9. 関数列の収束
本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。
9.3 極限関数の微分・積分
極限を取る操作と微分、積分の可換性について議論する。すなわちを
で連続な関数列で
を満たすものとするとき、
が成立するかを扱う。
まず積分と極限操作は、以下の例からも明らかなように、自明には成り立たない。
例:
まずにおいて
に注意すれば
であり、
であるから、
である。
他方でであるから、
を得る。以上から
である。
これに対して、以下の定理が成り立つ。
(が成り立つ。の一様連続性から、
のとき
である。したがって
が成り立ち、
である。 )
次に微分と極限操作も、以下の例からも明らかなように、自明には成り立たない。
例:
であるから、
は
において
に一様収束する。
他方でである。
であるから、
である。
これに対して、以下の定理が成り立つ。
(とおき、とおくと
が成り立つ。したがって
が成立する。
いまは
上において
に一様収束するから
である。仮定からであるから、
が成り立つ。これによりは
上で
に一様収束する。他方で各
に対して
のとき
であるから
を満たす。したがって
は
上で
に一様収束し、更に
が成立する。は
上で連続であるから、
は
上で微分可能かつ
である。また
は
上で連続であるから、
は
上で
級である。
)