やりなおしの数学・微分積分篇（35/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
8.　多変数関数の積分
- 8.6　逐次積分
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今日のまとめ

関数 $f$ が $[a,b]\times[c,d]$ で二重積分可能で、任意の $y\in[c,d]$ を固定したとき $x$ の関数 $f^{y}(x)=f(x,y)$ が $[a,b]$ 上で積分可能ならば、
$\begin{aligned}F(y)=\displaystyle{\int_a^b f^{y}(x)}dx=\displaystyle{\int_a^b f(x,y)}dx\end{aligned}$
は $[c,d]$ 上の $y$ の関数として積分可能であり
$\begin{aligned}\displaystyle{\iint_{\Omega} f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\int_c^d F(y)dy}=\displaystyle{\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)dx\right)dy}\end{aligned}$
が成立する。

8.　多変数関数の積分

8.6　逐次積分

　二重積分は一変数の積分を繰り返すことで求められる。

二重積分と逐次積分　関数 $f$ が $[a,b]\times[c,d]$ で二重積分可能で、任意の $y\in[c,d]$ を固定したとき $x$ の関数 $f^{y}(x)=f(x,y)$ が $[a,b]$ 上で積分可能ならば、

$\begin{aligned} F(y)=\displaystyle{\int_a^b f^{y}(x)}dx=\displaystyle{\int_a^b f(x,y)}dx \end{aligned}$

は $[c,d]$ 上の $y$ の関数として積分可能であり

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\Omega} f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\int_c^d F(y)dy}= \displaystyle{\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)dx\right)dy} \end{aligned}$

が成立する。

( $\because$ 　 $\Omega$ の分割 $\Delta:a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_m=b,c=y_0\lt y_1\lt\cdots\lt y_n=d$ を任意に取る。 $x$ 軸の分割 $a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_m=b$ を $\Delta_1$ 、 $y$ 軸の分割 $c=y_0\lt y_1\lt\cdots\lt y_n=d$ を $\Delta_2$ とおく。

$\begin{aligned} s_{\Delta}(f)&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})}\\ &=\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m}m_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})\right)(y_j-y_{j-1})} \end{aligned}$

を考える。ここで $m_{ij}(f)=\displaystyle{\inf\{f(x,y)|(x,y)\in[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]\}}$ である。一方で

$\begin{aligned} m_i(f^{y})=\displaystyle{\inf\{f^y(x)=f(x,y)|x\in[x_{i-1},x_i]\}} \end{aligned}$

とおくと $y\in[y_{j-1},y_j]$ のとき $m_{ij}(f)\leq m_i(f^y)$ であるから

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{m}m_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})}&\leq\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}m_i(f^y)(x_i-x_{i-1})}\\ &=s_{\Delta_1}(f^y)\leq \displaystyle{\underline{\int}_a^b f^y(x)}dx=F(y) \end{aligned}$

が成り立つ。最後の等式では $f^y(x)$ が $[a,b]$ 上で積分可能なので $F(y)=\displaystyle{\int_a^b f^y(x)}dx=\displaystyle{\underline{\int}_a^b f^y(x)}dx$ を用いた。 $y\in[y_{j-1},y_j]$ について下限を取ることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}m_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})}\leq\displaystyle{\inf\{F(y)|y\in[y_{j-1},y_j]\}}=m_j(F) \end{aligned}$

を得る。以上から

$\begin{aligned} s_{\Delta}(f)\leq \displaystyle{\sum_{j=1}^{n}m_j(F)(y_j-y_{j-1})}=s_{\Delta_2}(F)\leq \displaystyle{\underline{\int}_c^d F(y)}dy \end{aligned}$

を得た。こうして左辺で $\Delta$ についての上限を取ることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy\leq\displaystyle{\underline{\int}_c^d F(y)dy} \end{aligned}$

である。
　次に

$\begin{aligned} S_{\Delta}(f)&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})}(y_j-y_{j-1})\\ &=\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m}M_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})\right)}(y_j-y_{j-1}) \end{aligned}$

を考える。ここで $M_{ij}(f)=\displaystyle{\sup\{f(x,y)|(x,y)\in[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]\}}$ である。一方で $M_i(f^y)=\displaystyle{\sup\{f^y(x)=f(x,y)|x\in[x_{i-1},x_i]\}}$ とおくと $y\in[y_{j-1},y_j]$ のとき $M_{ij}(f)\geq M_i(f^y)$ であるから

