「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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統計学のための線形代数(032/X)

 統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

を基により高等な線形代数を学ぶ。

5. 一般化逆行列

5.2 Moore-Penrose形一般逆行列の性質

 \mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}形一般逆行列の性質を見ていく。


定理5.3 \mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}形一般逆行列の性質 m\times n行列A\mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}形一般逆行列A^{+}に対して以下が成り立つ。

  • \alpha\neq0に対して(\alpha A)^{+}=\alpha^{-1}A^{+}
  • (A^{\prime})^{+}=(A^{+})^{\prime}
  • (A^{+})^{+}=A^{+}
  • Aが正則ならば、A^{+}=A^{-1}である。
  • (A^{\prime}A)^{+}=A^{+}A^{+\ \prime}および(AA^{\prime})^{+}=A^{+\ \prime}A^{+}
  • (AA^{+})^{+}=AA^{+}および(A^{+}A)^{+}=A^{+}A
  • A^{+}=(A^{\prime}A)^{+}A^{\prime}=A^{\prime}(AA^{\prime})^{+}
  • \mathrm{A}=nならばA^{+}=(A^{\prime}A)^{-1}A^{\prime}およびA^{+}A=I_n
  • \mathrm{A}=mならばA^{+}=A^{\prime}(A^{\prime}A)^{-1}およびAA^{+}=I_m
  • Aが直交行列ならばA^{+}=A^{\prime}

(\because \mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}形一般逆行列の一意性から、各性質を仮定したときに定義の条件式4つを満たすことを確認すればよい(なお式展開中の()は上の示すべき命題の番号を指す。)。

  • (AA^{+})^{+}=AA^{+}および(A^{+}A)^{+}=A^{+}A


\begin{aligned}
(AA^{+})^{+}( (AA^{+})^{+})^{+}(AA^{+})^{+}&=(AA^{+})^{+}(AA^{+})(AA^{+})^{+}\\
&=(AA^{+}A)(A^{+}AA^{+})\\
&=AA^{+}\\
&=(AA^{+})^{+}\\
( (AA^{+})^{+})^{+}(AA^{+})^{+}( (AA^{+})^{+})^{+}&=(AA^{+})(AA^{+})^{+}(AA^{+})\\
&=(AA^{+})AA^{+}(AA^{+})\\
&=(AA^{+}A)(A^{+}AA^{+})\\
&=AA^{+}\\
&=(AA^{+})^{+}\\
\left( (AA^{+})(AA^{+})^{+}\right)^{\prime}&=\left( (AA^{+}A)A^{+}\right)^{\prime}\\
&=\left(AA^{+}\right)^{\prime}\\
&=AA^{+}\\
\left( (AA^{+})^{+}(AA^{+})\right)^{\prime}&=\left( (AA^{+}A)A^{+}\right)^{\prime}\\
&=\left(AA^{+}\right)^{\prime}\\
&=AA^{+}\\
\end{aligned}

であり、また


\begin{aligned}
(A^{+}A)^{+}( (A^{+}A)^{+})^{+}(A^{+}A)^{+}&=(A^{+}A)^{+}(A^{+}A)(A^{+}A)^{+}\\
&=(A^{+}AA^{+})(AA^{+}A)\\
&=A^{+}A\\
&=(A^{+}A)^{+}\\
( (A^{+}A)^{+})^{+}(A^{+}A)^{+}( (A^{+}A)^{+})^{+}&=(A^{+}A)(A^{+}A)^{+}(A^{+}A)\\
&=(A^{+}A)A^{+}A(A^{+}A)\\
&=(A^{+}AA^{+})(AA^{+}A)\\
&=A^{+}A\\
&=(A^{+}A)^{+}\\
\left( (AA^{+})^{+}(AA^{+})\right)^{\prime}&=\left( (A^{+}AA^{+})A\right)^{\prime}\\
&=\left(A^{+}A\right)^{\prime}\\
&=A^{+}A\\
\left( A^{+}A)(A^{+}A)^{+}\right)^{\prime}&=\left( (A^{+}AA^{+})A\right)^{\prime}\\
&=\left(A^{+}A\right)^{\prime}\\
&=A^{+}A\\
\end{aligned}

