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やりなおしの数学・微分積分篇(034/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 関数f[a,b]\times[c,d]で二重積分可能で、任意のy\in[c,d]を固定したときxの関数f^{y}(x)=f(x,y)[a,b]上で積分可能ならば、
    \begin{aligned}F(y)=\displaystyle{\int_a^b f^{y}(x)}dx=\displaystyle{\int_a^b f(x,y)}dx\end{aligned}
    [c,d]上のyの関数として積分可能であり
    \begin{aligned}\displaystyle{\iint_{\Omega} f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\int_c^d F(y)dy}=\displaystyle{\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)dx\right)dy}\end{aligned}
    が成立する。

8. 多変数関数の積分

 

8.6 逐次積分

 二重積分は一変数の積分を繰り返すことで求められる。


二重積分と逐次積分 関数f[a,b]\times[c,d]で二重積分可能で、任意のy\in[c,d]を固定したときxの関数f^{y}(x)=f(x,y)[a,b]上で積分可能ならば、

\begin{aligned}
F(y)=\displaystyle{\int_a^b f^{y}(x)}dx=\displaystyle{\int_a^b f(x,y)}dx
\end{aligned}

[c,d]上のyの関数として積分可能であり


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\Omega} f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\int_c^d F(y)dy}=
\displaystyle{\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)dx\right)dy}
\end{aligned}

が成立する。

(\because \Omegaの分割\Delta:a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_m=b,c=y_0\lt y_1\lt\cdots\lt y_n=dを任意に取る。x軸の分割a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_m=b\Delta_1y軸の分割c=y_0\lt y_1\lt\cdots\lt y_n=d\Delta_2とおく。


\begin{aligned}
s_{\Delta}(f)&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})}\\
&=\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m}m_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})\right)(y_j-y_{j-1})}
\end{aligned}

を考える。ここでm_{ij}(f)=\displaystyle{\inf\{f(x,y)|(x,y)\in[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]\}}である。一方で


\begin{aligned}
m_i(f^{y})=\displaystyle{\inf\{f^y(x)=f(x,y)|x\in[x_{i-1},x_i]\}}
\end{aligned}

とおくとy\in[y_{j-1},y_j]のときm_{ij}(f)\leq m_i(f^y)であるから


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}m_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})}&\leq\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}m_i(f^y)(x_i-x_{i-1})}\\
&=s_{\Delta_1}(f^y)\leq \displaystyle{\underline{\int}_a^b f^y(x)}dx=F(y)
\end{aligned}

が成り立つ。最後の等式ではf^y(x)[a,b]上で積分可能なのでF(y)=\displaystyle{\int_a^b f^y(x)}dx=\displaystyle{\underline{\int}_a^b f^y(x)}dxを用いた。y\in[y_{j-1},y_j]について下限を取ることで


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}m_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})}\leq\displaystyle{\inf\{F(y)|y\in[y_{j-1},y_j]\}}=m_j(F)
\end{aligned}

を得る。以上から


\begin{aligned}
s_{\Delta}(f)\leq \displaystyle{\sum_{j=1}^{n}m_j(F)(y_j-y_{j-1})}=s_{\Delta_2}(F)\leq \displaystyle{\underline{\int}_c^d F(y)}dy
\end{aligned}

を得た。こうして左辺で\Deltaについての上限を取ることで


\begin{aligned}
\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy\leq\displaystyle{\underline{\int}_c^d F(y)dy}
\end{aligned}

である。
 次に


\begin{aligned}
S_{\Delta}(f)&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})}(y_j-y_{j-1})\\
&=\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m}M_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})\right)}(y_j-y_{j-1})
\end{aligned}

を考える。ここでM_{ij}(f)=\displaystyle{\sup\{f(x,y)|(x,y)\in[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]\}}である。一方でM_i(f^y)=\displaystyle{\sup\{f^y(x)=f(x,y)|x\in[x_{i-1},x_i]\}}とおくとy\in[y_{j-1},y_j]のときM_{ij}(f)\geq M_i(f^y)であるから


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}M_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}M_i(f^y)(x_i-x_{i-1})}\\
&=S_{\Delta_1}(f^y)\geq\displaystyle{\overline{\int}_a^b f^y(x)dx}=F(y)
\end{aligned}