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{m}M_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}M_i(f^y)(x_i-x_{i-1})}\\ &=S_{\Delta_1}(f^y)\geq\displaystyle{\overline{\int}_a^b f^y(x)dx}=F(y) \end{aligned}$

である。ここで最後の等式は $f^y(x)$ が $[a,b]$ 上で積分可能だから $F(y)=\displaystyle{\int_a^b f^y(x)}dx=\displaystyle{\overline{\int}_a^b f^y(x)}dx$ であることを用いた。 $y\in[y_{j-1},y_j]$ について上限を取ることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{m}M_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})}\geq\displaystyle{\sup\{F(y)|y\in[y_{j-1},y_j]\}}=M_j(F) \end{aligned}$

である。以上から

$\begin{aligned} S_{\Delta}(f)\geq\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}M_j(F)}(y_j-y_{j-1})=S_{\Delta_2}(F)\geq\displaystyle{\overline{\int}_c^d F(y)}dy \end{aligned}$

を得る。こうして左辺で $\Delta$ についての下限を取ることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy\geq \displaystyle{\overline{\int}_c^d F(y)}dy \end{aligned}$

である。
　以上をまとめることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy\geq \displaystyle{\overline{\int}_c^d F(y)}dy\geq\displaystyle{\underline{\int}_c^d F(y)dy}\geq\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy \end{aligned}$

である。いま $f$ は $\Omega$ で二重積分可能であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}=\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy \end{aligned}$

であった。したがって直上の不等式においてすべて等号が成り立つ、すなわち

$\begin{aligned} \displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\overline{\int}_c^d F(y)}dy=\displaystyle{\underline{\int}_c^d F(y)dy}=\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy \end{aligned}$

である。これにより $F(y)$ は $[c,d]$ 上積分可能であって

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\int_c^d F(y)}dy \end{aligned}$

である。　 $\blacksquare$ )

二重積分と積　 $\Omega=[a,b]\times[c,d]$ とする。 $f(x,y)=g(x)h(y)$ で $g(x),h(y)$ がそれぞれ $[a,b].[c,d]$ で積分可能ならば $f(x,y)$ は $\Omega$ 上で積分可能であり

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\left(\displaystyle{\int_{a}^{b}g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\int_{c}^{d}h(y)}dy\right) \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　必要であれば $g(x),h(y)$ の代わりに $A,B\gt0$ を $g(x)+A\gt0,h(y)+b\gt0$ を満たすように取って $g(x)+A,h(y)+B$ に対して定理が成立することを示せば、元の場合も定理が成立することを示すことができる。したがってはじめから $g(x)\gt0,h(y)\gt0$ と仮定してもよい。
　いま $x$ 軸上の区間 $[a,b]$ の分割 $\Delta_1:a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_m=b,\ y$ 軸の区間 $[c,d]$ の分割の分割 $\Delta_2:c=y_0\lt y_1\lt\cdots\lt y_n=d$ を勝手に取る。このときに対応する $\Omega$ の分割 $a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_m=b,\ c=y_0\lt y_1\lt\cdots\lt y_m=d$ を $\Delta$ とする。 $g(x),h(y)\gt0$ であるから

$\begin{aligned} m_{ij}(f)&=\displaystyle{\inf\{g(x)h(y)|x\in[x_{i-1},x_{i}],y\in[y_{j-1},y_{j}]\}}\\ &=\left(\displaystyle{\inf_{x_{i-1}\leq x\leq x_i}g(x)}\right)\left(\displaystyle{\inf_{y_{j-1}\leq y\leq y_j}h(y)}\right)\\ M_{ij}(f)&=\displaystyle{\sup\{g(x)h(y)|x\in[x_{i-1},x_{i}],y\in[y_{j-1},y_{j}]\}}\\ &=\left(\displaystyle{\sup_{x_{i-1}\leq x\leq x_i}g(x)}\right)\left(\displaystyle{\sup_{y_{j-1}\leq y\leq y_j}h(y)}\right) \end{aligned}$

が従う。したがって $s_{\Delta}(f)=s_{\Delta_1})(g)s_{\Delta_2}(h), S_{\Delta}(f)=S_{\Delta_1})(g)S_{\Delta_2}(h)$ を得る。以上により

$\begin{aligned} \displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}\geq s_{\Delta}(f)&=s_{\Delta_1})(g)s_{\Delta_2}(h)\\ \displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}\leq S_{\Delta}(f)&=S_{\Delta_1})(g)S_{\Delta_2}(h) \end{aligned}$

