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やりなおしの数学・微分積分篇(042/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 関数項級数の収束概念を扱う。

9. 関数列の収束

 本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。

9.4 関数項級数

 \{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}A\subset\mathbb{R}で定義された実数値関数列とする。各x\in Aに対して


\begin{aligned}
s_n(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}f_i(x)}
\end{aligned}

とおく。関数列\{s_n(x)\}_{n=1}^{\infty}が関数s(x)に各点収束するとき、


\begin{aligned}
s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}
\end{aligned}

と書き、\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}は各点収束するという。
 もし関数列\{s_n\}A上においてsに一様収束するならば、s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}A上で一様収束するという。



関数項級数の収束性 A\subset\mathbb{R}で定義された実数値関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}に対して、各x\in Aについて


\begin{aligned}
s_n(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}f_i(x)}
\end{aligned}

とおく。このとき

  1. s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}A上で各点収束するとは、
    \begin{aligned}{}^{\forall}x\in A,{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N(x)\in\mathbb{N}\left({}^{\forall}n\geq N(x)\left(\left|s(x)-s_n(x)\right|\lt\varepsilon\right)\right)\right)\end{aligned}
    が成立するときをいう。
  2. s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}A上で一様収束するとは、
    \begin{aligned}{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\in\mathbb{N}\left({}^{\forall}x\in A,{}^{\forall}n\geq N\left(\left|s(x)-s_n(x)\right|\lt\varepsilon\right)\right)\right)\end{aligned}
    が成立するときをいう。

9.4.1 関数項級数の各性質

 関数項級数はこれまでの議論と同様に以下が成り立つ:


関数項級数の一様収束条件 関数項級数s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}A\subset\mathbb{R}上で一様収束するには


\begin{aligned}
\displaystyle{\sup_{x\in A}\left|\sum_{i=n+1}^{\infty}f_i(x)\right|}\rightarrow0(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}

ことが必要十分である。


\mathrm{Cauchy}の判定法 A\subset\mathbb{R}で定義された関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}に対して


\begin{aligned}
s_n(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}f_i(x)}
\end{aligned}

とおく。s_nAにおいてsに一様収束するための必要十分条件


\begin{aligned}
{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\in\mathbb{R}\left({}^{\forall}x\in A,n,m\geq N\left(\left|s_n(x)-s_m(x)\right|=\left|\displaystyle{\sum_{i=m+1}^{n}f_i(x)}\right|\lt\varepsilon\right)\right)\right)
\end{aligned}

が成り立つことである。


一様収束と連続性 A\subset\mathbb{R}上で定義された連続関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}に対して、


\begin{aligned}
s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}
\end{aligned}

A上で一様収束するならばs(x)A上で連続である。

(\because s_n(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}f_i(x)}とおく。このとき関数列\{s_n(x)\}_{n=1}^{\infty}A上で定義された連続関数列である。


\begin{aligned}
s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}
\end{aligned}

A上で一様収束することは、定義よりs_nsA上で収束することに他ならないから、sA上で連続である。 \blacksquare)


項別積分の定理 A\subset\mathbb{R}上で定義された連続関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}に対して、\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}[a,b]上で一様収束すれば


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_i(x)dx}=\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)\right)dx}
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because s_n(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}f_i(x)}とおくとs(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}[a,b]上で一様収束することから、前に示した定理を用いて


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_i(x)dx}&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\int_{a}^{b}f_i(x)dx}\\
&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}s_n(x)dx}\\
&=\displaystyle{\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}s_n(x)dx}\\
&=\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)\right)dx}
\end{aligned}

である。 \blacksquare)


項別微分の定理 A\subset\mathbb{R}上で定義された関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}が各nに対して連続な導関数f_n^{\prime}(x)をもつとする。いま\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}[a,b]上で各点収束し、\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i^{\prime}(x)}[a,b]上で一様収束するとする。このときs(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}[a,b]上で一様収束する。さらにs(x)[a,b]上でC^{1}級であり


\begin{aligned}
s^{\prime}(x)=\displaystyle{\frac{d}{dx}\left(\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)\right)}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i^{\prime}(x)}
\end{aligned}

が成立する。

(\because s_n(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}f_i(x)}とおくと仮定よりs_n(x)


\begin{aligned}
s(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}
\end{aligned}

に各点収束する。またs_n^{\prime}(x)\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i^{\prime}(x)}[a,b]上で一様収束する。したがってs_n(x)s(x)[a,b]上で一様収束し、s(x)[a,b]上でC^1級であり、


\begin{aligned}
s^{\prime}(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i^{\prime}(x)}
\end{aligned}

が成立する。すなわち\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}[a,b]上で一様収束し


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{d}{dx}\left(\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)\right)}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i^{\prime}(x)}, x\in[a,b]
\end{aligned}

である。 \blacksquare)


\mathrm{Weierstrauss}の優級数定理 A\subset\mathbb{R}上で定義された関数列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}に対して\{M_n\}_{n=1}^{\infty}


\begin{aligned}
\displaystyle{\sup_{x\in A}\left|f_n(x)\right|}\leq M_n
\end{aligned}

を満たす数列とする。\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}M_n}が収束するならば関数項級数\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}A上で一様収束する。

(\because n\gt m\geq1に対して


\begin{aligned}
\displaystyle{\sup_{x\in A}\left|\sum_{i=m+1}^{n}f_i(x)\right|}\leq\displaystyle{\sum_{i=m+1}^{n}\left|\sup_{x\in A}f_i(x)\right|}\leq\displaystyle{\sum_{i=m+1}^{n}M_i}\rightarrow0(m,n\rightarrow\infty)
\end{aligned}

であるから、\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)}A上で一様収束である。 \blacksquare)

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