である。ここで最後の等式はf^y(x)[a,b]上で積分可能だからF(y)=\displaystyle{\int_a^b f^y(x)}dx=\displaystyle{\overline{\int}_a^b f^y(x)}dxであることを用いた。y\in[y_{j-1},y_j]について上限を取ることで


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}M_{ij}(f)(x_i-x_{i-1})}\geq\displaystyle{\sup\{F(y)|y\in[y_{j-1},y_j]\}}=M_j(F)
\end{aligned}

である。以上から


\begin{aligned}
S_{\Delta}(f)\geq\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}M_j(F)}(y_j-y_{j-1})=S_{\Delta_2}(F)\geq\displaystyle{\overline{\int}_c^d F(y)}dy
\end{aligned}

を得る。こうして左辺で\Deltaについての下限を取ることで


\begin{aligned}
\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy\geq \displaystyle{\overline{\int}_c^d F(y)}dy
\end{aligned}

である。
 以上をまとめることで


\begin{aligned}
\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy\geq \displaystyle{\overline{\int}_c^d F(y)}dy\geq\displaystyle{\underline{\int}_c^d F(y)dy}\geq\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy
\end{aligned}

である。いまf\Omegaで二重積分可能であるから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}=\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy
\end{aligned}

であった。したがって直上の不等式においてすべて等号が成り立つ、すなわち


\begin{aligned}
\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\overline{\int}_c^d F(y)}dy=\displaystyle{\underline{\int}_c^d F(y)dy}=\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy
\end{aligned}

である。これによりF(y)[c,d]積分可能であって


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\int_c^d F(y)}dy
\end{aligned}

である。 \blacksquare)


二重積分と積 \Omega=[a,b]\times[c,d]とする。f(x,y)=g(x)h(y)g(x),h(y)がそれぞれ[a,b].[c,d]積分可能ならばf(x,y)\Omega上で積分可能であり

\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\int_{a}^{b}g(x)}dx=\displaystyle{\int_{c}^{d}h(y)}dy
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because 必要であればg(x),h(y)の代わりにA,B\gt0g(x)+A\gt0,h(y)+b\gt0を満たすように取ってg(x)+A,h(y)+Bに対して定理が成立することを示せば、元の場合も定理が成立することを示すことができる。したがってはじめからg(x)\gt0,h(y)\gt0と仮定してもよい。
 いまx軸上の区間[a,b]の分割\Delta_1:a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_m=b,\ y軸の区間[c,d]の分割の分割\Delta_2:c=y_0\lt y_1\lt\cdots\lt y_n=dを勝手に取る。このときに対応する\Omegaの分割a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_m=b,\ c=y_0\lt y_1\lt\cdots\lt y_m=d\Deltaとする。g(x),h(y)\gt0であるから


\begin{aligned}
m_{ij}(f)&=\displaystyle{\inf\{g(x)h(y)|x\in[x_{i-1},x_{i}],y\in[y_{j-1},y_{j}]\}}\\
&=\left(\displaystyle{\inf_{x_{i-1}\leq x\leq x_i}g(x)}\right)\left(\displaystyle{\inf_{y_{j-1}\leq y\leq y_j}h(y)}\right)\\
M_{ij}(f)&=\displaystyle{\sup\{g(x)h(y)|x\in[x_{i-1},x_{i}],y\in[y_{j-1},y_{j}]\}}\\
&=\left(\displaystyle{\sup_{x_{i-1}\leq x\leq x_i}g(x)}\right)\left(\displaystyle{\sup_{y_{j-1}\leq y\leq y_j}h(y)}\right)
\end{aligned}

が従う。したがってs_{\Delta}(f)=s_{\Delta_1})(g)s_{\Delta_2}(h), S_{\Delta}(f)=S_{\Delta_1})(g)S_{\Delta_2}(h)を得る。以上により


\begin{aligned}
\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}\geq s_{\Delta}(f)&=s_{\Delta_1})(g)s_{\Delta_2}(h)\\
\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}\leq S_{\Delta}(f)&=S_{\Delta_1})(g)S_{\Delta_2}(h)
\end{aligned}

