今日のまとめ
- Brouwerの不動点定理を導入する。
10. ベクトル解析
本節ではベクトル値写像を扱う。
10.4 Gaussの発散定理、Stokesの定理
10.4.6 Brouwerの不動点定理
における
の不動点定理を議論する。なお本節において
とおく。
(
を開領域とする。
:
を
級ベクトル値関数、
:
を
級ベクトル値関数で
を満たすものとする。このとき
が成り立つ。
(
直接計算すると
である。)
この補題を基に背理法により命題を示す。の近傍で
およびすべての
に対して
を満たすような
級写像
が存在すると仮定する。このとき
に対してを補題にて示した
により定める。
このとき仮定の2つ目から、は
上で
級であり、
に注意すれば、
が成り立つ。
を
上の外向き法線ベクトルとして前に示した定理より、
が成り立つ。
一方で、1つ目の仮定から、の近傍において
であるから、
上
である。また
より
である。これはであるから矛盾している。したがって2つの仮定を満たすような
級関数
は存在しない。
)