統計学のための線形代数（039/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

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5.　一般化逆行列
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5.　一般化逆行列

5.5　和に関するMoore-Penrose形一般化逆行列

　行列の和に関する $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般化逆行列に関するいくつかの結果を導く。

定理5.14　行列の和の $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般化逆行列(1)　 $m\times n_1$ 行列 $U,$ $m\times n_2$ 行列 $V$ に対して

$\begin{aligned} \left(UU^{\prime}+VV^{\prime}\right)^{+}=\left(I-C^{+\prime}V^{\prime}\right)U^{+\prime}KU^{+}\left(I-VC^{+}\right)+\left(CC^{\prime}\right)^{+} \end{aligned}$

が成り立つ。ここで $K=I-U^{+}V\left(I-C^{+}C\right)M\left(U^{+}V\right)^{\prime}$ であり、 $C,M$ はそれぞれ

$\begin{aligned} C&=\left(I-UU^{+}\right)V\\ M&=\left\{I_{n_2}+\left(I_{n_2}-C^{+}C\right)V^{\prime}U^{+\prime}U^{\prime}V\left(I_{n_2}-C^{+}C\right)\right\}^{-1} \end{aligned}$

である。

定理5.15　行列の和の $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般化逆行列(2)　 $m\times n$ 行列 $U,V$ に対して、 $UV^{\prime}=O$ が成り立つならば、

$\begin{aligned} (U+V)^{+}=U^{+}+(I_n+U^{+}V)(C^{+}+W) \end{aligned}$

が成り立つ。ここで $C,M$ はそれぞれ

$\begin{aligned} C&=\left(I-UU^{+}\right)V\\ M&=\left\{I_{n_2}+\left(I_{n_2}-C^{+}C\right)V^{\prime}U^{+\prime}U^{\prime}V\left(I_{n_2}-C^{+}C\right)\right\}^{-1} \end{aligned}$

である。

　定理5.15は $U$ の行が $V$ の行に直交するときに $(U+V)^{+}$ の表現を与える。加えて $U$ の列が $V$ の列に直交する場合、より簡潔に表現できる。

定理5.16　行列の和の $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般化逆行列(3)　 $m\times n$ 行列 $U,V$ が $UV^{\prime}=U^{\prime}V=O$ を満たすならば、

$\begin{aligned} \left(U+V\right)=U^{+}+V^{+} \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　定理5.3より

$\begin{aligned} U^{+}&=\left(U^{\prime}U\right)U^{\prime}=U^{\prime}(UU^{\prime})^{+},\\ V^{+}&=\left(V^{\prime}V\right)V^{\prime}=V^{\prime}(VV^{\prime})^{+} \end{aligned}$

が成り立つから、

$\begin{aligned} U^{+}V&=\left(U^{\prime}U\right)U^{\prime}V=O,\\ VU^{+}&=V\left(U^{\prime}U\right)U^{\prime}=\left(VU^{\prime}\right)UU^{\prime}=O,\\ V^{+}U&=\left(V^{\prime}V\right)V^{\prime}U=O,\\ UV^{+}&=U\left(V^{\prime}V\right)V^{\prime}=\left(UV^{\prime}\right)VV^{\prime}=O \end{aligned}$

である。したがって

$\begin{aligned} \left(U+V\right)\left(U^{+}+V^{+}\right)&=UU^{+}+VV^{+},\\ \left(U^{+}+V^{+}\right)\left(U+V\right)&=U^{+}U+V^{+}V \end{aligned}$

が得られる。これらはいずれも対称で、 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型逆行列の3つ目および4つ目の条件を満たす。そこで

$\begin{aligned} &\left(U+V\right)\left(U^{+}+V^{+}\right)(U+V)=\left(UU^{+}+VV^{+}\right)(U+V)\\ \Leftrightarrow&\left(U+V\right)\left(U^{+}+V^{+}\right)\left(U+V\right)=UU^{+}U+VV^{+}V=U+V\\ &\left(U^{+}+V^{+}\right)\left(U+V\right)\left(U^{+}+V^{+}\right)=\left(U^{+}U+V^{+}V\right)\left(U^{+}+V^{+}\right)\\ \Leftrightarrow&\left(U^{+}+V^{+}\right)\left(U+V\right)\left(U^{+}+V^{+}\right)=U^{+}UU^{+}+V^{+}VV^{+}\\ \Leftrightarrow&\left(U^{+}+V^{+}\right)\left(U+V\right)\left(U^{+}+V^{+}\right)=U^{+}+V^{+} \end{aligned}$

と $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般化逆行列の1番目および2番目の条件も満たす。2つ目の恒等式

$\begin{aligned} \left(U^{+}+V^{+}\right)\left(U+V\right)\left(U^{+}+V^{+}\right)=U^{+}+V^{+} \end{aligned}$

の左辺について、2番目の条件を用いることで

$\begin{aligned} \left(U+V\right)^{+}=U^{+}+V^{+} \end{aligned}$

を得る。　　 $\blacksquare$ )

