統計学のための線形代数（032/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

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5.　一般化逆行列
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5.　一般化逆行列

5.2　Moore-Penrose形一般逆行列の性質

　 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 形一般逆行列の性質を見ていく。

定理5.3　 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 形一般逆行列の性質　 $m\times n$ 行列 $A$ の $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 形一般逆行列 $A^{+}$ に対して以下が成り立つ。

$\alpha\neq0$ に対して $(\alpha A)^{+}=\alpha^{-1}A^{+}$
$(A^{\prime})^{+}=(A^{+})^{\prime}$
$(A^{+})^{+}=A^{+}$
$A$ が正則ならば、 $A^{+}=A^{-1}$ である。
$(A^{\prime}A)^{+}=A^{+}A^{+\ \prime}$ および $(AA^{\prime})^{+}=A^{+\ \prime}A^{+}$
$(AA^{+})^{+}=AA^{+}$ および $(A^{+}A)^{+}=A^{+}A$
$A^{+}=(A^{\prime}A)^{+}A^{\prime}=A^{\prime}(AA^{\prime})^{+}$
$\mathrm{A}=n$ ならば $A^{+}=(A^{\prime}A)^{-1}A^{\prime}$ および $A^{+}A=I_n$
$\mathrm{A}=m$ ならば $A^{+}=A^{\prime}(A^{\prime}A)^{-1}$ および $AA^{+}=I_m$
$A$ が直交行列ならば $A^{+}=A^{\prime}$

( $\because$ 　 $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 形一般逆行列の一意性から、各性質を仮定したときに定義の条件式4つを満たすことを確認すればよい(なお式展開中の()は上の示すべき命題の番号を指す。)。

$(AA^{+})^{+}=AA^{+}$ および $(A^{+}A)^{+}=A^{+}A$

$\begin{aligned} (AA^{+})^{+}( (AA^{+})^{+})^{+}(AA^{+})^{+}&=(AA^{+})^{+}(AA^{+})(AA^{+})^{+}\\ &=(AA^{+}A)(A^{+}AA^{+})\\ &=AA^{+}\\ &=(AA^{+})^{+}\\ ( (AA^{+})^{+})^{+}(AA^{+})^{+}( (AA^{+})^{+})^{+}&=(AA^{+})(AA^{+})^{+}(AA^{+})\\ &=(AA^{+})AA^{+}(AA^{+})\\ &=(AA^{+}A)(A^{+}AA^{+})\\ &=AA^{+}\\ &=(AA^{+})^{+}\\ \left( (AA^{+})(AA^{+})^{+}\right)^{\prime}&=\left( (AA^{+}A)A^{+}\right)^{\prime}\\ &=\left(AA^{+}\right)^{\prime}\\ &=AA^{+}\\ \left( (AA^{+})^{+}(AA^{+})\right)^{\prime}&=\left( (AA^{+}A)A^{+}\right)^{\prime}\\ &=\left(AA^{+}\right)^{\prime}\\ &=AA^{+}\\ \end{aligned}$

であり、また

$\begin{aligned} (A^{+}A)^{+}( (A^{+}A)^{+})^{+}(A^{+}A)^{+}&=(A^{+}A)^{+}(A^{+}A)(A^{+}A)^{+}\\ &=(A^{+}AA^{+})(AA^{+}A)\\ &=A^{+}A\\ &=(A^{+}A)^{+}\\ ( (A^{+}A)^{+})^{+}(A^{+}A)^{+}( (A^{+}A)^{+})^{+}&=(A^{+}A)(A^{+}A)^{+}(A^{+}A)\\ &=(A^{+}A)A^{+}A(A^{+}A)\\ &=(A^{+}AA^{+})(AA^{+}A)\\ &=A^{+}A\\ &=(A^{+}A)^{+}\\ \left( (AA^{+})^{+}(AA^{+})\right)^{\prime}&=\left( (A^{+}AA^{+})A\right)^{\prime}\\ &=\left(A^{+}A\right)^{\prime}\\ &=A^{+}A\\ \left( A^{+}A)(A^{+}A)^{+}\right)^{\prime}&=\left( (A^{+}AA^{+})A\right)^{\prime}\\ &=\left(A^{+}A\right)^{\prime}\\ &=A^{+}A\\ \end{aligned}$

