aligned} P^{+}&=P^{\prime}\left(PP^{\prime}\right)^{-1}=P^{\prime}\\ Q^{+}&=Q^{\prime}\left(QQ^{\prime}\right)^{-1}=Q^{\prime} \end{aligned}$

であり、またこれらから、

$\begin{aligned} P^{+\ \prime}&=P\\ Q^{+\ \prime}&=Q \end{aligned}$

である。したがって

$\begin{aligned} \left(PAQ\right)\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\left(PAQ\right)&=PAQQ^{+}A^{+}P^{+}PAQ\\ &=PAI_nA^{+}I_mAQ\\ &=PAA^{+}AQ\\ &=PAQ\ (\because AA^{+}A=A)\\ \left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\left(PAQ\right)\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)&=Q^{+}A^{+}P^{+}PAQQ^{+}A^{+}P^{+}\\ &=Q^{+}A^{+}P^{+}PAQQ^{+}A^{+}P^{+}\\ &=Q^{+}A^{+}AA^{+}P^{+}\\ &=Q^{+}A^{+}P^{+}\\ \left(\left(PAQ\right)\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\right)^{\prime}&=\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)^{\prime}\left(PAQ\right)^{\prime}\\ &=\left(A^{+}P^{+}\right)^{\prime}Q^{+\ \prime}Q^{\prime}\left(PA\right)^{\prime}\\ &=P^{+\ \prime}A^{+\ \prime}QQ^{+}A^{\prime}P^{\prime}\\ &=P^{+\ \prime}A^{+\ \prime}A^{\prime}P^{\prime}(\because\ QQ^{+}=I_n)\\ &=P\left(AA^{+}\right)^{\prime}P^{+}\\ &=P\left(AA^{+}\right)P^{+}\\ &=PA\left(QQ^{\prime}\right)A^{+}P^{+}\\ &=PA\left(QQ^{+}\right)A^{+}P^{+}\\ &=\left(PAQ\right)\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\\ \left(\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\left(PAQ\right)\right)^{\prime}&=\left(PAQ\right)^{\prime}\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)^{\prime}\\ &=Q^{\prime}\left(PA\right)^{\prime}P^{+\ \prime}\left(Q^{+}A^{+}\right)^{\prime}\\ &=Q^{\prime}A^{\prime}P^{\prime}P^{+\ \prime}A^{+\ \prime}Q^{+\ \prime}\\ &=Q^{+}A^{\prime}P^{+}PA^{+\ \prime}Q\\ &=Q^{+}A^{\prime}P^{\prime}PA^{+\ \prime}Q\\ &=Q^{+}A^{\prime}A^{+\ \prime}Q\\ &=Q^{+}\left(A^{+}A\right)^{\prime}Q\\ &=Q^{+}\left(A^{+}A\right)Q\\ &=Q^{+}A^{+}\left(P^{+}P\right)AQ\\ &=\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\left(PAQ\right) \end{aligned}$

を得る。これは $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般化逆行列の定義を満たすことに他ならない。
　次に

$\begin{aligned} \left(PAQ\right)\left(Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\right)\left(PAQ\right)&=PAQQ^{\prime}A^{+}P^{\prime}PAQ\\ &=PAA^{+}AQ\\ &=PAQ\\ \left(Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\right)\left(PAQ\right)\left(Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\right)&=Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}PAQQ^{\prime}A^{+}P^{\prime}\\ &=Q^{\prime}A^{+}AA^{+}P^{\prime}\\ &=Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\\ &=Q^{+}A^{+}P^{+}\\ \left(\left(PAQ\right)\left(Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\right)\right)^{\prime}&=\left(Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\right)^{\prime}\left(PAQ\right)^{\prime}\\ &=PA^{+\ \prime}QQ^{\prime}A^{\prime}P^{\prime}\\ &=PA^{+\ \prime}A^{\prime}P^{\prime}\\ &=P\left(AA^{+}\right)P^{+}\\ &=PA\left(QQ^{+}\right)A^{+}P^{+}\\ &=\left(PAQ\right)\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\\ \left(\left(Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\right)\left(PAQ\right)\right)^{\prime}&=\left(PAQ\right)^{\prime}\left(Q^{\prime}A^{+}P^{\prime}\right)^{\prime}\\ &=Q^{\prime}A^{\prime}P^{\prime}PA^{+\ \prime}Q\\ &=Q^{+}A^{+}AQ\\ &=Q^{+}A^{+}\left(P^{\prime}P\right)AQ\\ &=\left(Q^{+}A^{+}P^{+}\right)\left(PAQ\right) \end{aligned}$

を得る。これも $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般化逆行列の定義を満たすことに他ならない。
　 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般化逆行列の一意性から、題意を得る。　　 $\blacksquare$ )

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