やりなおしの数学・微分積分篇（48/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ

級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}u_n}$ が $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|}=\infty$ である一方で $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}u_n}$ は収束するとき、 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}u_n}$ は条件収束するという。

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今日のまとめ
9.　関数列の収束
- 9.7　条件収束
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9.　関数列の収束

　本節では関数の数列（関数列）に関する収束概念を扱う。

9.7　条件収束

　級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}u_n}$ が $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|}=\infty$ である一方で $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}u_n}$ は収束するとき、 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}u_n}$ は条件収束するという。
　これまでの議論は条件収束の概念を導入するとより強い命題を言うことができる。

条件収束の必要十分条件　級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}u_n}$ がどれほど項の順序を入れ替えて新しい級数を造っても収束級数であるための必要十分条件は、級数が絶対収束することである。このとき和の順序にかかわらず級数の和は一定になる

　次の定理は積分における部分積分に対応するものである。

Abel変換　2組の数列 $\{u_k\}_{k=1}^{n}, \{v_k\}_{k=1}^{n}$ があり、 $u_1\geq u_2\geq\cdots\geq u_n\geq0$ とする。 $\sigma_p=\displaystyle{\sum_{k=1}^{p}v_k},p=1,2,\cdots,n$ とすれば、

$\begin{aligned} \left(\displaystyle{\min_{p=1,2,\cdots,n}\sigma_p} \right)u_1\leq\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}u_i v_i}\leq\left(\displaystyle{\max_{p=1,2,\cdots,n}\sigma_p} \right)u_1 \end{aligned}$

を得る。

( $\because$ 　

$\begin{aligned} S=&\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}u_i v_i}\\ =&u_1\sigma_1+u_2(\sigma_2-\sigma_1)+\cdots\\ &+u_{n-1}(\sigma_{n-1}-\sigma_{n-2})+u_n(\sigma_n-\sigma_{n-1})\\ =&\sigma_1(u_1-u_2)+\cdots+\sigma_{n-1}(u_{n-1}-u_n)+\sigma_nu_n \end{aligned}$

である。ここで $u_1-u_2,u_2-u_3,\cdots,u_{n-1}-u_n\geq0,u_n\geq0$ である。以上から、

$\begin{aligned} S&\geq\min\{\sigma_1,\cdots,\sigma_n\}(u_1-u_2+u_2-u_3-\cdots+u_{n-1}-u_n+u_n)\\ &=\min\{\sigma_1,\cdots,\sigma_n\}u_1 \end{aligned}$

を得る。同様にして

$\begin{aligned} S&\leq\max\{\sigma_1,\cdots,\sigma_n\}(u_1-u_2+u_2-u_3-\cdots+u_{n-1}-u_n+u_n)\\ &=\max\{\sigma_1,\cdots,\sigma_n\}u_1 \end{aligned}$

を得る。　 $\blacksquare$ )

例：交差級数の定理
　 $u_1\geq u_2\geq\cdots\geq u_n\geq\cdots\geq0,\$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}u_n }=0$ のとき

$\begin{aligned} u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n } \end{aligned}$

は収束級数である。実際、部分和 $S_p=\displaystyle{\sum_{n=1}^{p}(-1)^{n-1}u_n }$ が $\mathrm{Cauchy}$ 列であることを示す。
　 $1\lt p\lt q$ に対して $S_q-S_p=\displaystyle{\sum_{n=p+1}^{q}(-1)^{n-1}u_n }$ であるから、前述の定理において、 $v_n=(-1)^{n-1},$ $\sigma_s=\displaystyle{\sum_{j=p+1}^{s}v_j},$ $p+1\leq s\leq q$ とおくと、

$\begin{aligned} \displaystyle{\max\{\sigma_{p+1},\cdots,\sigma_q\}}&=1,\\ \displaystyle{\min\{\sigma_{p+1},\cdots,\sigma_q\}}&=-1 \end{aligned}$

より、 $-u_{p+1}\leq S_q-S_p\leq u_{p+1}$ である。いま $\displaystyle{\lim_{p\rightarrow\infty}u_p }=0$ であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{p,q\rightarrow\infty}\left|S_p-S_q\right|}=0 \end{aligned}$

を得る。以上から $\left\{S_p\right\}$ は $\mathrm{Cauchy}$ 列である。したがって $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n }$ は収束する。

　次の定理は $\mathrm{Abel}$ 変換の重要な応用例である。

$\mathrm{Abel}$ の連続性定理　関数

$\begin{aligned} f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n} \end{aligned}$

が $x=R\geq0$ で収束級数だとする。このとき $0\leq x\leq R$ で一様収束であり、したがって $f(x)$ は $[0,R]$ 上で定義された連続関数である。

( $\because$ 　 $S_p(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{p}a_nx^n }$ とおくとき、

$\begin{aligned} {}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}N\gt0\left(N\leq p\lt q\Rightarrow\left({}^{\forall}x\in[0,R]\left(-\varepsilon\lt S_q(x)-S_p(x)=\displaystyle{\sum_{n=p+1}^{q}a_nx^n }\lt\varepsilon \right)\right)\right)\right)\end{aligned}$

であることを示せばよい。
　 $f(x)$ は $x=R$ で収束するから、任意の $\varepsilon\gt0$ に対してある番号 $N$ で $p,q\gt N$ ならば

$\begin{aligned} \left|\displaystyle{\sum_{n=p+1}^{q} a_nR^n}\right|\lt\varepsilon \end{aligned}$

を満たすものが存在する。そこで $a_nx^n=a_nR^n\left(\displaystyle{\frac{x}{R}}\right)^n$ として、 $\left(\displaystyle{\frac{x}{R}}\right)^n=u_n,$ $v_n=a_nR^n$ とおく。すると $0\leq\displaystyle{\frac{x}{R}}\leq1$ であるから、 $u_{p+1}\geq u_{p+2}$ \geq\cdots\geq u_q\geq0]である。したがって前述の定理より、

$\begin{aligned} \displaystyle{\left(\frac{x}{R}\right)^{p+1}\min_{s=p+1,\cdots,q}\left(\sum_{n=p+1}^{s}a_n R^n\right) }&\leq \displaystyle{\sum_{n=p+1}^{q}a_nx^n}=\displaystyle{\sum_{n=p+1}^{q}u_nv_n}\\ &\leq\displaystyle{\left(\frac{x}{R}\right)^{p+1}\max_{s=p+1,\cdots,q}\left(\sum_{n=p+1}^{s}a_n R^n\right) } \end{aligned}$

を得る。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{-\left(\frac{x}{R}\right)^{p+1}}\varepsilon\leq\displaystyle{\sum_{n=p+1}^{q}a_nx^n}\leq\displaystyle{\left(\frac{x}{R}\right)^{p+1}}\varepsilon \end{aligned}$

である。さらに $0\leq\displaystyle{\frac{x}{R}}\leq1\Rightarrow0\leq\left(\displaystyle{\frac{x}{R}}\right)^n\leq1$ であるから、

$\begin{aligned} &\ -\varepsilon\lt\displaystyle{\sum_{n=p+1}^{q}a_nx^n}=S_q(x)-S_p(x)\lt\varepsilon,\ x\in[0,R] \Leftrightarrow&\ \left|S_q(x)-S_p(x)\right|\lt\varepsilon,\ x\in[0,R] \end{aligned}$