以下の書籍
今日のまとめ
- 整数級
が、であるようなすべての
に対して収束し、
であるようなすべての
に関して発散するとき、
を収束半径であるという。
- 収束半径は
で与えられる。
9. 関数列の収束
本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。
9.8 整数級
整数級
の収束を考える。このとき、
以外で常に発散する
について収束する
- ある正数
があり
では収束し、
では発散する
場合が考えられる。この3つ目に注目することで収束半径の概念を導入する。
収束半径
の収束半径であるとは、であるようなすべての
に対して整数級が収束し、
であるようなすべての
に関して発散するときをいう。
収束半径は理論的には以下の定理から求めることができる。
の収束半径は
で与えられる。ただしならば
とする。
が成り立つ。のときは
が
が成立するため、
は収束する。また
のときは
ならば
であるから発散する。これらから
を考えることで題意は示された。ただし
ならば
ならば
とおく。
)
整数級を関数として見ると興味深い性質が得られる。
整数級関数の微積分の収束性 整数級
の収束半径をとする。
で定義された関数は
上で何回も微分可能で、任意の自然数に対して
であり、右辺の整数級の収束半径はである。また
を得る。
更にに関する積分は
で与えられ、右辺の整数級の収束半径もである。
を考える。整数級
の収束半径をとするとき、
である。そこで
とおくと、整数級
はと表される。いま
である。ここで
であるから、を得、また
であるから、
が得られる。以上から級数
の収束半径もである。したがって
に対して
において
の右辺と級数
はともに一様収束するから、関数は
で微分可能であり、
が得られる。は任意であったから、
で
は微分可能であり、上の式が
で成立する。
次に整数級
を回微分すると、その右辺は
であり、とおくと、
と表すことができる。であるから、
が得られる。したがってが従う。以上から、帰納的に
は
で
階微分可能で、
が得られた。特に上式の右辺の収束半径もである。
最後に
の積分を考える。の収束半径を
とする。
]について、
は
で一様収束であるから、
が得られる。いまとおくと、
より、
である。以上より、の収束半径も
であり、
に関する積分
がで成立する。
)