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やりなおしの数学・微分積分篇(55/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • ベクトルの微分を定義する

10. ベクトル解析

 本節ではベクトル値写像を扱う。

10.1 ベクトル値写像とその微分



ベクトル値写像の定義 n,m\in\mathit{\mathbb{N}}に対して、\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^n上で定義されたm個の実数値関数f_i(x_1,x_2,\cdots,x_n):\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R},i=1,2,\cdots,mが与えられたとする。このとき\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathit{\Omega}に対して\mathbb{R}^m内の点(f_1(\boldsymbol{x}),\cdots,f_m(\boldsymbol{x}) )を対応させる写像\boldsymbol{f}:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^mを定義できる。この\boldsymbol{f}\mathbb{R}^m写像(もしくはベクトル値関数、ベクトル場)という。

 もしすべてのf_i(\boldsymbol{x})\mathit{\Omega}で連続であるとき\boldsymbol{f}\mathit{\Omega}上の連続\mathbb{R}^m写像といい、各f_i(\boldsymbol{x})\mathit{\Omega}上でC^l級(l\in\{1,2,\cdots,\infty\})であるとき、\boldsymbol{f}\mathit{\Omega}上のC^l\mathbb{R}^m写像であるという。

例:線形写像
(m,n)行列


\begin{aligned}
A=\begin{bmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\cdots&&\cdots\\
a_{m1}&\cdots&a_{mn}
\end{bmatrix}
\end{aligned}


に対して、


\begin{aligned}
\boldsymbol{f}_A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m;\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}
\end{aligned}


Aにより定まる線形写像という。


 また以下のとおり記号を定義する。

  • ベクトル値関数の各成分をある1つの成分について偏微分すること


\begin{aligned}
\boldsymbol{f}_{x_i}(\boldsymbol{x})=\displaystyle{\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial x_i}}(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial f_1}{\partial x_i}}(\boldsymbol{x})\\
\vdots\\
\displaystyle{\frac{\partial f_m}{\partial x_i}}(\boldsymbol{x})
\end{bmatrix},\ i=1,2,\cdots,n
\end{aligned}

  • Jacobi行列:ベクトル値関数の\boldsymbol{x}における微分


\begin{aligned}
(D\boldsymbol{f})(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial f_1}{\partial x_1}}(\boldsymbol{x})&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_1}{\partial x_n}}(\boldsymbol{x})\\
\vdots&&\vdots\\
\displaystyle{\frac{\partial f_m}{\partial x_1}}(\boldsymbol{x})&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_m}{\partial x_n}}(\boldsymbol{x})
\end{bmatrix}
\end{aligned}

  • ナブラ(\nabla):g:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}に対して\nabla g:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^nとして


\begin{aligned}
(\nabla g)(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial g}{\partial x_i}}(\boldsymbol{x})\\
\vdots\\
\displaystyle{\frac{\partial g}{\partial x_i}}(\boldsymbol{x})
\end{bmatrix}
\end{aligned}

例:

  • \boldsymbol{f}:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3; \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}\sin(x^2+y^2)\\\cos(xy)\end{bmatrix}について


\begin{aligned}
(D\boldsymbol{f})(\boldsymbol{x})&=\begin{bmatrix}
2x\cos(x^2+y^2)&2y\cos(x^2+y^2)\\
 -y\sin(xy)&-x\sin(xy)
\end{bmatrix},\\
\boldsymbol{f}_x&=\begin{bmatrix}
2x\cos(x^2+y^2)\\
 -y\sin(xy)
\end{bmatrix},\\
\boldsymbol{f}_y&=\begin{bmatrix}
2y\cos(x^2+y^2)\\
 -x\sin(xy)
\end{bmatrix}
\end{aligned}

10.1.1 ベクトル値写像微分に関する諸性質


ベクトル値写像微分の諸性質 \mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^n,\varphi,\psi:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R},\boldsymbol{h}(t):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^nC^1写像とし、{}^{\forall}t\in\mathbb{R}(\boldsymbol{h}(t)\in\mathit{\Omega})と仮定する。このとき、

  • \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_i}}(\varphi\boldsymbol{f})=\varphi_{x_i}\boldsymbol{f}+\varphi\boldsymbol{f}_{x_i}
  • \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_i}}(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g})=(\boldsymbol{f}_{x_i},\boldsymbol{g})+(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}_{x_i})
  • \nabla(\varphi\psi)=\psi\nabla\varphi+\varphi\nabla\psi
  • \displaystyle{\frac{d}{dt}(\varphi(\boldsymbol{h}(t)))}=( (\nabla\varphi)(\boldsymbol{h}(t) ),\boldsymbol{h}^{\prime}(t) )



\mathrm{Jacobi}行列の性質 \mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^n,D\subset\mathbb{R}^mを領域とし、\boldsymbol{f}:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^m,\boldsymbol{g}:D\rightarrow\mathbb{R}^kをそれぞれC^1写像とする。さらに{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\mathit{\Omega}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))\in Dと仮定する。このとき\boldsymbol{h}=\boldsymbol{g}\circ\boldsymbol{f}:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^k;\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{g}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) )C^1写像であり


\begin{aligned}
(D\boldsymbol{h})(\boldsymbol{x})=(D\boldsymbol{g})(\boldsymbol{x})(D\boldsymbol{f})(\boldsymbol{x})
\end{aligned}

が成立する。

(\because 写像\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}をそれぞれ


\begin{aligned}
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})&=\begin{bmatrix}
f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)\\
\vdots\\
f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)
\end{bmatrix},\\
\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})&=\begin{bmatrix}
g_1(y_1,y_2,\cdots,y_m)\\
\vdots\\
g_k(y_1,y_2,\cdots,y_m)
\end{bmatrix}
\end{aligned}

とおけば、合成写像\boldsymbol{h}=\boldsymbol{g}\circ\boldsymbol{f}



\begin{aligned}
\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}
g_1(f_1(\boldsymbol{x}),f_2(\boldsymbol{x}),\cdots,f_m(\boldsymbol{x}) )\\
\vdots\\
g_k(f_1(\boldsymbol{x}),f_2(\boldsymbol{x}),\cdots,f_m(\boldsymbol{x}) )
\end{bmatrix}
\end{aligned}


と表される。したがって(D\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x}))(i,j)成分は



\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_j}}g_i(f_1(\boldsymbol{x}),f_2(\boldsymbol{x}),\cdots,f_m(\boldsymbol{x}) )=\displaystyle{\sum_{\nu=1}^{m}\left(\frac{\partial}{\partial y_{\nu}}(f_1(\boldsymbol{x}),f_2(\boldsymbol{x}),\cdots,f_m(\boldsymbol{x}) )\frac{\partial f_{\nu}}{\partial x_j}(\boldsymbol{x})\right)}
\end{aligned}


が得られる。この右辺は定義式の右辺における(i,j)成分に等しい。 \blacksquare)

 次にベクトルのノルムおよび内積を定義する。



\begin{aligned}
\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{bmatrix},\boldsymbol{y}=\begin{bmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{bmatrix}
\end{aligned}


に対して、


\begin{aligned}
\left|\boldsymbol{x}\right|&=\sqrt{\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}x_i^2}},\\
(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}x_iy_i}
\end{aligned}

でノルムおよび内積を定義する。

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