証券投資論（12/21） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　証券投資（現代ポートフォリオ理論）をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

証券投資理論 (Minervaファイナンス講座)

作者:八木恭子,澤木勝茂
ミネルヴァ書房

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を参考に学んでいく。

5.　裁定評価理論(APT)
- 5.1　線形因子モデル

前回：

power-of-awareness.com

5.　裁定評価理論(APT)

　証券価格は如何なる経済変数から影響を受けて市場で決まるのか。

5.1　線形因子モデル

　裁定評価理論(APT)では証券リターンは市場において観測可能な変数(因子)を説明変数とする。この変数は複数個の存在を許容し、その変数が何であるかは銘柄ごとに異なり、理論上は明示する必要はない。
　証券の収益は変数との間の線形構造により説明できると仮定する。APTにおいてもCAPMと同様に非市場リスク(アンシステマティック・リスク)は分散可能であるものの、代わりに投資家は市場リスクを引き受ける必要がある。
　証券 $i$ のリターンを $r_i$ としこれが以下の一次式で定まると仮定する：

$\begin{aligned} r_i=a_i+b_i I,\ i=1,2,\cdots,n \end{aligned}$

とする。ここで[tex:I:はすべての証券のリターンを説明する共通の因子(確率変数)であり、

$\begin{aligned} E[I]=0,V[I]=1 \end{aligned}$

とする。 $a_i,b_i$ は証券 $i$ に固有のパラメータである。 $b_i\neq0$ で、 $i\neq j\Longrightarrow b_i\neq b_j$ である。証券 $i,j$ への投資ウェイトを $\omega,1-\omega$ とするようなポートフォリオを考え、このポートフォリオのリターンを $r_P$ とすれば

$\begin{aligned} r_P&=\omega r_i+(1-\omega)r_j\\ &=\omega(a_i+b_i I)+(1-\omega)(a_j+b_j I)\\ &=\omega(a_i-a_j)+a_j+\{\omega(b_i-b_j)+b_j\}I \end{aligned}$

を得る。 $I$ のみが確率変数であるから、 $\omega(b_i-b_j)+b_j=0$ となるように投資ウェイトを決めれば、すなわち

$\begin{aligned} \omega=\displaystyle{\frac{b_j}{b_i-b_j}} \end{aligned}$

とすればポートフォリオ $P$ は無リスクになる。
　このときの確定的なリターンを $r_0$ とおけば無裁定性から

$\begin{aligned} r_0=\displaystyle{\frac{b_j}{b_j-b_i}}(a_i-a_j)+a_j \end{aligned}$

を得る。これを整理することですべての $i,j$ について

$\begin{aligned} &r_0=\displaystyle{\frac{b_j}{b_j-b_i}}a_i-\displaystyle{\frac{b_i}{b_j-b_i}}a_j\\ \Leftrightarrow&(b_j-b_i)r_0=b_j a_i-b_i a_j\\ \Leftrightarrow&b_i(a_j-r_0)=b_j(a_i-r_0)\\ \Leftrightarrow&\displaystyle{\frac{a_i-r_0}{b_i}}=\displaystyle{\frac{a_j-r_0}{b_j}} \end{aligned}$

を得る。この比率は証券 $i,j$ に依存しない。すなわち

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{a_i-r_0}{b_i}}&=\displaystyle{\frac{a_j-r_0}{b_j}}=\lambda \end{aligned}$

とおける。この定数 $\lambda$ を因子リスクプレミアムと呼ぶ。元の式の期待値を取ることで

$\begin{aligned} E[r_i]=a_i+b_i E[I]=a_i,\ i=1,2,\cdots,n \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} &\displaystyle{\frac{a_i-r_0}{b_i}}=\displaystyle{\frac{a_j-r_0}{b_j}}\\ \Leftrightarrow&a_i=r_0+\displaystyle{\frac{a_j-r_0}{b_j}}b_i \end{aligned}$

を代入することで

$\begin{aligned} E[r_i]=r_0+\displaystyle{\frac{a_j-r_0}{b_j}}b_i,\ i=1,2,\cdots,n \end{aligned}$

を得る。 $V[r_i]=b_i^2$ であるから、 $\displaystyle{\frac{a_j-r_0}{b_j}}$ はリスク1単位当たりの超過リターンを表す。したがって上式の期待リターンは証券 $i$ の期待リターンがリスクフリーレートと自らのリスク $b_i$ を証券 $j$ のリスク調整後超過リターンとの和で書けることを意味する。
　この一因子モデルを次のように拡張する。すなわち

$\begin{aligned} r_i=a_i+b_i I+\varepsilon_i, i=1,2,\cdots,n \end{aligned}$

で与えられるとする。さらに $E[I]=E[\varepsilon_i]=0,\mathrm{Cov}[\varepsilon_i,I]=E[\varepsilon_i I]=0,V[\varepsilon_i]=s_i^2,\ i\neq j(\mathrm{Cov}[\varepsilon_i,\varepsilon_j]=0)$ と仮定する。証券 $i$ への投資ウェイトを $\omega_i$ として、ポートフォリオ $\boldsymbol{\omega}={}^{t}(\omega_1,\cdots,\omega_n)$ のリターンを新たに $r_P$ とすれば、

