9. 関数列の収束
本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。
9.5 至るところで微分できない連続関数
関数
を考える。
もしならば
であるから、上で一様収束する。また各
は連続であるから、
は連続関数である。
ここでは奇数で、
だとする。さらに
がより大きいときを考える。
を考えるとして、微分商
を考える。ここで
とした。
まずについて、
とおくと、平均値の定理よりある
により
と表される。したがって
である。これにより
が成り立つ。
次にを評価する。
とおく。ここで
は整数とする。これに応じて増分
を
となるように選ぶ。ここでの符号が一致している。
このとき
が成り立ち、が成り立つ。
一方でより加法定理を用いて
である。
いまは奇数であるから、
も基数で
は整数である。したがって
が成り立つ。したがって
が成立する。一方で
である。より
は奇数であるから、
が成り立つ。以上から、
である。
いまが偶数ならば
も偶数である。したがって
である。このときは
とする。このようにすることで
が成り立つ。またが奇数ならば
も奇数である。したがって
である。このときは
に取る。こうして
である。
いまであるから
である。
ここでであるから
である。
こうして
である。いま
に取れば、でもあるから、
である。一方でが
で微分可能ならば、
であるから
かつでなくてはならず、これは矛盾である。こうして
は
において微分可能でない。