やりなおしの数学・微分積分篇（44/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ

至るところで連続にもかかわらず微分できない関数が存在することを扱う。

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今日のまとめ
9.　関数列の収束
- 9.5　至るところで微分できない連続関数
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9.　関数列の収束

　本節では関数の数列（関数列）に関する収束概念を扱う。

9.5　至るところで微分できない連続関数

　関数

$\begin{aligned} f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}b^n\cos(a^n\pi x)}, |x|\lt\infty \end{aligned}$

を考える。
　もし $0\lt b\lt1$ ならば

$\begin{aligned} \displaystyle{\sup_{x\in\mathbb{R}}|b^n\cos(a^n\pi x)|}\leq b^n,\\ \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}b^n}=\displaystyle{\frac{1}{1-b}} \end{aligned}$

であるから、 $\mathbb{R}$ 上で一様収束する。また各 $\cos(a^n\pi x)$ は連続であるから、 $f(x)$ は連続関数である。
　ここで $a\gt3,a$ は奇数で、 $ab\gt1$ だとする。さらに $a$ がより大きいときを考える。 $h=h_m$ を考えるとして、微分商

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{f(x+h_m)-f(x)}{h_m}}=S_m+R_m \end{aligned}$

を考える。ここで

$\begin{aligned} S_m&=\displaystyle{\frac{1}{h_m}\sum_{n=0}^{m-1}b^n\{\cos a^n\pi(x+h_m)-\cos a^n\pi x\}},\\ R_m&=\displaystyle{\frac{1}{h_m}\sum_{n=m}^{\infty}b^n\{\cos a^n\pi(x+h_m)-\cos a^n\pi x\}} \end{aligned}$

とした。
　まず $S_m$ について、 $g(\theta)=\cos a^n\pi(x+\theta h_m)$ とおくと、平均値の定理よりある $\theta\in(0,1)$ により $g(1)-g(0)=g^{\prime}(\theta)$ と表される。したがって

$\begin{aligned} \cos a^n\pi(x+h_m)-\cos a^n\pi x=g^{\prime}(\theta)=-\{\sin a^n\pi(x+\theta h_m)\}a^n\pi h_m \end{aligned}$

である。これにより

$\begin{aligned} \left|S_m\right|&=\left|\displaystyle{\frac{1}{h_m}\sum_{n=0}^{m-1}b^n\{\cos a^n\pi(x+h_m)-\cos a^n\pi x\}}\right|\\ &\leq\displaystyle{\frac{1}{|h_m|}\sum_{n=0}^{m-1}b^n|\cos a^n\pi(x+h_m)-\cos a^n\pi x|}\\ &\leq\displaystyle{\frac{1}{|h_m|}\sum_{n=0}^{m-1}\sum_{n=0}^{m-1}b^n|a^n\pi h_m|}\\ &=\displaystyle{\sum_{n=0}^{m-1}a^n b^n \pi}\\ &=\displaystyle{\frac{(ab)^m-1}{ab-1}\pi} \end{aligned}$

が成り立つ。
　次に $R_m$ を評価する。 $a^mx=\alpha_m+\xi_m,-\displaystyle{\frac{1}{2}}\leq\xi_m\leq\displaystyle{\frac{1}{2}}$ とおく。ここで $\alpha_m$ は整数とする。これに応じて増分 $h_m$ を

$\begin{aligned} h_m=\displaystyle{\frac{e_m-\xi_m}{a^m}},e_m=\pm1 \end{aligned}$

となるように選ぶ。ここで $h_m,e_m$ の符号が一致している。
　このとき

$\begin{aligned} \left|h_m\right|\leq\displaystyle{\frac{|e_m|+|\xi_m|}{a^m}}=\displaystyle{\frac{1+\displaystyle{\frac{1}{2}}}{a^m}}=\displaystyle{\frac{3}{2}\frac{1}{a^m}} \end{aligned}$

が成り立ち、 $|h_m|\rightarrow0(m\rightarrow\infty)$ が成り立つ。
　一方で $a^n\pi x=a^{n-m}a^m\pi x=a^{n-m}\pi(\alpha_mP\xi_m)$ より加法定理を用いて

$\begin{aligned} \cos(a^n\pi x)&=\cos a^{n-m}\pi(\alpha_m+\xi_m)\\ &=\cos a^{n-m}\alpha_m\cos a^{n-m}\pi\xi_m-\sin a^{n-m}\alpha_m\sin a^{n-m}\pi\xi_m \end{aligned}$

