8. 多変数関数の積分
8.6 逐次積分
(
の分割
を任意に取る。
軸の分割
を
、
軸の分割
を
とおく。
を考える。ここでである。一方で
とおくとのとき
であるから
が成り立つ。最後の等式ではが
上で積分可能なので
を用いた。
について下限を取ることで
を得る。以上から
を得た。こうして左辺でについての上限を取ることで
である。
次に
を考える。ここでである。一方で
とおくと
のとき
であるから
である。ここで最後の等式はが
上で積分可能だから
であることを用いた。
について上限を取ることで
である。以上から
を得る。こうして左辺でについての下限を取ることで
である。
以上をまとめることで
である。いまは
で二重積分可能であるから、
であった。したがって直上の不等式においてすべて等号が成り立つ、すなわち
である。これによりは
上積分可能であって
である。 )
( 必要であれば
の代わりに
を
を満たすように取って
に対して定理が成立することを示せば、元の場合も定理が成立することを示すことができる。したがってはじめから
と仮定してもよい。
いま軸上の区間
の分割
軸の区間
の分割の分割
を勝手に取る。このときに対応する
の分割
を
とする。
であるから
が従う。したがってを得る。以上により
である。ここでについてそれぞれ上限、下限を取ることで
が成り立つ。はそれぞれ
上で積分可能であるから
が成立する。そのため、
であるから、
が成り立つ。したがって
を得る。 )
実際の計算には、上述の定理よりも次の定理が用いられることが多い。
二重積分の計算(置換)
(1)
が成り立つ。
(2) を
上で定義された連続関数で
が成り立つものとする。
を考える。このとき
を
上の連続関数として以下が成り立つ。
が成り立つ。
( (2)の証明は(1)と全く同様であるため、(1)のみ示す。
を取り、
とおく。このとき別定理より
が成り立つ。いまを定めるごとに
は、
であるから、上で積分可能であり
である。以上から
である。 )