$\begin{aligned} r_P&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i r_i}\\ &=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i(a_i+b_i I+\varepsilon_i)}\\ &=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i a_i}+\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i b_i}\right)I+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i\varepsilon_i}\\ &=a+b I+\varepsilon \end{aligned}$

である。ここで $a=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i a_i},\ b=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i b_i},\ \varepsilon=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i\varepsilon_i}$ とおいた。
　もし非市場リスク $\varepsilon$ を除去できれば、ポートフォリオは市場リスク $I$ にのみ依存し、一因子モデルに退化させることができる。証券数 $n$ が十分に大きいと仮定し、 $\omega_i^{\prime}=n\omega_i$ とすれば ${}^{\forall}c\in\mathbb{R}$ に対して

$\begin{aligned} P\{|\varepsilon|\gt c\}&\leq\displaystyle{\frac{1}{c^2}}E[\varepsilon^2]\\ &=\displaystyle{\frac{1}{c^2}}E\left[\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{2}\varepsilon_i^2}\right]\\ &=\displaystyle{\frac{1}{c^2}\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{2}s_i^2}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{n^2 c^2}\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{\prime 2}s_i^2}\\ &\leq \displaystyle{\frac{1}{n^2c^2}\max_{i\in\{1,2,\cdots,n\}}\{s_i^2\}\sum_{i=1}^{n}\omega_i^2} \end{aligned}$

であり、 $|\omega_i|\lt \bar{\omega}\lt\infty$ を満たすような $\bar{\omega}$ が存在すると仮定すれば、

$\begin{aligned} P\{|\varepsilon|\gt c\}&\leq\displaystyle{\frac{1}{n^2c^2}\bar{\omega}^2\max_{i\in\{1,2,\cdots,n\}}\{s_i^2\}} \end{aligned}$

を得る。任意の $c$ に対して $n\rightarrow\infty$ のとき、 $P\{|\varepsilon|\gt c\}\rightarrow0$ が成り立つから、 $n$ が十分に大きければ漸近的に

$\begin{aligned} r_P=a+bI \end{aligned}$

が成り立つ。 $n$ の増加の程度に応じて $\omega_i^{\prime}$ が減少し、さらに $|\omega_i|\lt\bar{\omega}$ となるような $\bar{\omega}\lt\infty$ が存在すれば $\omega_i^{\prime}$ が意味を持つ。すなわち $\bar{\omega}$ は有界である。さらに $s_i$ も有界でなければならない。
　 $n$ が十分に大きいとき $r_P^{*}=a^{*}+b^{*}I$ を満たすような裁定ポートフォリオ $\omega^{*}$ が存在するならば、両辺の期待値を取ることで

$\begin{aligned} E[r_P^{*}]=a^{*}+b^{*} E[I]=a^{*} \end{aligned}$

を得る。 $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{*}}=1$ であるから

$\begin{aligned} 0&=a^{*}-r_0-(a^{*}-r_0)\\ &=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_i \omega_i^{*}}-r_0\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{*}}-b^{*}\displaystyle{\frac{a^{*}-r_0}{b^{*}}} \end{aligned}$

であり、 $b^{*}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}b_i\omega_i^{*}}$ を代入することで

$\begin{aligned} 0&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_i \omega_i^{*}}-r_0\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{*}}-b^{*}\displaystyle{\frac{a^{*}-r_0}{b^{*}}}\\ &=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_i \omega_i^{*}}-r_0\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{*}}-\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}b_i\omega_i^{*}}\displaystyle{\frac{a^{*}-r_0}{b^{*}}}\\ &=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{*}}\left\{(a_i-r_0)-\displaystyle{\frac{b_i}{b^{*}}}(a^{*}-r_0)\right\}\\ \end{aligned}$

を得る。これはすべての $\omega_i^{*}$ に対する恒等式であるから、 $a^{*}=E[r_P^{*}],\ a_i=E[r_i]$ であることを踏まえると

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{*}}\left\{(E[r_i]-r_0)-\displaystyle{\frac{b_i}{b^{*}}}(E[r_P^{*}]-r_0)\right\}=0 \end{aligned}$

が任意の $i$ で成り立ち、したがって

$\begin{aligned} E[r_i]-r_0=\displaystyle{\frac{b_i}{b^{*}}}(E[r_P^{*}]-r_0) \end{aligned}$

を得る。
　 $n$ が十分に大きいときに上で示した不等式

$\begin{aligned} P\{|\varepsilon|\gt c\}\leq \displaystyle{\frac{1}{nc^2}\bar{\omega}^2\max_{1\leq i\leq n}\{s_i^2\}} \end{aligned}$

を満たすようなポートフォリオとして市場ポートフォリオ $M$ を選べば、

$\begin{aligned} E[r_i]-r_0=\displaystyle{\frac{b_i}{b_M}}(E[r_M]-r_0) \end{aligned}$

を得る。ここで $b_M=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{M}}b_i,\ E[r_M]=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_i \omega_i^{M}}$ である。
　 $b_i$ は市場における共通のリスク・ファクター $I$ の係数であるから、 $b_i$ を $\mathrm{Cov}[r_i,r_M]$ によって、 $b_M$ を $\sqrt{V[r_M]}$ でそれぞれ置き換えれば