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やりなおしの数学・微分積分篇(47/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}u_n}\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|}=\inftyである一方で\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}u_n}は収束するとき、\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}u_n}条件収束するという。

9. 関数列の収束

 本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。

9.7 条件収束

 級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}u_n}\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|}=\inftyである一方で\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}u_n}は収束するとき、\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}u_n}条件収束するという。
 これまでの議論は条件収束の概念を導入するとより強い命題を言うことができる。

 


条件収束の必要十分条件 級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}u_n}がどれほど項の順序を入れ替えて新しい級数を造っても収束級数であるための必要十分条件は、級数が絶対収束することである。このとき和の順序にかかわらず級数の和は一定になる

 次の定理は積分における部分積分に対応するものである。


Abel変換 2組の数列\{u_k\}_{k=1}^{n}, \{v_k\}_{k=1}^{n}があり、u_1\geq u_2\geq\cdots\geq u_n\geq0とする。\sigma_p=\displaystyle{\sum_{k=1}^{p}v_k},p=1,2,\cdots,nとすれば、



\begin{aligned}
\left(\displaystyle{\min_{p=1,2,\cdots,n}\sigma_p} \right)u_1\leq\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}u_i v_i}\leq\left(\displaystyle{\max_{p=1,2,\cdots,n}\sigma_p} \right)u_1
\end{aligned}


を得る。

(\because 


\begin{aligned}
S=&\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}u_i v_i}\\
=&u_1\sigma_1+u_2(\sigma_2-\sigma_1)+\cdots\\
&+u_{n-1}(\sigma_{n-1}-\sigma_{n-2})+u_n(\sigma_n-\sigma_{n-1})\\
=&\sigma_1(u_1-u_2)+\cdots+\sigma_{n-1}(u_{n-1}-u_n)+\sigma_nu_n
\end{aligned}


である。ここでu_1-u_2,u_2-u_3,\cdots,u_{n-1}-u_n\geq0,u_n\geq0である。以上から、



\begin{aligned}
S&\geq\min\{\sigma_1,\cdots,\sigma_n\}(u_1-u_2+u_2-u_3-\cdots+u_{n-1}-u_n+u_n)\\
&=\min\{\sigma_1,\cdots,\sigma_n\}u_1
\end{aligned}


を得る。同様にして



\begin{aligned}
S&\leq\max\{\sigma_1,\cdots,\sigma_n\}(u_1-u_2+u_2-u_3-\cdots+u_{n-1}-u_n+u_n)\\
&=\max\{\sigma_1,\cdots,\sigma_n\}u_1
\end{aligned}


を得る。 \blacksquare)

例:交差級数の定理
 u_1\geq u_2\geq\cdots\geq u_n\geq\cdots\geq0,\ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}u_n }=0のとき



\begin{aligned}
u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n }
\end{aligned}


は収束級数である。実際、部分和S_p=\displaystyle{\sum_{n=1}^{p}(-1)^{n-1}u_n }\mathrm{Cauchy}列であることを示す。
 1\lt p\lt qに対してS_q-S_p=\displaystyle{\sum_{n=p+1}^{q}(-1)^{n-1}u_n }であるから、前述の定理において、v_n=(-1)^{n-1},\sigma_s=\displaystyle{\sum_{j=p+1}^{s}v_j},p+1\leq s\leq qとおくと、



\begin{aligned}
\displaystyle{\max\{\sigma_{p+1},\cdots,\sigma_q\}}&=1,\\
\displaystyle{\min\{\sigma_{p+1},\cdots,\sigma_q\}}&=-1
\end{aligned}


より、-u_{p+1}\leq S_q-S_p\leq u_{p+1}である。いま\displaystyle{\lim_{p\rightarrow\infty}u_p }=0であるから、



\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{p,q\rightarrow\infty}\left|S_p-S_q\right|}=0
\end{aligned}


を得る。以上から\left\{S_p\right\}\mathrm{Cauchy}列である。したがって\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n }は収束する。

 次の定理は\mathrm{Abel}変換の重要な応用例である。



\mathrm{Abel}の連続性定理 関数



\begin{aligned}
f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}
\end{aligned}


x=R\geq0で収束級数だとする。このとき0\leq x\leq Rで一様収束であり、したがってf(x)[0,R]上で定義された連続関数である。

(\because S_p(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{p}a_nx^n }とおくとき、



\begin{aligned}
{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\gt0\left(N\leq p\lt q\Rightarrow\left({}^{\forall}x\in[0,R]\left(-\varepsilon\lt S_q(x)-S_p(x)=\displaystyle{\sum_{n=p+1}^{q}a_nx^n }\lt\varepsilon
\right)\right)\right)\right)\end{aligned}


であることを示せばよい。
 f(x)x=Rで収束するから、任意の\varepsilon\gt0に対してある番号Np,q\gt Nならば



\begin{aligned}
\left|\displaystyle{\sum_{n=p+1}^{q} a_nR^n}\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}


を満たすものが存在する。そこでa_nx^n=a_nR^n\left(\displaystyle{\frac{x}{R}}\right)^nとして、\left(\displaystyle{\frac{x}{R}}\right)^n=u_n,v_n=a_nR^nとおく。すると0\leq\displaystyle{\frac{x}{R}}\leq1であるから、u_{p+1}\geq u_{p+2}\geq\cdots\geq u_q\geq0]である。したがって前述の定理より、



\begin{aligned}
\displaystyle{\left(\frac{x}{R}\right)^{p+1}\min_{s=p+1,\cdots,q}\left(\sum_{n=p+1}^{s}a_n R^n\right) }&\leq
\displaystyle{\sum_{n=p+1}^{q}a_nx^n}=\displaystyle{\sum_{n=p+1}^{q}u_nv_n}\\
&\leq\displaystyle{\left(\frac{x}{R}\right)^{p+1}\max_{s=p+1,\cdots,q}\left(\sum_{n=p+1}^{s}a_n R^n\right) }
\end{aligned}


を得る。したがって



\begin{aligned}
\displaystyle{-\left(\frac{x}{R}\right)^{p+1}}\varepsilon\leq\displaystyle{\sum_{n=p+1}^{q}a_nx^n}\leq\displaystyle{\left(\frac{x}{R}\right)^{p+1}}\varepsilon
\end{aligned}


である。さらに0\leq\displaystyle{\frac{x}{R}}\leq1\Rightarrow0\leq\left(\displaystyle{\frac{x}{R}}\right)^n\leq1であるから、



\begin{aligned}
&\ -\varepsilon\lt\displaystyle{\sum_{n=p+1}^{q}a_nx^n}=S_q(x)-S_p(x)\lt\varepsilon,\ x\in[0,R]
\Leftrightarrow&\ \left|S_q(x)-S_p(x)\right|\lt\varepsilon,\ x\in[0,R]
\end{aligned}


が成立する。これはx\in[0,R]において\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}が一様収束することに他ならない。 \blacksquare)

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