やりなおしの数学・微分積分篇（55/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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10.　ベクトル解析
- 10.1　ベクトル値写像とその微分
  - 10.1.1　ベクトル値写像の微分に関する諸性質
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ベクトルの微分を定義する

10.　ベクトル解析

　本節ではベクトル値写像を扱う。

10.1　ベクトル値写像とその微分

ベクトル値写像の定義　 $n,m\in\mathit{\mathbb{N}}$ に対して、 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^n$ 上で定義された $m$ 個の実数値関数 $f_i(x_1,x_2,\cdots,x_n):$ $\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R},$ $i=1,2,\cdots,m$ が与えられたとする。このとき $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathit{\Omega}$ に対して $\mathbb{R}^m$ 内の点 $(f_1(\boldsymbol{x}),\cdots,f_m(\boldsymbol{x}) )$ を対応させる写像 $\boldsymbol{f}:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^m$ を定義できる。この $\boldsymbol{f}$ を $\mathbb{R}^m$ 値写像(もしくはベクトル値関数、ベクトル場)という。

　もしすべての $f_i(\boldsymbol{x})$ が $\mathit{\Omega}$ で連続であるとき $\boldsymbol{f}$ は $\mathit{\Omega}$ 上の連続 $\mathbb{R}^m$ 値写像といい、各 $f_i(\boldsymbol{x})$ が $\mathit{\Omega}$ 上で $C^l$ 級( $l\in\{1,2,\cdots,\infty\}$ )であるとき、 $\boldsymbol{f}$ は $\mathit{\Omega}$ 上の $C^l$ 級 $\mathbb{R}^m$ 値写像であるという。

例：線形写像
$(m,n)$ 行列
$\begin{aligned} A=\begin{bmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \cdots&&\cdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix} \end{aligned}$

に対して、
$\begin{aligned} \boldsymbol{f}_A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m;\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x} \end{aligned}$

を $A$ により定まる線形写像という。

　また以下のとおり記号を定義する。

ベクトル値関数の各成分をある1つの成分について偏微分すること

$\begin{aligned} \boldsymbol{f}_{x_i}(\boldsymbol{x})=\displaystyle{\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial x_i}}(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix} \displaystyle{\frac{\partial f_1}{\partial x_i}}(\boldsymbol{x})\\ \vdots\\ \displaystyle{\frac{\partial f_m}{\partial x_i}}(\boldsymbol{x}) \end{bmatrix},\ i=1,2,\cdots,n \end{aligned}$

Jacobi行列：ベクトル値関数の $\boldsymbol{x}$ における微分

$\begin{aligned} (D\boldsymbol{f})(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix} \displaystyle{\frac{\partial f_1}{\partial x_1}}(\boldsymbol{x})&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_1}{\partial x_n}}(\boldsymbol{x})\\ \vdots&&\vdots\\ \displaystyle{\frac{\partial f_m}{\partial x_1}}(\boldsymbol{x})&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_m}{\partial x_n}}(\boldsymbol{x}) \end{bmatrix} \end{aligned}$

ナブラ( $\nabla$ )： $g:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}$ に対して $\nabla g:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^n$ として

$\begin{aligned} (\nabla g)(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix} \displaystyle{\frac{\partial g}{\partial x_i}}(\boldsymbol{x})\\ \vdots\\ \displaystyle{\frac{\partial g}{\partial x_i}}(\boldsymbol{x}) \end{bmatrix} \end{aligned}$

例：

$\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3; \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}\sin(x^2+y^2)\\\cos(xy)\end{bmatrix}$ について

$\begin{aligned} (D\boldsymbol{f})(\boldsymbol{x})&=\begin{bmatrix} 2x\cos(x^2+y^2)&2y\cos(x^2+y^2)\\ -y\sin(xy)&-x\sin(xy) \end{bmatrix},\\ \boldsymbol{f}_x&=\begin{bmatrix} 2x\cos(x^2+y^2)\\ -y\sin(xy) \end{bmatrix},\\ \boldsymbol{f}_y&=\begin{bmatrix} 2y\cos(x^2+y^2)\\ -x\sin(xy) \end{bmatrix} \end{aligned}$

