今日のまとめ
- 関数が
であるような関数項級数
を整数級という。
- 整数級
がで収束するならば、
であるようなすべての
に対して絶対収束する。更に
であるような任意の実数
について、
でも整数級は一様収束する。
9. 関数列の収束
本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。
9.8 整数級
とおけば
と表されるから、
を考えれば十分である。
整数級の収束条件 整数級
がで収束するならば、
であるようなすべての
に対して絶対収束する。更に
であるような任意の実数
について、
でも整数級は一様収束する。また
において整数級が発散するならば
であるようなすべての
について整数級は発散する。
がで収束すれば
であるから、
が成り立つ。そのためについて
が成立する。そこでであるような
について
とすれば
であるから
であるから、の優級数定理により
は
で一様収束する。したがって整数級
もで一様収束する。特に
は任意であったから
であるようなすべての
について絶対収束する。
次にで発散していると仮定する。もし
を
かつ
で整数級が収束するとすれば上で示したことから、
であるようなすべての
で整数級は収束しなくてはならないから、
で収束しなければならなくなり、これは仮定に矛盾する。したがって
であるようなすべての
で整数級は発散する。
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