である。ここで\Delta_1,\Delta_2についてそれぞれ上限、下限を取ることで


\begin{aligned}
\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}&\geq \left(\displaystyle{\underline{\int}_{a}^{b}g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\underline{\int}_{c}^{d}h(y)}dy\right),\\
\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}&\leq \left(\displaystyle{\overline{\int}_{a}^{b}g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\overline{\int}_{c}^{d}h(y)}dy\right)
\end{aligned}

が成り立つ。g,hはそれぞれ[a,b],[c,d]上で積分可能であるから


\begin{aligned}
\left(\displaystyle{\underline{\int}_{a}^{b}g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\underline{\int}_{c}^{d}h(y)}dy\right)&=\left(\displaystyle{\overline{\int}_{a}^{b}g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\overline{\int}_{c}^{d}h(y)}dy\right)\\
&=\left(\displaystyle{\int_{a}^{b}g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\int_{c}^{d}h(y)}dy\right)
\end{aligned}

が成立する。そのため、


\begin{aligned}
\left(\displaystyle{\int_{a}^{b}g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\int_{c}^{d}h(y)}dy\right)&\leq\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy\\
&\leq\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy\\
&\leq\left(\displaystyle{\int_a^b g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\int_c^d h(y)}dy\right)
\end{aligned}

であるから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\left(\displaystyle{\int_a^b g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\int_c^d h(y)}dy\right)
\end{aligned}

が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\left(\displaystyle{\int_a^b g(x)}dx\right)\left(\displaystyle{\int_c^d h(y)}dy\right)
\end{aligned}

を得る。 \blacksquare)

 実際の計算には、上述の定理よりも次の定理が用いられることが多い。


二重積分の計算(置換)
(1)\varphi_1(x),\varphi_2(x)[a,b]上で定義された連続関数で{}^{\forall}x\in(a,b)(\varphi_1(x)\lt\varphi_2(x))が成り立つものとする。\Omega=\{(x,y)|x\in[a,b],y\in[\varphi_1(x),\varphi_2(x)]\}を考える。このときf(x,y)\Omega上の連続関数とすれば

\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy&=\displaystyle{\int_a^b\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\right)}dx\\
&=\displaystyle{\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)}dy
\end{aligned}

が成り立つ。
(2) \psi_1(y),\psi_2(y)[c,d]上で定義された連続関数で{}^{\forall}y\in(c,d)(\psi_1(y)\lt\psi_2(y))が成り立つものとする。\Omega=\{(x,y)|y\in[c,d],x\in[\psi_1(y),\psi_2(y)]\}を考える。このときf(x,y)\Omega上の連続関数として以下が成り立つ。


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy&=\displaystyle{\int_c^d\left(\int_{\psi_1(x)}^{\psi_2(x)}f(x,y)dx\right)}dy\\
&=\displaystyle{\int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)}dx
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because (2)の証明は(1)と全く同様であるため、(1)のみ示す。\tilde{\Omega}=[a,b]\times[c,d]を取り、


\begin{aligned}
\tilde{f}(x,y)=\begin{cases}
f(x,y),& (x,y)\in\Omega,\\
0,&(x,y)\in\tilde{\Omega}\backslash\Omega
\end{cases}
\end{aligned}

とおく。このとき別定理より


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\iint_{\Omega}\tilde{f}(x,y)}dxdy
\end{aligned}

が成り立つ。いまx\in[a,b]を定めるごとに\tilde{f}^{x}(y)=\tilde{f}(x,y)は、


\begin{aligned}
\tilde{f}^{x}(y)=\begin{cases}
0,&y\in[c,\varphi_1(x)),\\
f(x,y),&y\in[\varphi_1(x),\varphi_2(x)],\\
0,&y\in(\varphi_2(x),d]
\end{cases}
\end{aligned}

であるから、[c,d]上で積分可能であり


\begin{aligned}
F(x)=\displaystyle{\int_c^{d}\tilde{f}^{x}(y)}dy=\displaystyle{\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)}dy
\end{aligned}

である。以上から


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\Omega}\tilde{f}(x,y)}dxdy=\displaystyle{\int_{a}^{b}F(x)}dx=\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\right)}dx
\end{aligned}

である。 \blacksquare)

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