やりなおしの数学・微分積分篇（51/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

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今日のまとめ

整数級
$\begin{aligned}\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}\end{aligned}$
が、 $|x|\lt r$ であるようなすべての $x$ に対して収束し、 $|x|\gt r$ であるようなすべての $x$ に関して発散するとき、 $r$ を収束半径であるという。

収束半径は
$\begin{aligned}\displaystyle{\frac{1}{r}}=\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|} }\end{aligned}$
で与えられる。

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今日のまとめ
9.　関数列の収束
- 9.8　整数級
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9.　関数列の収束

　本節では関数の数列（関数列）に関する収束概念を扱う。

9.8　整数級

復習：級数の収束性(1) 級数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n}$ が収束するならば $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=0$ である。

(2)級数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n}$ において $\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=r$ とおくとき、 $r\lt1$ ならば級数は収束し、 $r\gt1$ ならば発散する。

　整数級

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n} \end{aligned}$

の収束を考える。このとき、

$x=0$ 以外で常に発散する

${}^{\forall}x\in\mathbb{R}$ について収束する

ある正数 $r$ があり $|x|\lt r$ では収束し、 $|x|\gt r$ では発散する

場合が考えられる。この3つ目に注目することで収束半径の概念を導入する。

収束半径　 $r\in[0,\infty]$ が整数級

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n} \end{aligned}$

の収束半径であるとは、 $|x|\lt r$ であるようなすべての $x$ に対して整数級が収束し、 $|x|\gt r$ であるようなすべての $x$ に関して発散するときをいう。

　収束半径は理論的には以下の定理から求めることができる。

$\mathrm{Cauchy}$ - $\mathrm{Hadamard}$ の定理　整数級

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n} \end{aligned}$

の収束半径は

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{1}{r}}=\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|} } \end{aligned}$

で与えられる。ただし $\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|} }=0$ ならば $r=\infty$ とする。

( $\because$ 　 $l=\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|} }$ とおく。 $\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n x^n|} }=l|x|,x\neq0$ である。ただし $l=\infty\Rightarrow l|x|=\infty$ とする。いま前に示した補題から

$\begin{aligned} l|x|\lt1&\Rightarrow\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}は収束する\\ l|x|\gt1&\Rightarrow\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}は発散する \end{aligned}$

が成り立つ。 $l=0$ のときは $l|x|=0\lt1$ が ${}^{\forall}x\in\mathbb{R}$ が成立するため、 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}$ は収束する。また $l=\infty$ のときは $x\neq0$ ならば $l|x|=\infty\gt1$ であるから発散する。これらから $r=\displaystyle{\frac{1}{l}}$ を考えることで題意は示された。ただし $l=0$ ならば $r=\infty,$ $l=\infty$ ならば $r=0$ とおく。　 $\blacksquare$ )

　整数級を関数として見ると興味深い性質が得られる。

整数級関数の微積分の収束性　整数級

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n} \end{aligned}$

の収束半径を $r\gt0$ とする。

$\begin{aligned} f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n},|x|\lt r \end{aligned}$

で定義された関数 $f(x)$ は $(-r,r)$ 上で何回も微分可能で、任意の自然数に対して

$\begin{aligned} f^{(k)}(x)=\displaystyle{\sum_{n=k}^{\infty}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n x^{n-k} }, |x|\lt r \end{aligned}$

であり、右辺の整数級の収束半径は $r$ である。また $a_k=\displaystyle{\frac{f^{(k)(0)}}{k!}}$ を得る。
　更に $f(x)$ に関する積分は

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt }=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}a_n t^n dt}=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}},\ |x|\lt r \end{aligned}$

で与えられ、右辺の整数級の収束半径も $r$ である。

( $\because$ 　まず1回微分について示す。級数

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} } \end{aligned}$

を考える。整数級

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n} \end{aligned}$

の収束半径を $r\gt0$ とするとき、 $\displaystyle{\frac{1}{r}}=\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|} }$ である。そこで $b_{n-1}=na_n$ とおくと、整数級

