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やりなおしの数学・微分積分篇(51/X)

 以下の書籍

を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 整数級
    \begin{aligned}\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}\end{aligned}
    が、|x|\lt rであるようなすべてのxに対して収束し、|x|\gt rであるようなすべてのxに関して発散するとき、rを収束半径であるという。
  • 収束半径は
    \begin{aligned}\displaystyle{\frac{1}{r}}=\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|} }\end{aligned}
    で与えられる。

9. 関数列の収束

 本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。

9.8 整数級


復習:級数の収束性(1) 級数\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n}が収束するならば\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=0である。

(2)級数\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n}において\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=rとおくとき、r\lt1ならば級数は収束し、r\gt1ならば発散する。

 整数級



\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}
\end{aligned}


の収束を考える。このとき、

  • x=0以外で常に発散する
  • {}^{\forall}x\in\mathbb{R}について収束する
  • ある正数rがあり|x|\lt rでは収束し、|x|\gt rでは発散する

場合が考えられる。この3つ目に注目することで収束半径の概念を導入する。



収束半径 r\in[0,\infty]が整数級



\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}
\end{aligned}


の収束半径であるとは、|x|\lt rであるようなすべてのxに対して整数級が収束し、|x|\gt rであるようなすべてのxに関して発散するときをいう。


 収束半径は理論的には以下の定理から求めることができる。



\mathrm{Cauchy}-\mathrm{Hadamard}の定理 整数級


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}
\end{aligned}

の収束半径は


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{1}{r}}=\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|} }
\end{aligned}

で与えられる。ただし\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|} }=0ならばr=\inftyとする。

(\because l=\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|} }とおく。\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n x^n|} }=l|x|,x\neq0である。ただしl=\infty\Rightarrow l|x|=\inftyとする。いま前に示した補題から



\begin{aligned}
l|x|\lt1&\Rightarrow\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}は収束する\\
l|x|\gt1&\Rightarrow\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}は発散する
\end{aligned}


が成り立つ。l=0のときはl|x|=0\lt1{}^{\forall}x\in\mathbb{R}が成立するため、\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}は収束する。またl=\inftyのときはx\neq0ならばl|x|=\infty\gt1であるから発散する。これらからr=\displaystyle{\frac{1}{l}}を考えることで題意は示された。ただしl=0ならばr=\infty,l=\inftyならばr=0とおく。 \blacksquare)


 整数級を関数として見ると興味深い性質が得られる。


整数級関数の微積分の収束性 整数級


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}
\end{aligned}

の収束半径をr\gt0とする。


\begin{aligned}
f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n},|x|\lt r
\end{aligned}

で定義された関数f(x)(-r,r)上で何回も微分可能で、任意の自然数に対して


\begin{aligned}
f^{(k)}(x)=\displaystyle{\sum_{n=k}^{\infty}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n x^{n-k} }, |x|\lt r
\end{aligned}

であり、右辺の整数級の収束半径はrである。またa_k=\displaystyle{\frac{f^{(k)(0)}}{k!}}を得る。
 更にf(x)に関する積分


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt }=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}a_n t^n dt}=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}},\ |x|\lt r
\end{aligned}

で与えられ、右辺の整数級の収束半径もrである。

(\because まず1回微分について示す。級数



\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} }
\end{aligned}


を考える。整数級



\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}
\end{aligned}


の収束半径をr\gt0とするとき、\displaystyle{\frac{1}{r}}=\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|} }である。そこでb_{n-1}=na_nとおくと、整数級



\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}
\end{aligned}


\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_{n-1}x^{n-1}}=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n}と表される。いま



\begin{aligned}
\sqrt[n]{|b_n|}=\sqrt[n]{(n+1)|a_{n+1}| }=\sqrt[n]{n+1}\left(\sqrt[n+1]{|a_{n+1}|} \right)^{\frac{n+1}{n}}
\end{aligned}


である。ここで



\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\log\sqrt[n]{n+1}}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log(n+1)}{n}}=0
\end{aligned}


であるから、\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n+1}}=1を得、また\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+1]{|a_{n+1}|} }=\displaystyle{\frac{1}{r}}であるから、



\begin{aligned}
\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|b_n|} }=\displaystyle{\frac{1}{r}}
\end{aligned}


が得られる。以上から級数



\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} }
\end{aligned}


の収束半径もrである。したがって0\lt{}^{\forall}m\lt rに対して|x|\leq mにおいて



\begin{aligned}
f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n},|x|\lt r
\end{aligned}


の右辺と級数



\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} }
\end{aligned}


はともに一様収束するから、関数f(x)[-m,m]微分可能であり、



\begin{aligned}
f^{\prime}(x)=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} }, -m\leq x\leq m
\end{aligned}


が得られる。mは任意であったから、|x|\lt rf(x)微分可能であり、上の式が|x|\lt rで成立する。
 次に整数級



\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}
\end{aligned}


k微分すると、その右辺は



\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=k}^{\infty}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n x^{n-k} }
\end{aligned}


であり、b_{n-k}=n(n-1)\cdots(n-k+1)a_nとおくと、



\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=k}^{\infty}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n x^{n-k} }=\displaystyle{\sum_{n=k}^{\infty}b_{n-k} x^{n-k} }=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}b_{n} x^{n} }
\end{aligned}


と表すことができる。b_n=(n+k)(n+k-1)\cdots(n+1)a_{n+k}であるから、



\begin{aligned}
\sqrt[n]{|b_n|}=\sqrt[n]{n+k}\cdots\sqrt[n]{n+1}\left(\sqrt[n+k]{|a_{n+k}|}\right)^{\frac{n+k}{n}}
\end{aligned}


が得られる。したがって\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|b_n|}}=\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\displaystyle{\frac{1}{r}}が従う。以上から、帰納的にf(x)(-r,r)k微分可能で、


\begin{aligned}
f^{(k)}(x)=\displaystyle{\sum_{n=k}^{\infty}n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)a_nx^{n-k}}, |x|\lt r
\end{aligned}


が得られた。特に上式の右辺の収束半径もrである。
 最後に



\begin{aligned}
f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n},|x|\lt r
\end{aligned}


積分を考える。f(x)の収束半径をrとする。0\lt{}^{\forall}m\lt r]について、f(x)|x|\leq mで一様収束であるから、



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_0^{x}f(t)}dt=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x a_nt^n}dt=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}}
\end{aligned}


が得られる。いまb_{n+1}=\displaystyle{\frac{a_n}{n+1}}とおくと、\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\displaystyle{\frac{1}{r}}より、



\begin{aligned}
\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|b_n|}}=\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+1]{\frac{1}{n+1}}\left(\sqrt[n]{|a_n|} \right)^{\frac{n}{n+1}} }
\end{aligned}


である。以上より、\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}}の収束半径もrであり、f(x)に関する積分


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt }=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}a_n t^n dt}=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}},\ |x|\lt r
\end{aligned}

-r\lt x\lt rで成立する。 \blacksquare)

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