10.1.1　ベクトル値写像の微分に関する諸性質

ベクトル値写像の微分の諸性質　 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^n,$ $\varphi,\psi:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R},$ $\boldsymbol{h}(t):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^n$ を $C^1$ 級写像とし、 ${}^{\forall}t\in\mathbb{R}(\boldsymbol{h}(t)\in\mathit{\Omega})$ と仮定する。このとき、

$\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_i}}(\varphi\boldsymbol{f})=\varphi_{x_i}\boldsymbol{f}+\varphi\boldsymbol{f}_{x_i}$
$\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_i}}(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g})=(\boldsymbol{f}_{x_i},\boldsymbol{g})+(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}_{x_i})$
$\nabla(\varphi\psi)=\psi\nabla\varphi+\varphi\nabla\psi$
$\displaystyle{\frac{d}{dt}(\varphi(\boldsymbol{h}(t)))}=( (\nabla\varphi)(\boldsymbol{h}(t) ),\boldsymbol{h}^{\prime}(t) )$

$\mathrm{Jacobi}$ 行列の性質　 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^n,$ $D\subset\mathbb{R}^m$ を領域とし、 $\boldsymbol{f}:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^m,$ $\boldsymbol{g}:D\rightarrow\mathbb{R}^k$ をそれぞれ $C^1$ 級写像とする。さらに ${}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\mathit{\Omega}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))\in D$ と仮定する。このとき $\boldsymbol{h}=\boldsymbol{g}\circ\boldsymbol{f}:\mathit{\Omega}$ $\rightarrow\mathbb{R}^k;$ $\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{g}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) )$ は $C^1$ 級写像であり

$\begin{aligned} (D\boldsymbol{h})(\boldsymbol{x})=(D\boldsymbol{g})(\boldsymbol{x})(D\boldsymbol{f})(\boldsymbol{x}) \end{aligned}$

が成立する。

( $\because$ 　写像 $\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}$ をそれぞれ

$\begin{aligned} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})&=\begin{bmatrix} f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)\\ \vdots\\ f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n) \end{bmatrix},\\ \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})&=\begin{bmatrix} g_1(y_1,y_2,\cdots,y_m)\\ \vdots\\ g_k(y_1,y_2,\cdots,y_m) \end{bmatrix} \end{aligned}$

とおけば、合成写像 $\boldsymbol{h}=\boldsymbol{g}\circ\boldsymbol{f}$ は

$\begin{aligned} \boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix} g_1(f_1(\boldsymbol{x}),f_2(\boldsymbol{x}),\cdots,f_m(\boldsymbol{x}) )\\ \vdots\\ g_k(f_1(\boldsymbol{x}),f_2(\boldsymbol{x}),\cdots,f_m(\boldsymbol{x}) ) \end{bmatrix} \end{aligned}$

と表される。したがって $(D\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x}))$ の $(i,j)$ 成分は

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_j}}g_i(f_1(\boldsymbol{x}),f_2(\boldsymbol{x}),\cdots,f_m(\boldsymbol{x}) )=\displaystyle{\sum_{\nu=1}^{m}\left(\frac{\partial}{\partial y_{\nu}}(f_1(\boldsymbol{x}),f_2(\boldsymbol{x}),\cdots,f_m(\boldsymbol{x}) )\frac{\partial f_{\nu}}{\partial x_j}(\boldsymbol{x})\right)} \end{aligned}$

が得られる。この右辺は定義式の右辺における $(i,j)$ 成分に等しい。　 $\blacksquare$ )

　次にベクトルのノルムおよび内積を定義する。

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{bmatrix},\boldsymbol{y}=\begin{bmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{bmatrix} \end{aligned}$

に対して、

$\begin{aligned} \left|\boldsymbol{x}\right|&=\sqrt{\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}x_i^2}},\\ (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}x_iy_i} \end{aligned}$

でノルムおよび内積を定義する。

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