やりなおしの数学・微分積分篇（64/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
10.　ベクトル解析
- 10.4　Gaussの発散定理、Stokesの定理
  - 10.4.6　Brouwerの不動点定理

今日のまとめ

Brouwerの不動点定理を導入する。

10.　ベクトル解析

　本節ではベクトル値写像を扱う。

10.4　Gaussの発散定理、Stokesの定理

10.4.6　Brouwerの不動点定理

　 $\mathbb{R}^2$ における $\mathrm{Brouwer}$ の不動点定理を議論する。なお本節において

$\begin{aligned} B=\left\{\boldsymbol{x}=(x,y)\left|\right.x^2+y^2\leq1\right\} \end{aligned}$

とおく。

零点の存在　 $\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)=\begin{bmatrix}f_1(x,y)\\f_2(x,y)\end{bmatrix}$ を $B$ の近傍で定義された $C^2$ 級写像で、 $\partial B$ の近傍で $\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)$ を満たすものとする。このとき $\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_0\right)=\boldsymbol{0}$ を満たすような $\boldsymbol{x}_0\in B$ が存在する。

( $\because$ 　この命題を示すべく、以下の補題を示す。

　 $\mathit{\Omega},D\subset\mathbb{R}^2$ を開領域とする。 $\boldsymbol{V}(u,v)=\begin{bmatrix}V_1(u,v)\\V_2(u,v)\end{bmatrix}$ : $\mathit{\Omega}$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}^2$ を $C^1$ 級ベクトル値関数、 $\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)=\begin{bmatrix}f_1(x,y)\\f_2(x,y)\end{bmatrix}$ : $D$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}^2$ を $C^2$ 級ベクトル値関数で $\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\in\mathit{\Omega}(\boldsymbol{x}\in D)$ を満たすものとする。このとき
$\begin{aligned} \boldsymbol{W}(x,y)=\begin{bmatrix} V_1\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{2y}(x,y)-V_2\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{1y}(x,y)\\ V_2\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{1x}(x,y)-V_1\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{2x}(x,y) \end{bmatrix} \end{aligned}$
が成り立つ。
( $\because$ 　直接計算すると
$\begin{aligned}\mathrm{div\ }\boldsymbol{W}=&\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}}\left(V_1(\boldsymbol{f})f_{2y}-V_2(\boldsymbol{f})f_{1y}\right)+\displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}}\left(V_2(\boldsymbol{f})f_{1x}-V_1(\boldsymbol{f})f_{2x}\right)\\=&\left(V_{1u}(\boldsymbol{f})f_{1x}+V_{1v}(\boldsymbol{f})f_{2x}\right)f_{2y}-\left(V_{2u}(\boldsymbol{f})f_{1x}+V_{2v}(\boldsymbol{f})f_{2x}\right)f_{1y}\\&+\left(V_{2u}(\boldsymbol{f})f_{1y}+V_{2v}(\boldsymbol{f})f_{2y}\right)f_{1x}-\left(V_{1u}(\boldsymbol{f})f_{1y}+V_{1v}(\boldsymbol{f})f_{2y}\right)f_{2x}\\=&\left(V_{1u}(\boldsymbol{f})+V_{2v}(\boldsymbol{f})\right)\left(f_{1x}f_{2y}-f_{1y}f_{2x}\right)\\=&\left(\mathrm{div}\ \boldsymbol{V}\right)(\boldsymbol{f})\displaystyle{\frac{\partial(f_1,f_2)}{\partial(x,y)}}\end{aligned}$
である。　 $\blacksquare$ )

　この補題を基に背理法により命題を示す。 $\partial B$ の近傍で $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}$ およびすべての $\boldsymbol{x}\in B$ に対して $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{0}$ を満たすような $C^2$ 級写像 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ が存在すると仮定する。このとき

$\begin{aligned} \boldsymbol{V}(x,y)=\displaystyle{\frac{1}{x^2+y^2}}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}:\\ \mathit{\Omega}=\mathbb{R}^2\cap\left\{(0,0)\right\}^{C}\rightarrow\mathbb{R}^2 \end{aligned}$

に対して $\boldsymbol{W}(\boldsymbol{x})$ を補題にて示した

$\begin{aligned} \boldsymbol{W}(x,y)=\begin{bmatrix} V_1\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{2y}(x,y)-V_2\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{1y}(x,y)\\ V_2\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{1x}(x,y)-V_1\left(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)f_{2x}(x,y) \end{bmatrix} \end{aligned}$

により定める。
　このとき仮定の2つ目から、 $\boldsymbol{W}(\boldsymbol{x})$ は $B$ 上で $C^2$ 級であり、 $\mathrm{div}\boldsymbol{V}=0$ に注意すれば、 $\mathrm{div}\boldsymbol{W}=0$ が成り立つ。 $\boldsymbol{n}$ を $\partial B$ 上の外向き法線ベクトルとして前に示した定理より、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{\partial B}(\boldsymbol{W},\boldsymbol{n})}dl=\displaystyle{\iint_{B}\mathrm{div}\boldsymbol{W}}dxdy=0 \end{aligned}$

が成り立つ。
　一方で、1つ目の仮定から、 $\partial B$ の近傍において $\boldsymbol{W}=\boldsymbol{V}$ であるから、 $\partial B$ 上 $\boldsymbol{W}=\boldsymbol{x}$ である。また $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{x}$ より