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一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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やりなおしの数学・微分積分篇(50/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 関数がf_n(x)=a_n(x-x_0)^nであるような関数項級数\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x) }を整数級という。
  • 整数級
    \begin{aligned}\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots\end{aligned}
    x=x_0\neq0で収束するならば、|x|\leq|x_0|であるようなすべてのx\in\mathbb{R}に対して絶対収束する。更に0\lt r\lt|x_0|であるような任意の実数rについて、[-r,r]でも整数級は一様収束する。

9. 関数列の収束

 本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。

9.8 整数級

 


整数級 関数がf_n(x)=a_n(x-x_0)^nであるような関数項級数\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x) }を整数級という。


 x-x_0=Xとおけば\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n }と表されるから、



\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+\a_nx^n+\cdots
\end{aligned}


を考えれば十分である。



整数級の収束条件 整数級


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots
\end{aligned}

x=x_0\neq0で収束するならば、|x|\leq|x_0|であるようなすべてのx\in\mathbb{R}に対して絶対収束する。更に0\lt r\lt|x_0|であるような任意の実数rについて、[-r,r]でも整数級は一様収束する。またx=x_0\neq0において整数級が発散するならば|x|\gt|x_0|であるようなすべてのxについて整数級は発散する。

(\because 整数級


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots
\end{aligned}

x=x_0で収束すればa_nx_0^n\rightarrow0(n\rightarrow\infty)であるから、



\begin{aligned}
{}^{\exists}M\gt0\ \mathrm{s.t.}\ \left|a_nx_0^n\right|\leq M(n\geq0)
\end{aligned}


が成り立つ。そのため|x|\lt|x_0|について



\begin{aligned}
\left|a_nx^n\right|=\left|a_nx_0^n\right|\left|\displaystyle{\frac{x}{x_0}}\right|^n\leq M\left|\displaystyle{\frac{x}{x_0}}\right|^n
\end{aligned}


が成立する。そこで0\lt r\lt|x_0|であるようなrについてx\in[-r,r]とすれば\left|\displaystyle{\frac{x}{x_0}}\right|\leq\displaystyle{\frac{r}{|x|}}\lt1であるから



\begin{aligned}
\displaystyle{\sup_{x\in[-r,r]}\left|a_nx^n\right|}\leq M\left(\displaystyle{\frac{r}{|x_0|}}\right)^n\land\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}M\left(\displaystyle{\frac{r}{|x_0|}}\right)^n}=\displaystyle{\frac{M}{1-\displaystyle{\frac{r}{|x_0|}}}}\lt\infty
\end{aligned}


であるから、\mathrm{Weierstrauss}の優級数定理により\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_nx^n\right| }[-r,r]で一様収束する。したがって整数級


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots
\end{aligned}

[-r,r]で一様収束する。特にrは任意であったから|x|\lt|x_0|であるようなすべてのxについて絶対収束する。
 次にx=x_0で発散していると仮定する。もしx_1|x_1|\gt|x_0|かつx=x_1で整数級が収束するとすれば上で示したことから、|x|\lt|x_1|であるようなすべてのxで整数級は収束しなくてはならないから、x=x_0で収束しなければならなくなり、これは仮定に矛盾する。したがって|x|\gt|x_0|であるようなすべてのxで整数級は発散する。 \blacksquare)

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