である。

  • A^{+}=(A^{\prime}A)^{+}A^{\prime}=A^{\prime}(AA^{\prime})^{+}


\begin{aligned}
A^{+}&=A^{+}AA^{+}\\
&=A^{+}\left(AA^{+}\right)^{\prime}\\
&=A^{+}A^{+\ \prime}A^{\prime}\\
&=\left(A^{\prime}A\right)^{+}A^{\prime}\ (\because\ (5))\\
A^{+}&=A^{+}AA^{+}\\
&=\left(A^{+}A\right)^{\prime}A^{+}\\
&=A^{\prime}A^{+\ \prime}A^{+}\\
&=A^{\prime}\left(AA^{\prime}\right)^{+}\ (\because\ (5))\\
\end{aligned}

  • \mathrm{A}=nならばA^{+}=(A^{\prime}A)^{-1}A^{\prime}およびA^{+}A=I_n

 \mathrm{A}=nと仮定する。このとき(6)より


\begin{aligned}
A^{+}=(A^{\prime}A)^{+}A^{\prime}
\end{aligned}

が成り立つ。A^{\prime}An次正方行列であることから、(4)より(A^{\prime}A)^{+}=(A^{\prime}A)^{-1}が成立する。したがって


\begin{aligned}
A^{+}=(A^{\prime}A)^{+}A^{\prime}=(A^{\prime}A)^{-1}A^{\prime}
\end{aligned}

を得る。また


\begin{aligned}
A^{+}A&=(A^{\prime}A)^{-1}A^{\prime}A\\
&=(A^{\prime}A)^{-1}(A^{\prime}A)\\
&=I_n
\end{aligned}

である。

  • \mathrm{A}=mならばA^{+}=A^{\prime}(A^{\prime}A)^{-1}およびAA^{+}=I_m

 \mathrm{A}=mと仮定する。このとき(6)より


\begin{aligned}
A^{+}=A^{\prime}(AA^{\prime})^{+}
\end{aligned}

が成り立つ。AA^{\prime}m次正方行列であることから、(4)より(AA^{\prime})^{+}=(AA^{\prime})^{-1}が成立する。したがって


\begin{aligned}
A^{+}=A^{\prime}(AA^{\prime})^{+}=A^{\prime}(AA^{\prime})^{-1}
\end{aligned}

を得る。また


\begin{aligned}
AA^{+}&=AA^{\prime}(AA^{\prime})^{-1}\\
&=I_m
\end{aligned}

である。

  • Aが直交行列ならばA^{+}=A^{\prime}

 Aが直交行列だと仮定する。このときA^{\prime}A=Iである。したがって(7)より、I^{+}=I^{-1}=Iに注意すれば


\begin{aligned}
A^{+}&=(A^{\prime}A)^{+}A^{\prime}=A^{\prime}
\end{aligned}

である。


 上の(9)-(10)、すなわち

  • \mathrm{A}=nならばA^{+}=(A^{\prime}A)^{-1}A^{\prime}およびA^{+}A=I_n
  • \mathrm{A}=mならばA^{+}=A^{\prime}(A^{\prime}A)^{-1}およびAA^{+}=I_m

\mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}形一般逆行列の具体的な計算に役立つ。行列


\begin{aligned}
\boldsymbol{a}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\ A=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&1&0\end{bmatrix}
\end{aligned}

に対して\mathrm{Moore}-\mathrm{Penrose}形一般逆行列を計算する。
 (9)より


\begin{aligned}
\boldsymbol{a}^{+}&=(\boldsymbol{a}^{\prime}\boldsymbol{a})^{-1}\boldsymbol{a}^{\prime}\\
&=\left(\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right)^{-1}\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}\\
&=\displaystyle{\frac{1}{2}}\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}\end{bmatrix}\\
\end{aligned}

である。
 また\mathrm{rank}=2であるから(10)が利用できる。


\begin{aligned}
AA^{\prime}=\begin{bmatrix}6&4\\4&5\end{bmatrix},\ \left(AA^{\prime}\right)^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{14}}\begin{bmatrix}5&-4\\-4&6\end{bmatrix}
\end{aligned}

であるから、


\begin{aligned}
A^{+}&=A^{\prime}\left(AA^{\prime}\right)^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{14}}\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5&-4\\-4&6\end{bmatrix}\\
&=\displaystyle{\frac{1}{14}}\begin{bmatrix}-3&8\\6&-2\\5&-4\end{bmatrix}
\end{aligned}

である。

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