9. 関数列の収束
本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。
9.7 条件収束
級数が
である一方で
は収束するとき、
は条件収束するという。
これまでの議論は条件収束の概念を導入するとより強い命題を言うことができる。
Abel変換 2組の数列
を得る。
である。ここでである。以上から、
を得る。同様にして
を得る。 )
例:交差級数の定理
のとき
は収束級数である。実際、部分和
が
列であることを示す。
に対して
であるから、前述の定理において、
とおくと、
より、
である。いま
であるから、
を得る。以上から
は
列である。したがって
は収束する。
次の定理は変換の重要な応用例である。
(
であることを示せばよい。
は
で収束するから、任意の
に対してある番号
で
ならば
を満たすものが存在する。そこでとして、
とおく。すると
であるから、
\geq\cdots\geq u_q\geq0]である。したがって前述の定理より、
を得る。したがって
である。さらにであるから、
が成立する。これはにおいて
が一様収束することに他ならない。
)