である。ここで $\Delta_1,\Delta_2$ についてそれぞれ上限、下限を取ることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}&\geq \left(\displaystyle{\underline{\int}_{a}^{b}g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\underline{\int}_{c}^{d}h(y)}dy\right),\\ \displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}&\leq \left(\displaystyle{\overline{\int}_{a}^{b}g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\overline{\int}_{c}^{d}h(y)}dy\right) \end{aligned}$

が成り立つ。 $g,h$ はそれぞれ $[a,b],[c,d]$ 上で積分可能であるから

$\begin{aligned} \left(\displaystyle{\underline{\int}_{a}^{b}g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\underline{\int}_{c}^{d}h(y)}dy\right)&=\left(\displaystyle{\overline{\int}_{a}^{b}g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\overline{\int}_{c}^{d}h(y)}dy\right)\\ &=\left(\displaystyle{\int_{a}^{b}g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\int_{c}^{d}h(y)}dy\right) \end{aligned}$

が成立する。そのため、

$\begin{aligned} \left(\displaystyle{\int_{a}^{b}g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\int_{c}^{d}h(y)}dy\right)&\leq\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy\\ &\leq\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy\\ &\leq\left(\displaystyle{\int_a^b g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\int_c^d h(y)}dy\right) \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\left(\displaystyle{\int_a^b g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\int_c^d h(y)}dy\right) \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\left(\displaystyle{\int_a^b g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\int_c^d h(y)}dy\right) \end{aligned}$

を得る。　 $\blacksquare$ )

　実際の計算には、上述の定理よりも次の定理が用いられることが多い。

二重積分の計算(置換)
(1) $\varphi_1(x),\varphi_2(x)$ を $[a,b]$ 上で定義された連続関数で ${}^{\forall}x\in(a,b)(\varphi_1(x)\lt\varphi_2(x))$ が成り立つものとする。 $\Omega=\{(x,y)|x\in[a,b],y\in[\varphi_1(x),\varphi_2(x)]\}$ を考える。このとき $f(x,y)$ を $\Omega$ 上の連続関数とすれば

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy&=\displaystyle{\int_a^b\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\right)}dx\\ &=\displaystyle{\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)}dy \end{aligned}$

が成り立つ。
(2) $\psi_1(y),\psi_2(y)$ を $[c,d]$ 上で定義された連続関数で ${}^{\forall}y\in(c,d)(\psi_1(y)\lt\psi_2(y))$ が成り立つものとする。 $\Omega=\{(x,y)|y\in[c,d],x\in[\psi_1(y),\psi_2(y)]\}$ を考える。このとき $f(x,y)$ を $\Omega$ 上の連続関数として以下が成り立つ。

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy&=\displaystyle{\int_c^d\left(\int_{\psi_1(x)}^{\psi_2(x)}f(x,y)dx\right)}dy\\ &=\displaystyle{\int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)}dx \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　(2)の証明は(1)と全く同様であるため、(1)のみ示す。 $\tilde{\Omega}=[a,b]\times[c,d]$ を取り、

$\begin{aligned} \tilde{f}(x,y)=\begin{cases} f(x,y),& (x,y)\in\Omega,\\ 0,&(x,y)\in\tilde{\Omega}\backslash\Omega \end{cases} \end{aligned}$

とおく。このとき別定理より

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\iint_{\Omega}\tilde{f}(x,y)}dxdy \end{aligned}$

が成り立つ。いま $x\in[a,b]$ を定めるごとに $\tilde{f}^{x}(y)=\tilde{f}(x,y)$ は、

$\begin{aligned} \tilde{f}^{x}(y)=\begin{cases} 0,&y\in[c,\varphi_1(x)),\\ f(x,y),&y\in[\varphi_1(x),\varphi_2(x)],\\ 0,&y\in(\varphi_2(x),d] \end{cases} \end{aligned}$

であるから、 $[c,d]$ 上で積分可能であり

$\begin{aligned} F(x)=\displaystyle{\int_c^{d}\tilde{f}^{x}(y)}dy=\displaystyle{\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)}dy \end{aligned}$

である。以上から

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\Omega}\tilde{f}(x,y)}dxdy=\displaystyle{\int_{a}^{b}F(x)}dx=\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\right)}dx \end{aligned}$

である。　 $\blacksquare$ )

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今日のまとめ

8. 多変数関数の積分

8.6 逐次積分

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8.6　逐次積分