Rについて
をベースに学んでいく。
今回は多次元尺度法（PP.97-105）を扱う。
8. 多次元尺度法
多次元尺度法は、個体間の親近性データを2次元または3次元空間に配置する方法である。データから“距離（ないし類似度）”を計測し、それに基づき座標値を求め、視覚的にその相対的関係を考察する。類似したものは近方に、そうでないものは遠方に配置される。
8.1 距離
個の個体に
個の項目を有するデータ
があるとする。データが量的であれば何らかの距離の定義に基づき距離行列
を求めることができる。ここで
は個体
と個体
の距離を表す。
数学的に集合上の距離
は以下を満たすような関数を指す：
- 非負性：
- 同一律：
- 対称律：
- 三角不等式：
対称律から、距離行列の上三角部分は無視しても問題ない。
距離はさまざまなものを定義し得る。とおいて、いくつかの距離を紹介する。
8.1.1 Euclid距離
8.1.2 Manhattan距離
8.1.3 Minkowsky距離
8.1.4 最大距離
これは距離とも呼ばれるものである。
8.1.5 Canberra距離
8.1.5 Mahalanobis距離
同じ分布に従う2つの確率ベクトルの分散共分散行列が
であるとき
で定義する。
なおを1つの集団と考え、これらの平均ベクトルを
また分散共分散行列を
とおくとき、
とその集団との
距離は
で定義する。
8.2 類似度
距離と逆の概念として類似度がある。類似度の場合、値が大きいほど個体間の関連性が強いと判断する。これにもいくつかの定義があり得る。
8.3 計量MDSのケーススタディ
関数を用いて実証してみる。距離行列
から以下の変換
によりを計算し、その固有ベクトルを点の座標とする方式である。
#################### ### 多次元尺度法 ### #################### library(ggplot2) library(MASS) # data(eurodist) eur_cmd <- data.frame(x = cmdscale(eurodist)[,1], y = cmdscale(eurodist)[,2], loc = row.names(cmdscale(eurodist))) row.names(eur_cmd) <- NULL ggplot(eur_cmd,aes(x = x, y = y)) + geom_point() + geom_text(aes(label = loc), hjust = 0.5, vjust = -0.5) # 推定値の当てはまりの良さは相関係数で測る dhat <- dist(eur_cmd) cor(eurodist,dhat)^2 # irisでやってみる data(iris) iris_dist <- dist(iris[-5], method = "euclid") iris_cmd <- data.frame(x = cmdscale(iris_dist)[,1],y = cmdscale(iris_dist)[,2], name = factor(c(rep("S",50),rep("C",50),rep("V",50)))) ggplot(iris_cmd,aes(x = x, y = y, color = name)) + geom_point() + theme_light() + theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5),legend.position = "none", legend.title=element_text(size = 10), legend.text=element_text(size = 10))
