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やりなおしの数学・微分積分篇(035/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • \begin{aligned}\displaystyle{\iiint_{\Omega}}f(x,y,z)dxdydz&=\displaystyle{\iint_{D}\left(\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right)}dxdy\\&=\displaystyle{\int_{a}^{b}dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}dy\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)}f(x,y,z)}dz\end{aligned}
    が成り立つ。

8. 多変数関数の積分

 

8.7 n重積分と逐次積分

 n積分の逐次積分も二重積分の場合と同様の定理を得る。


n次元逐次積分 f(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\Omega=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\cdots\times[a_,b_n]においてn積分可能で、任意の(x_2,\cdots,x_n)\in\Omega^{\prime}=[tex:[a_2,b_2]\times\cdots\times[a_,b_n]を固定するごとにx_1の関数としてf(x_1,x_2,\cdots,x_n)[a_1,b_1]上で積分可能ならば、積分

\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{a_1}^{b_1}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}dx_1
\end{aligned}

(x_2,\cdots,x_n)の関数として\Omega^{\prime}上でn-1積分可能であり、以下が成立する:


\begin{aligned}
&\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)dx_1 dx_2\cdots dx_n}\\
=&\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega^{\prime}}\left(\int_{a_1}^{b_1}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)dx_1\right)dx_2\cdots dx_n}
\end{aligned}

 またf(x_1,\cdots,x_n)\Omega=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]上で連続ならば


\begin{aligned}
&\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\\
=&\displaystyle{\int_{a_n}^{b_n}\left(\int_{a_{n-1}}^{b_{n-1}}\left(\cdots\left(\int_{a_1}^{b_1}f(x_1,\cdots,x_n)dx_1\right)\cdots\right)dx_{n-1}\right)}dx_n
\end{aligned}

が成り立ち、積分の順序は任意に交換できる。



変数変換 \varphi_1(x),\varphi_2(x)[a,b]上で連続で\varphi_1(x)\lt\varphi_2(x),a\lt x\lt bとする。D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x)\}とおく。また\psi_1(x,y),\psi_2(x,y)D上で定義された連続関数で{}^{\forall}(x,y)\in D(\psi_1(x,y)\lt\psi_2(x,y))が成り立つとする。\Omega=\{(x,y,z)|(x,y)\in D,\psi_1(x,y)\leq z\leq \psi_2(x,y)\}とおく。このとき\Omega上の連続関数f(x,y,z)に対して

\begin{aligned}
\displaystyle{\iiint_{\Omega}}f(x,y,z)dxdydz&=\displaystyle{\iint_{D}\left(\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right)}dxdy\\
&=\displaystyle{\int_{a}^{b}dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}dy\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)}f(x,y,z)}dz
\end{aligned}

が成り立つ。

8.7.1 n次元図形の体積

 \Omega\subset\mathbb{R}^nの体積確定な有界集合だとする。このとき\Omegaの体積|\Omega|


\begin{aligned}
\left|\Omega\right|=\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}dx_1\cdots dx_n}
\end{aligned}

で与えられる。


例:楕円体の体積
 楕円体


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}+\displaystyle{\frac{y^2}{b^2}}+\displaystyle{\frac{z^2}{c^2}}=1
\end{aligned}

の体積Vを計算する。
 \Omega=\left\{(x,y,z\mathbb{R}^3|x\geq0,y\geq0,z\geq0,\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}+\displaystyle{\frac{y^2}{b^2}}+\displaystyle{\frac{z^2}{c^2}}\leq1)\right\}とおくと、


\begin{aligned}
V=\displaystyle{8\iiint_{\Omega}}dxdydz
\end{aligned}

である。
 \Omegaz=0への射影はD=\left\{(x,y)|x\geq0,x\geq0,\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}+\displaystyle{\frac{y^2}{b^2}}\leq1\right\}である。


\begin{aligned}
\Omega=\left\{(x,y,z)|(x,y)\in D,0\leq z\leq c\sqrt{1-\left(\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}+\displaystyle{\frac{y^2}{b^2}}\right)}\right\}
\end{aligned}

であるから、


\begin{aligned}
V&=8\displaystyle{\iint_{D}\left(\int_{0}^{c\sqrt{1-\left(\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}+\displaystyle{\frac{y^2}{b^2}}\right)}}dz\right)dxdy}\\
&=8c\displaystyle{\iint_{D}\sqrt{1-\left(\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}\right)}dxdy}
\end{aligned}

を得る。D=\left\{(x,y)|x\geq0,x\geq0,\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}+\displaystyle{\frac{y^2}{b^2}}\leq1\right\}であるから


\begin{aligned}
V=8c\displaystyle{\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}\sqrt{1-\left(\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}\right)}dy}
\end{aligned}

である。ここでy=b\sqrt{1-\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}}\sin\thetaとおくと、dy=b\sqrt{1-\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}}\cos\theta d\thetaであるから


\begin{aligned}
V&=8bc\displaystyle{\int_{0}^{a}\left(1-\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}\right)dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta}\\
&==8bc\left[x-\displaystyle{\frac{x^3}{3a^2}}\right]_{0}^{a}\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos 2\theta+1}{2}}d\theta\\
&=\displaystyle{\frac{4}{3}}abc\pi
\end{aligned}


例:回転体の体積
 f(x)a\leq x\leq bで連続かつf(x)\geq0とする。曲線y=f(x),a\leq x\leq bx軸の周りに回転して得られる曲面および2つの平面x=a,x=bで囲まれた回転体の体積Vは、\Omega=\{(x,y,z)|a\leq x\leq b,y^2+z^2\leq {f(x)}^2\}xでの切り口の図形であり、\Omega=\{(x,y,z)|a\leq x\leq b,(y,z)\in D(x)\}と表せる。こうして\Omegaの体積V


\begin{aligned}
V=\displaystyle{\iiint_{\Omega}}dxdydz=\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(\iint_{D(x)}dydz\right)}dx=\displaystyle{\int_{a}^{b}|D(x)|}dx
\end{aligned}

である。ここで|D(x)|D(x)の面積である。いまD(x)は半径f(x)の円よりその面積は|D(x)|=\pi{f(x)}^2である。したがって


\begin{aligned}
V=\pi\displaystyle{\int_{a}^{b}{f(x)}^2}dx
\end{aligned}

を得た。

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