やりなおしの数学・微分積分篇（43/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ

関数項級数の収束概念を扱う。

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9.　関数列の収束
- 9.4　関数項級数
  - 9.4.1　関数項級数の各性質
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9.　関数列の収束

　本節では関数の数列（関数列）に関する収束概念を扱う。

9.4　関数項級数

　 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ を $A\subset\mathbb{R}$ で定義された実数値関数列とする。各 $x\in A$ に対して

$\begin{aligned} s_n(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}f_i(x)} \end{aligned}$

とおく。関数列 $\{s_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ が関数 $s(x)$ に各点収束するとき、

$\begin{aligned} s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)} \end{aligned}$

と書き、 $\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}$ は各点収束するという。
　もし関数列 $\{s_n\}$ が $A$ 上において $s$ に一様収束するならば、 $s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}$ は $A$ 上で一様収束するという。

関数項級数の収束性　 $A\subset\mathbb{R}$ で定義された実数値関数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ に対して、各 $x\in A$ について

$\begin{aligned} s_n(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}f_i(x)} \end{aligned}$

とおく。このとき

$s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}$ が $A$ 上で各点収束するとは、
$\begin{aligned}{}^{\forall}x\in A,{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N(x)\in\mathbb{N}\left({}^{\forall}n\geq N(x)\left(\left|s(x)-s_n(x)\right|\lt\varepsilon\right)\right)\right)\end{aligned}$
が成立するときをいう。
$s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}$ が $A$ 上で一様収束するとは、
$\begin{aligned}{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\in\mathbb{N}\left({}^{\forall}x\in A,{}^{\forall}n\geq N\left(\left|s(x)-s_n(x)\right|\lt\varepsilon\right)\right)\right)\end{aligned}$
が成立するときをいう。

9.4.1　関数項級数の各性質

　関数項級数はこれまでの議論と同様に以下が成り立つ：

関数項級数の一様収束条件　関数項級数 $s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}$ が $A\subset\mathbb{R}$ 上で一様収束するには

$\begin{aligned} \displaystyle{\sup_{x\in A}\left|\sum_{i=n+1}^{\infty}f_i(x)\right|}\rightarrow0(n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

ことが必要十分である。

$\mathrm{Cauchy}$ の判定法　 $A\subset\mathbb{R}$ で定義された関数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ に対して

$\begin{aligned} s_n(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}f_i(x)} \end{aligned}$

とおく。 $s_n$ が $A$ において $s$ に一様収束するための必要十分条件は

$\begin{aligned} {}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\in\mathbb{R}\left({}^{\forall}x\in A,n,m\geq N\left(\left|s_n(x)-s_m(x)\right|=\left|\displaystyle{\sum_{i=m+1}^{n}f_i(x)}\right|\lt\varepsilon\right)\right)\right) \end{aligned}$

が成り立つことである。

一様収束と連続性　 $A\subset\mathbb{R}$ 上で定義された連続関数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ に対して、

$\begin{aligned} s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)} \end{aligned}$

が $A$ 上で一様収束するならば $s(x)$ は $A$ 上で連続である。

( $\because$ 　 $s_n(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}f_i(x)}$ とおく。このとき関数列 $\{s_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ は $A$ 上で定義された連続関数列である。

$\begin{aligned} s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)} \end{aligned}$

が $A$ 上で一様収束することは、定義より $s_n$ が $s$ に $A$ 上で収束することに他ならないから、 $s$ も $A$ 上で連続である。　 $\blacksquare$ )

項別積分の定理　 $A\subset\mathbb{R}$ 上で定義された連続関数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ に対して、 $\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}$ が $[a,b]$ 上で一様収束すれば

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_i(x)dx}=\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)\right)dx} \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　 $s_n(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}f_i(x)}$ とおくと $s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}$ が $[a,b]$ 上で一様収束することから、前に示した定理を用いて

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_i(x)dx}&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\int_{a}^{b}f_i(x)dx}\\ &=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}s_n(x)dx}\\ &=\displaystyle{\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}s_n(x)dx}\\ &=\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)\right)dx} \end{aligned}$

である。　 $\blacksquare$ )

項別微分の定理　 $A\subset\mathbb{R}$ 上で定義された関数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ が各 $n$ に対して連続な導関数 $f_n^{\prime}(x)$ をもつとする。いま $\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}$ は $[a,b]$ 上で各点収束し、 $\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i^{\prime}(x)}$ は $[a,b]$ 上で一様収束するとする。このとき $s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}$ は $[a,b]$ 上で一様収束する。さらに $s(x)$ は $[a,b]$ 上で $C^{1}$ 級であり

$\begin{aligned} s^{\prime}(x)=\displaystyle{\frac{d}{dx}\left(\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)\right)}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i^{\prime}(x)} \end{aligned}$

が成立する。

( $\because$ 　 $s_n(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}f_i(x)}$ とおくと仮定より $s_n(x)$ は

$\begin{aligned} s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)} \end{aligned}$

に各点収束する。また $s_n^{\prime}(x)$ が $\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i^{\prime}(x)}$ に $[a,b]$ 上で一様収束する。したがって $s_n(x)$ は $s(x)$ に $[a,b]$ 上で一様収束し、 $s(x)$ は $[a,b]$ 上で $C^1$ 級であり、

$\begin{aligned} s^{\prime}(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i^{\prime}(x)} \end{aligned}$

が成立する。すなわち $\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}$ は $[a,b]$ 上で一様収束し

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{d}{dx}\left(\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)\right)}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i^{\prime}(x)}, x\in[a,b] \end{aligned}$

である。　 $\blacksquare$ )

$\mathrm{Weierstrauss}$ の優級数定理　 $A\subset\mathbb{R}$ 上で定義された関数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ に対して $\{M_n\}_{n=1}^{\infty}$ を

$\begin{aligned} \displaystyle{\sup_{x\in A}\left|f_n(x)\right|}\leq M_n \end{aligned}$

を満たす数列とする。 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}M_n}$ が収束するならば関数項級数 $\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}$ は $A$ 上で一様収束する。

( $\because$ 　 $n\gt m\geq1$ に対して

$\begin{aligned} \displaystyle{\sup_{x\in A}\left|\sum_{i=m+1}^{n}f_i(x)\right|}\leq\displaystyle{\sum_{i=m+1}^{n}\left|\sup_{x\in A}f_i(x)\right|}\leq\displaystyle{\sum_{i=m+1}^{n}M_i}\rightarrow0(m,n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

であるから、 $\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}$ は $A$ 上で一様収束である。　 $\blacksquare$ )

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9. 関数列の収束

9.4 関数項級数

9.4.1 関数項級数の各性質

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9.4　関数項級数

9.4.1　関数項級数の各性質