やりなおしの数学・微分積分篇（50/X）

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ

関数が $f_n(x)=a_n(x-x_0)^n$ であるような関数項級数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x) }$ を整数級という。

整数級
$\begin{aligned}\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots\end{aligned}$
が $x=x_0\neq0$ で収束するならば、 $|x|\leq|x_0|$ であるようなすべての $x\in\mathbb{R}$ に対して絶対収束する。更に $0\lt r\lt|x_0|$ であるような任意の実数 $r$ について、 $[-r,r]$ でも整数級は一様収束する。

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今日のまとめ
9.　関数列の収束
- 9.8　整数級
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9.　関数列の収束

　本節では関数の数列（関数列）に関する収束概念を扱う。

9.8　整数級

整数級　関数が $f_n(x)=a_n(x-x_0)^n$ であるような関数項級数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x) }$ を整数級という。

　 $x-x_0=X$ とおけば $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n }$ と表されるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+\a_nx^n+\cdots \end{aligned}$

を考えれば十分である。

整数級の収束条件　整数級

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots \end{aligned}$

が $x=x_0\neq0$ で収束するならば、 $|x|\leq|x_0|$ であるようなすべての $x\in\mathbb{R}$ に対して絶対収束する。更に $0\lt r\lt|x_0|$ であるような任意の実数 $r$ について、 $[-r,r]$ でも整数級は一様収束する。また $x=x_0\neq0$ において整数級が発散するならば $|x|\gt|x_0|$ であるようなすべての $x$ について整数級は発散する。

( $\because$ 　整数級

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots \end{aligned}$

が $x=x_0$ で収束すれば $a_nx_0^n\rightarrow0(n\rightarrow\infty)$ であるから、

$\begin{aligned} {}^{\exists}M\gt0\ \mathrm{s.t.}\ \left|a_nx_0^n\right|\leq M(n\geq0) \end{aligned}$

が成り立つ。そのため $|x|\lt|x_0|$ について

$\begin{aligned} \left|a_nx^n\right|=\left|a_nx_0^n\right|\left|\displaystyle{\frac{x}{x_0}}\right|^n\leq M\left|\displaystyle{\frac{x}{x_0}}\right|^n \end{aligned}$

が成立する。そこで $0\lt r\lt|x_0|$ であるような $r$ について $x\in[-r,r]$ とすれば $\left|\displaystyle{\frac{x}{x_0}}\right|\leq\displaystyle{\frac{r}{|x|}}\lt1$ であるから

$\begin{aligned} \displaystyle{\sup_{x\in[-r,r]}\left|a_nx^n\right|}\leq M\left(\displaystyle{\frac{r}{|x_0|}}\right)^n\land\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}M\left(\displaystyle{\frac{r}{|x_0|}}\right)^n}=\displaystyle{\frac{M}{1-\displaystyle{\frac{r}{|x_0|}}}}\lt\infty \end{aligned}$

であるから、 $\mathrm{Weierstrauss}$ の優級数定理により $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_nx^n\right| }$ は $[-r,r]$ で一様収束する。したがって整数級

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots \end{aligned}$

も $[-r,r]$ で一様収束する。特に $r$ は任意であったから $|x|\lt|x_0|$ であるようなすべての $x$ について絶対収束する。
　次に $x=x_0$ で発散していると仮定する。もし $x_1$ を $|x_1|\gt|x_0|$ かつ $x=x_1$ で整数級が収束するとすれば上で示したことから、 $|x|\lt|x_1|$ であるようなすべての $x$ で整数級は収束しなくてはならないから、 $x=x_0$ で収束しなければならなくなり、これは仮定に矛盾する。したがって $|x|\gt|x_0|$ であるようなすべての $x$ で整数級は発散する。　 $\blacksquare$ )

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9. 関数列の収束

9.8 整数級

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9.8　整数級