である。
　いま $a$ は奇数であるから、 $a^{n-m}$ も基数で $a^{n-m}\alpha_m$ は整数である。したがって $\sin a^{n-m}\pi\alpha_m=0$ が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} \cos(a^n\pi x)=\cos a^{n-m}\pi\alpha_m\cos a^{n-m}\pi\xi_m \end{aligned}$

が成立する。一方で

$\begin{aligned} a^n\pi(x+h_m)&=a^{n-m}\pi(a^mx+a^mh_m)\\ &=a^{n-m}\pi(\alpha_m+\xi_m+e_m-\xi_m)\\ &=a^{n-m}\pi(\alpha_m+e_m) \end{aligned}$

である。 $e_m=\pm1$ より $a^{n-m}e_m$ は奇数であるから、

$\begin{aligned} \cos a^n\pi(x+h_m)&=\cos(a^{n-m}\pi\alpha_m+a^{n-m}\pi e_m)\\ &=\cos a^{n-m}\pi\alpha_m\cos a^{n-m}\pi e_m-\sin a^{n-m}\pi\alpha_m\sin a^{n-m}\pi e_m\\ &=-\cos a^{n-m}\pi\alpha_m \end{aligned}$

が成り立つ。以上から、

$\begin{aligned} R_m&=\displaystyle{\frac{1}{h_m}\sum_{n=m}^{\infty}b^n\{\cos a^n\pi(x+h_m)-\cos a^n\pi x\}}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{h_m}\sum_{n=m}^{\infty}b^n\{-\cos a^n\pi\alpha_m-\cos a^{n-m}\pi\alpha_m\cos a^{n-m}\pi\xi_m\}}\\ &=\displaystyle{\frac{a^m}{e_m-\xi_m}(-\cos a^{n-m}\pi\alpha_m)\sum_{n=m}^{\infty}b^n(1+\cos a^{n-m}\pi\xi_m)} \end{aligned}$

である。
　いま $\alpha_m$ が偶数ならば $a^{n-m}\alpha_m$ も偶数である。したがって $\cos a^{n-m}\pi\alpha_m=1$ である。このときは $e_m=-1$ とする。このようにすることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{a^m}{e_m-\xi_m}}(-\cos a^{n-m}\pi\alpha_m)=\displaystyle{\frac{a^m}{1+\xi_m}} \end{aligned}$

が成り立つ。また $\alpha_m$ が奇数ならば $a^{n-m}\alpha_m$ も奇数である。したがって $\cos a^{n-m}\pi\alpha_m=-1$ である。このときは $e_m=1$ に取る。こうして

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{a^m}{e_m-\xi_m}}(-\cos a^{n-m}\pi\alpha_m)=\displaystyle{\frac{a^m}{1-\xi_m}} \end{aligned}$

である。
　いま $1+\cos a^{n-m}\pi\xi_m\geq0,\displaystyle{\frac{a^m}{1\pm\xi_m}}\gt0$ であるから

$\begin{aligned} R_m=\displaystyle{\frac{a^m}{1\pm\xi_m}\sum_{n=m}^{\infty}b^n(1+\cos a^{n-m}\pi\xi_m)}\geq\displaystyle{\frac{a^m}{1\pm\xi_m}b^m} \end{aligned}$

である。
ここで $1\pm\xi_m\leq1+\displaystyle{\frac{1}{2}}=\displaystyle{\frac{3}{2}}$ であるから $R_m\geq\displaystyle{\frac{3}{2}(ab)^m}$ である。
　こうして

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{f(x+h_m)-f(x)}{h_m}}&=S_m+R_m\geq R_m-|S_m|\\ &\geq\displaystyle{\frac{2}{3}(ab)^m}-\displaystyle{\frac{(ab)^m-1}{ab-1}}\pi\\ &\geq\displaystyle{\frac{2}{3}(ab)^m}-\displaystyle{\frac{\pi}{ab-1}}(ab)^m\\ &=\left(\displaystyle{\frac{2}{3}}-\displaystyle{\frac{\pi}{ab-1}}\right)(ab)^m \end{aligned}$

である。いま

$\begin{aligned} &\displaystyle{\frac{2}{3}}-\displaystyle{\frac{\pi}{ab-1}}\gt0\\ \Leftrightarrow&\displaystyle{\frac{2}{3}}\gt\displaystyle{\frac{\pi}{ab-1}}\\ \Leftrightarrow&2ab-2\gt3\pi\\ \Leftrightarrow&a\gt\displaystyle{\frac{3\pi+2}{2b}} \end{aligned}$