である。

$A^{+}=(A^{\prime}A)^{+}A^{\prime}=A^{\prime}(AA^{\prime})^{+}$

$\begin{aligned} A^{+}&=A^{+}AA^{+}\\ &=A^{+}\left(AA^{+}\right)^{\prime}\\ &=A^{+}A^{+\ \prime}A^{\prime}\\ &=\left(A^{\prime}A\right)^{+}A^{\prime}\ (\because\ (5))\\ A^{+}&=A^{+}AA^{+}\\ &=\left(A^{+}A\right)^{\prime}A^{+}\\ &=A^{\prime}A^{+\ \prime}A^{+}\\ &=A^{\prime}\left(AA^{\prime}\right)^{+}\ (\because\ (5))\\ \end{aligned}$

$\mathrm{A}=n$ ならば $A^{+}=(A^{\prime}A)^{-1}A^{\prime}$ および $A^{+}A=I_n$

　 $\mathrm{A}=n$ と仮定する。このとき(6)より

$\begin{aligned} A^{+}=(A^{\prime}A)^{+}A^{\prime} \end{aligned}$

が成り立つ。 $A^{\prime}A$ が $n$ 次正方行列であることから、(4)より $(A^{\prime}A)^{+}=(A^{\prime}A)^{-1}$ が成立する。したがって

$\begin{aligned} A^{+}=(A^{\prime}A)^{+}A^{\prime}=(A^{\prime}A)^{-1}A^{\prime} \end{aligned}$

を得る。また

$\begin{aligned} A^{+}A&=(A^{\prime}A)^{-1}A^{\prime}A\\ &=(A^{\prime}A)^{-1}(A^{\prime}A)\\ &=I_n \end{aligned}$

である。

$\mathrm{A}=m$ ならば $A^{+}=A^{\prime}(A^{\prime}A)^{-1}$ および $AA^{+}=I_m$

　 $\mathrm{A}=m$ と仮定する。このとき(6)より

$\begin{aligned} A^{+}=A^{\prime}(AA^{\prime})^{+} \end{aligned}$

が成り立つ。 $AA^{\prime}$ が $m$ 次正方行列であることから、(4)より $(AA^{\prime})^{+}=(AA^{\prime})^{-1}$ が成立する。したがって

$\begin{aligned} A^{+}=A^{\prime}(AA^{\prime})^{+}=A^{\prime}(AA^{\prime})^{-1} \end{aligned}$

を得る。また

$\begin{aligned} AA^{+}&=AA^{\prime}(AA^{\prime})^{-1}\\ &=I_m \end{aligned}$

である。

$A$ が直交行列ならば $A^{+}=A^{\prime}$

　 $A$ が直交行列だと仮定する。このとき $A^{\prime}A=I$ である。したがって(7)より、 $I^{+}=I^{-1}=I$ に注意すれば

$\begin{aligned} A^{+}&=(A^{\prime}A)^{+}A^{\prime}=A^{\prime} \end{aligned}$

である。

例
　上の(9)-(10)、すなわち

$\mathrm{A}=n$ ならば $A^{+}=(A^{\prime}A)^{-1}A^{\prime}$ および $A^{+}A=I_n$

$\mathrm{A}=m$ ならば $A^{+}=A^{\prime}(A^{\prime}A)^{-1}$ および $AA^{+}=I_m$

は $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 形一般逆行列の具体的な計算に役立つ。行列
$\begin{aligned} \boldsymbol{a}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\ A=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&1&0\end{bmatrix} \end{aligned}$
に対して $\mathrm{Moore}$ - $\mathrm{Penrose}$ 形一般逆行列を計算する。
　(9)より
$\begin{aligned} \boldsymbol{a}^{+}&=(\boldsymbol{a}^{\prime}\boldsymbol{a})^{-1}\boldsymbol{a}^{\prime}\\ &=\left(\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right)^{-1}\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{2}}\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}\end{bmatrix}\\ \end{aligned}$
である。
　また $\mathrm{rank}=2$ であるから(10)が利用できる。
$\begin{aligned} AA^{\prime}=\begin{bmatrix}6&4\\4&5\end{bmatrix},\ \left(AA^{\prime}\right)^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{14}}\begin{bmatrix}5&-4\\-4&6\end{bmatrix} \end{aligned}$
であるから、
$\begin{aligned} A^{+}&=A^{\prime}\left(AA^{\prime}\right)^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{14}}\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5&-4\\-4&6\end{bmatrix}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{14}}\begin{bmatrix}-3&8\\6&-2\\5&-4\end{bmatrix} \end{aligned}$
である。

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