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n} \end{aligned}$

は $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_{n-1}x^{n-1}}=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n}$ と表される。いま

$\begin{aligned} \sqrt[n]{|b_n|}=\sqrt[n]{(n+1)|a_{n+1}| }=\sqrt[n]{n+1}\left(\sqrt[n+1]{|a_{n+1}|} \right)^{\frac{n+1}{n}} \end{aligned}$

である。ここで

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\log\sqrt[n]{n+1}}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log(n+1)}{n}}=0 \end{aligned}$

であるから、 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n+1}}=1$ を得、また $\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+1]{|a_{n+1}|} }=\displaystyle{\frac{1}{r}}$ であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|b_n|} }=\displaystyle{\frac{1}{r}} \end{aligned}$

が得られる。以上から級数

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} } \end{aligned}$

の収束半径も $r$ である。したがって $0\lt{}^{\forall}m\lt r$ に対して $|x|\leq m$ において

$\begin{aligned} f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n},|x|\lt r \end{aligned}$

の右辺と級数

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} } \end{aligned}$

はともに一様収束するから、関数 $f(x)$ は $[-m,m]$ で微分可能であり、

$\begin{aligned} f^{\prime}(x)=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} }, -m\leq x\leq m \end{aligned}$

が得られる。 $m$ は任意であったから、 $|x|\lt r$ で $f(x)$ は微分可能であり、上の式が $|x|\lt r$ で成立する。
　次に整数級

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n} \end{aligned}$

を $k$ 回微分すると、その右辺は

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=k}^{\infty}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n x^{n-k} } \end{aligned}$

であり、 $b_{n-k}=n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n$ とおくと、

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=k}^{\infty}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n x^{n-k} }=\displaystyle{\sum_{n=k}^{\infty}b_{n-k} x^{n-k} }=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}b_{n} x^{n} } \end{aligned}$

と表すことができる。 $b_n=(n+k)(n+k-1)\cdots(n+1)a_{n+k}$ であるから、

$\begin{aligned} \sqrt[n]{|b_n|}=\sqrt[n]{n+k}\cdots\sqrt[n]{n+1}\left(\sqrt[n+k]{|a_{n+k}|}\right)^{\frac{n+k}{n}} \end{aligned}$

が得られる。したがって $\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|b_n|}}=\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\displaystyle{\frac{1}{r}}$ が従う。以上から、帰納的に $f(x)$ は $(-r,r)$ で $k$ 階微分可能で、

$\begin{aligned} f^{(k)}(x)=\displaystyle{\sum_{n=k}^{\infty}n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)a_nx^{n-k}}, |x|\lt r \end{aligned}$

が得られた。特に上式の右辺の収束半径も $r$ である。
　最後に

$\begin{aligned} f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n},|x|\lt r \end{aligned}$

の積分を考える。 $f(x)$ の収束半径を $r$ とする。 $0\lt{}^{\forall}m\lt r$ ]について、 $f(x)$ は $|x|\leq m$ で一様収束であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_0^{x}f(t)}dt=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x a_nt^n}dt=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}} \end{aligned}$

が得られる。いま $b_{n+1}=\displaystyle{\frac{a_n}{n+1}}$ とおくと、 $\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\displaystyle{\frac{1}{r}}$ より、

$\begin{aligned} \displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|b_n|}}=\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+1]{\frac{1}{n+1}}\left(\sqrt[n]{|a_n|} \right)^{\frac{n}{n+1}} } \end{aligned}$

である。以上より、 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}}$ の収束半径も $r$ であり、 $f(x)$ に関する積分

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt }=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}a_n t^n dt}=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}},\ |x|\lt r \end{aligned}$

が $-r\lt x\lt r$ で成立する。　 $\blacksquare$ )

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9.8　整数級