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一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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やりなおしの数学・微分積分篇(64/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • Brouwerの不動点定理を導入する。

10. ベクトル解析

 本節ではベクトル値写像を扱う。

10.4 Gaussの発散定理、Stokesの定理

10.4.6 Brouwerの不動点定理

 \mathbb{R}^2における\mathrm{Brouwer}不動点定理を議論する。なお本節において


\begin{aligned}
B=\left\{\boldsymbol{x}=(x,y)\left|\right.x^2+y^2\leq1\right\}
\end{aligned}

とおく。


零点の存在 \boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)=\begin{bmatrix}f_1(x,y)\\f_2(x,y)\end{bmatrix}Bの近傍で定義されたC^2写像で、\partial Bの近傍で\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)を満たすものとする。このとき\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_0\right)=\boldsymbol{0}を満たすような\boldsymbol{x}_0\in Bが存在する。
(\because この命題を示すべく、以下の補題を示す。

 \mathit{\Omega},D\subset\mathbb{R}^2を開領域とする。\boldsymbol{V}(u,v)=\begin{bmatrix}V_1(u,v)\\V_2(u,v)\end{bmatrix}:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^2C^1級ベクトル値関数、\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)=\begin{bmatrix}f_1(x,y)\\f_2(x,y)\end{bmatrix}:D\rightarrow\mathbb{R}^2C^2級ベクトル値関数で\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\in\mathit{\Omega}(\boldsymbol{x}\in D)を満たすものとする。このとき


\begin{aligned}
\boldsymbol{W}(x,y)=\begin{bmatrix}
V_1\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{2y}(x,y)-V_2\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{1y}(x,y)\\
V_2\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{1x}(x,y)-V_1\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{2x}(x,y)
\end{bmatrix}
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because 直接計算すると

\begin{aligned}\mathrm{div\ }\boldsymbol{W}=&\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}}\left(V_1(\boldsymbol{f})f_{2y}-V_2(\boldsymbol{f})f_{1y}\right)+\displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}}\left(V_2(\boldsymbol{f})f_{1x}-V_1(\boldsymbol{f})f_{2x}\right)\\=&\left(V_{1u}(\boldsymbol{f})f_{1x}+V_{1v}(\boldsymbol{f})f_{2x}\right)f_{2y}-\left(V_{2u}(\boldsymbol{f})f_{1x}+V_{2v}(\boldsymbol{f})f_{2x}\right)f_{1y}\\&+\left(V_{2u}(\boldsymbol{f})f_{1y}+V_{2v}(\boldsymbol{f})f_{2y}\right)f_{1x}-\left(V_{1u}(\boldsymbol{f})f_{1y}+V_{1v}(\boldsymbol{f})f_{2y}\right)f_{2x}\\=&\left(V_{1u}(\boldsymbol{f})+V_{2v}(\boldsymbol{f})\right)\left(f_{1x}f_{2y}-f_{1y}f_{2x}\right)\\=&\left(\mathrm{div}\ \boldsymbol{V}\right)(\boldsymbol{f})\displaystyle{\frac{\partial(f_1,f_2)}{\partial(x,y)}}\end{aligned}

である。 \blacksquare)

 この補題を基に背理法により命題を示す。\partial Bの近傍で\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}およびすべての\boldsymbol{x}\in Bに対して\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{0}を満たすようなC^2写像\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})が存在すると仮定する。このとき


\begin{aligned}
\boldsymbol{V}(x,y)=\displaystyle{\frac{1}{x^2+y^2}}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}:\\
\mathit{\Omega}=\mathbb{R}^2\cap\left\{(0,0)\right\}^{C}\rightarrow\mathbb{R}^2
\end{aligned}

に対して\boldsymbol{W}(\boldsymbol{x})補題にて示した


\begin{aligned}
\boldsymbol{W}(x,y)=\begin{bmatrix}
V_1\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{2y}(x,y)-V_2\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{1y}(x,y)\\
V_2\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{1x}(x,y)-V_1\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{2x}(x,y)
\end{bmatrix}
\end{aligned}

により定める。
 このとき仮定の2つ目から、\boldsymbol{W}(\boldsymbol{x})B上でC^2級であり、\mathrm{div}\boldsymbol{V}=0に注意すれば、\mathrm{div}\boldsymbol{W}=0が成り立つ。\boldsymbol{n}\partial B上の外向き法線ベクトルとして前に示した定理より、


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\partial B}(\boldsymbol{W},\boldsymbol{n})}dl=\displaystyle{\iint_{B}\mathrm{div}\boldsymbol{W}}dxdy=0
\end{aligned}

が成り立つ。
 一方で、1つ目の仮定から、\partial Bの近傍において\boldsymbol{W}=\boldsymbol{V}であるから、\partial B\boldsymbol{W}=\boldsymbol{x}である。また\boldsymbol{n}=\boldsymbol{x}より


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\partial B}(\boldsymbol{W},\boldsymbol{n})}dl=\displaystyle{\int_{\partial B}}dl=2\pi
\end{aligned}

である。これは0=2\pi\neq0であるから矛盾している。したがって2つの仮定を満たすようなC^2級関数\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})は存在しない。 \blacksquare)

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