やりなおしの数学・微分積分篇（36/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
8.　多変数関数の積分
- 8.7　n重積分と逐次積分
  - 8.7.1　n次元図形の体積
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今日のまとめ

$\begin{aligned}\displaystyle{\iiint_{\Omega}}f(x,y,z)dxdydz&=\displaystyle{\iint_{D}\left(\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right)}dxdy\\&=\displaystyle{\int_{a}^{b}dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}dy\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)}f(x,y,z)}dz\end{aligned}$
が成り立つ。

8.　多変数関数の積分

8.7　n重積分と逐次積分

　 $n$ 重積分の逐次積分も二重積分の場合と同様の定理を得る。

$n$ 次元逐次積分　 $f(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$ が $\Omega=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\cdots\times[a_,b_n]$ において $n$ 重積分可能で、任意の $(x_2,\cdots,x_n)\in\Omega^{\prime}=[tex:[a_2,b_2]\times\cdots\times[a_,b_n]$ を固定するごとに $x_1$ の関数として $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ が $[a_1,b_1]$ 上で積分可能ならば、積分

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{a_1}^{b_1}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}dx_1 \end{aligned}$

は $(x_2,\cdots,x_n)$ の関数として $\Omega^{\prime}$ 上で $n-1$ 重積分可能であり、以下が成立する：

$\begin{aligned} &\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)dx_1 dx_2\cdots dx_n}\\ =&\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega^{\prime}}\left(\int_{a_1}^{b_1}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)dx_1\right)dx_2\cdots dx_n} \end{aligned}$

　また $f(x_1,\cdots,x_n)$ が $\Omega=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ 上で連続ならば

$\begin{aligned} &\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\\ =&\displaystyle{\int_{a_n}^{b_n}\left(\int_{a_{n-1}}^{b_{n-1}}\left(\cdots\left(\int_{a_1}^{b_1}f(x_1,\cdots,x_n)dx_1\right)\cdots\right)dx_{n-1}\right)}dx_n \end{aligned}$

が成り立ち、積分の順序は任意に交換できる。

変数変換　 $\varphi_1(x),\varphi_2(x)$ は $[a,b]$ 上で連続で $\varphi_1(x)\lt\varphi_2(x),a\lt x\lt b$ とする。 $D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x)\}$ とおく。また $\psi_1(x,y),\psi_2(x,y)$ を $D$ 上で定義された連続関数で ${}^{\forall}(x,y)\in D(\psi_1(x,y)\lt\psi_2(x,y))$ が成り立つとする。 $\Omega=\{(x,y,z)|(x,y)\in D,\psi_1(x,y)\leq z\leq \psi_2(x,y)\}$ とおく。このとき $\Omega$ 上の連続関数 $f(x,y,z)$ に対して

$\begin{aligned} \displaystyle{\iiint_{\Omega}}f(x,y,z)dxdydz&=\displaystyle{\iint_{D}\left(\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right)}dxdy\\ &=\displaystyle{\int_{a}^{b}dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}dy\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)}f(x,y,z)}dz \end{aligned}$

が成り立つ。

8.7.1　n次元図形の体積

　 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ の体積確定な有界集合だとする。このとき $\Omega$ の体積 $|\Omega|$ は

$\begin{aligned} \left|\Omega\right|=\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}dx_1\cdots dx_n} \end{aligned}$

で与えられる。

例：楕円体の体積
　楕円体

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}+\displaystyle{\frac{y^2}{b^2}}+\displaystyle{\frac{z^2}{c^2}}=1 \end{aligned}$

の体積 $V$ を計算する。
　 $\Omega=\left\{(x,y,z\mathbb{R}^3|x\geq0,y\geq0,z\geq0,\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}+\displaystyle{\frac{y^2}{b^2}}+\displaystyle{\frac{z^2}{c^2}}\leq1)\right\}$ とおくと、

$\begin{aligned} V=\displaystyle{8\iiint_{\Omega}}dxdydz \end{aligned}$

である。
　 $\Omega$ の $z=0$ への射影は $D=\left\{(x,y)|x\geq0,x\geq0,\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}+\displaystyle{\frac{y^2}{b^2}}\leq1\right\}$ である。

$\begin{aligned} \Omega=\left\{(x,y,z)|(x,y)\in D,0\leq z\leq c\sqrt{1-\left(\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}+\displaystyle{\frac{y^2}{b^2}}\right)}\right\} \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} V&=8\displaystyle{\iint_{D}\left(\int_{0}^{c\sqrt{1-\left(\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}+\displaystyle{\frac{y^2}{b^2}}\right)}}dz\right)dxdy}\\ &=8c\displaystyle{\iint_{D}\sqrt{1-\left(\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}\right)}dxdy} \end{aligned}$

を得る。 $D=\left\{(x,y)|x\geq0,x\geq0,\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}+\displaystyle{\frac{y^2}{b^2}}\leq1\right\}$ であるから

$\begin{aligned} V=8c\displaystyle{\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}\sqrt{1-\left(\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}\right)}dy} \end{aligned}$

である。ここで $y=b\sqrt{1-\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}}\sin\theta$ とおくと、 $dy=b\sqrt{1-\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}}\cos\theta d\theta$ であるから

$\begin{aligned} V&=8bc\displaystyle{\int_{0}^{a}\left(1-\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}}\right)dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta}\\ &==8bc\left[x-\displaystyle{\frac{x^3}{3a^2}}\right]_{0}^{a}\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos 2\theta+1}{2}}d\theta\\ &=\displaystyle{\frac{4}{3}}abc\pi \end{aligned}$

例：回転体の体積
　 $f(x)$ が $a\leq x\leq b$ で連続かつ $f(x)\geq0$ とする。曲線 $y=f(x),a\leq x\leq b$ を $x$ 軸の周りに回転して得られる曲面および2つの平面 $x=a,x=b$ で囲まれた回転体の体積 $V$ は、 $\Omega=\{(x,y,z)|a\leq x\leq b,y^2+z^2\leq {f(x)}^2\}$ が $x$ での切り口の図形であり、 $\Omega=\{(x,y,z)|a\leq x\leq b,(y,z)\in D(x)\}$ と表せる。こうして $\Omega$ の体積 $V$ は

$\begin{aligned} V=\displaystyle{\iiint_{\Omega}}dxdydz=\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(\iint_{D(x)}dydz\right)}dx=\displaystyle{\int_{a}^{b}|D(x)|}dx \end{aligned}$