　この定理5.16は一般化することができる。

系5.16.1　行列の和の $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般化逆行列(4)　 $m\times n$ 行列 $U_1,\cdots,U_k$ がすべての $i,j,i\neq j$ について $U_iU_j^{\prime}=U_i^{\prime}U_j=O$ を満たすならば、

$\begin{aligned} \left(U_1+\cdots+U_k\right)=U_1^{+}+\cdots+U_k^{+} \end{aligned}$

が成り立つ。

　　過去の章で示したように $A$ および $A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime}$ が正則である場合に

$\begin{aligned} \left(A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime}\right)^{-1}=A^{-1}-\displaystyle{\frac{A^{-1}\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime}A^{-1}}{1+\boldsymbol{d}^{\prime}A^{-1}\boldsymbol{c}}} \end{aligned}$

が成立することを確認した。以下ではこれを拡張する。

定理5.17　　正則な $m$ 次正方行列 $A$ および $\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\in\mathbb{R}^m$ について、 $1+\boldsymbol{d}^{\prime}A^{-1}\boldsymbol{c}=0$ と $A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime}$ が正則であることは同値で、 $A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime}$ が正則ならば、

$\begin{aligned} \left(A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime}\right)^{+}=\left(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+}\right)A^{-1}\left(I_m-\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^{+}\right) \end{aligned}$

が成り立つ。ここで

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}&=A^{-1}\boldsymbol{d},\\ \boldsymbol{y}&=A^{-1}\boldsymbol{c} \end{aligned}$

である。

( $\because$ 　まず

$\begin{aligned} \left|A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime}\right|=\left|A\right|(1+\boldsymbol{d}^{\prime}A^{-1}\boldsymbol{c}) \end{aligned}$

であるから、前半の必要十分条件が導かれる。
　もし $1+\boldsymbol{d}^{\prime}A^{-1}\boldsymbol{c}=0$ ならば、 $A^{-1}\boldsymbol{c}=\boldsymbol{y}$ に注意して

$\begin{aligned} (A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime})\boldsymbol{y}&=A\boldsymbol{y}+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime}\boldsymbol{y}\\ &=\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime}A^{-1}\boldsymbol{c}\\ &=\boldsymbol{c}\left(1+\boldsymbol{d}^{\prime}A^{-1}\boldsymbol{c}\right)\\ &=\boldsymbol{0} \end{aligned}$

を得る。これにより $(A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime})\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+}=O$ であり、この両辺に $A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime}$ を引き整理することで

$\begin{aligned} (A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime})(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+})=A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime} \end{aligned}$

を得る。また同様の議論から、 $A$ の対称性に注意して

$\begin{aligned} (I_m-\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^{+})(A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime})=A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime} \end{aligned}$

を得る。これを用いることで

$\begin{aligned} (I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+})A^{-1}(I_m-\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^{+})(A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime})&=(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+})A^{-1}(A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime})\\ &=(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+})(A^{-1}A+A^{-1}\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime})\\ &=(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+})(I_m+\boldsymbol{y}\boldsymbol{d}^{\prime})\\ &=(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+})+(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+})(\boldsymbol{y}\boldsymbol{d}^{\prime})\\ &=(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+})+(\boldsymbol{y}\boldsymbol{d}^{\prime}-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+}\boldsymbol{y}\boldsymbol{d}^{\prime})\\ &=(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+})+(\boldsymbol{y}\boldsymbol{d}^{\prime}-\boldsymbol{y}\boldsymbol{d}^{\prime})\ \ (\because\boldsymbol{y}^{+}の定義)\\ &=(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+}) \end{aligned}$

が得られる。また

$\begin{aligned} (A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime})(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+})=A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime} \end{aligned}$

より

$\begin{aligned} \left(A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime}\right)\left(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+}\right)A^{-1}\left(I_m-\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^{\prime}\right)\\ &=\left(A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime}\right)A^{-1}\left(I_m-\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^{+}\right)\\ &=\left(I_m+\boldsymbol{c}\boldsymbol{x}^{\prime}\right)\left(I_m-\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^{+}\right)\\ &=I_m-\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^{+} \end{aligned}$

を得る。これにより、 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 型一般化逆行列の定義における3番目および4番目の条件が満たされる。同定義の1番目の条件は、

$\begin{aligned} (I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+})A^{-1}(I_m-\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^{+})(A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime})=(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+}) \end{aligned}$

の両辺に左から $A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime}$ を乗じることで

$\begin{aligned} (左辺)&=(A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime})(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+})A^{-1}(I_m-\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^{+})(A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime})\\ &=(A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime})A^{-1}(A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime})\\ (右辺)&=(A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime})(I_m-\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^{+})=A+\boldsymbol{c}\boldsymbol{d}^{\prime} \end{aligned}$

により成り立つ。2番目の条件も同様に得られる。　　 $\blacksquare$ )

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5.5 和に関するMoore-Penrose形一般化逆行列

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