9. 関数列の収束
本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。
9.4 関数項級数
を
で定義された実数値関数列とする。各
に対して
とおく。関数列が関数
に各点収束するとき、
と書き、は各点収束するという。
もし関数列が
上において
に一様収束するならば、
は
上で一様収束するという。
9.4.1 関数項級数の各性質
関数項級数はこれまでの議論と同様に以下が成り立つ:
一様収束と連続性
が上で一様収束するならば
は
上で連続である。
が上で一様収束することは、定義より
が
に
上で収束することに他ならないから、
も
上で連続である。
)
である。 )
に各点収束する。またが
に
上で一様収束する。したがって
は
に
上で一様収束し、
は
上で
級であり、
が成立する。すなわちは
上で一様収束し
である。 )
であるから、は
上で一様収束である。
)