「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。

MENU

証券投資論(12/21)

 証券投資(現代ポートフォリオ理論)をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

を参考に学んでいく。

  • 前回:

power-of-awareness.com

5. 裁定評価理論(APT)

 証券価格は如何なる経済変数から影響を受けて市場で決まるのか。

5.1 線形因子モデル

 裁定評価理論(APT)では証券リターンは市場において観測可能な変数(因子)を説明変数とする。この変数は複数個の存在を許容し、その変数が何であるかは銘柄ごとに異なり、理論上は明示する必要はない。
 証券の収益は変数との間の線形構造により説明できると仮定する。APTにおいてもCAPMと同様に非市場リスク(アンシステマティック・リスク)は分散可能であるものの、代わりに投資家は市場リスクを引き受ける必要がある。
 証券iのリターンをr_iとしこれが以下の一次式で定まると仮定する:


\begin{aligned}
r_i=a_i+b_i I,\ i=1,2,\cdots,n
\end{aligned}

とする。ここで[tex:I:はすべての証券のリターンを説明する共通の因子(確率変数)であり、


\begin{aligned}
E[I]=0,V[I]=1
\end{aligned}
とする。a_i,b_iは証券iに固有のパラメータである。b_i\neq0で、i\neq j\Longrightarrow b_i\neq b_jである。証券i,jへの投資ウェイトを\omega,1-\omegaとするようなポートフォリオを考え、このポートフォリオのリターンをr_Pとすれば

\begin{aligned}
r_P&=\omega r_i+(1-\omega)r_j\\
&=\omega(a_i+b_i I)+(1-\omega)(a_j+b_j I)\\
&=\omega(a_i-a_j)+a_j+\{\omega(b_i-b_j)+b_j\}I
\end{aligned}

を得る。Iのみが確率変数であるから、\omega(b_i-b_j)+b_j=0となるように投資ウェイトを決めれば、すなわち


\begin{aligned}
\omega=\displaystyle{\frac{b_j}{b_i-b_j}}
\end{aligned}

とすればポートフォリオPは無リスクになる。
 このときの確定的なリターンをr_0とおけば無裁定性から


\begin{aligned}
r_0=\displaystyle{\frac{b_j}{b_j-b_i}}(a_i-a_j)+a_j
\end{aligned}

を得る。これを整理することですべてのi,jについて


\begin{aligned}
&r_0=\displaystyle{\frac{b_j}{b_j-b_i}}a_i-\displaystyle{\frac{b_i}{b_j-b_i}}a_j\\
\Leftrightarrow&(b_j-b_i)r_0=b_j a_i-b_i a_j\\
\Leftrightarrow&b_i(a_j-r_0)=b_j(a_i-r_0)\\
\Leftrightarrow&\displaystyle{\frac{a_i-r_0}{b_i}}=\displaystyle{\frac{a_j-r_0}{b_j}}
\end{aligned}

を得る。この比率は証券i,jに依存しない。すなわち


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{a_i-r_0}{b_i}}&=\displaystyle{\frac{a_j-r_0}{b_j}}=\lambda
\end{aligned}

とおける。この定数\lambdaを因子リスクプレミアムと呼ぶ。元の式の期待値を取ることで


\begin{aligned}
E[r_i]=a_i+b_i E[I]=a_i,\ i=1,2,\cdots,n
\end{aligned}

であるから、


\begin{aligned}
&\displaystyle{\frac{a_i-r_0}{b_i}}=\displaystyle{\frac{a_j-r_0}{b_j}}\\
\Leftrightarrow&a_i=r_0+\displaystyle{\frac{a_j-r_0}{b_j}}b_i
\end{aligned}

を代入することで


\begin{aligned}
E[r_i]=r_0+\displaystyle{\frac{a_j-r_0}{b_j}}b_i,\ i=1,2,\cdots,n
\end{aligned}

を得る。V[r_i]=b_i^2であるから、\displaystyle{\frac{a_j-r_0}{b_j}}はリスク1単位当たりの超過リターンを表す。したがって上式の期待リターンは証券iの期待リターンがリスクフリーレートと自らのリスクb_iを証券jのリスク調整後超過リターンとの和で書けることを意味する。
 この一因子モデルを次のように拡張する。すなわち


\begin{aligned}
r_i=a_i+b_i I+\varepsilon_i, i=1,2,\cdots,n
\end{aligned}

で与えられるとする。さらにE[I]=E[\varepsilon_i]=0,\mathrm{Cov}[\varepsilon_i,I]=E[\varepsilon_i I]=0,V[\varepsilon_i]=s_i^2,\ i\neq j(\mathrm{Cov}[\varepsilon_i,\varepsilon_j]=0)と仮定する。証券iへの投資ウェイトを\omega_iとして、ポートフォリオ\boldsymbol{\omega}={}^{t}(\omega_1,\cdots,\omega_n)のリターンを新たにr_Pとすれば、


\begin{aligned}
r_P&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i r_i}\\
&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i(a_i+b_i I+\varepsilon_i)}\\
&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i a_i}+\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i b_i}\right)I+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i\varepsilon_i}\\
&=a+b I+\varepsilon
\end{aligned}

である。ここでa=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i a_i},\ b=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i b_i},\ \varepsilon=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i\varepsilon_i}とおいた。
 もし非市場リスク\varepsilonを除去できれば、ポートフォリオは市場リスクIにのみ依存し、一因子モデルに退化させることができる。証券数nが十分に大きいと仮定し、\omega_i^{\prime}=n\omega_iとすれば{}^{\forall}c\in\mathbb{R}に対して


\begin{aligned}
P\{|\varepsilon|\gt c\}&\leq\displaystyle{\frac{1}{c^2}}E[\varepsilon^2]\\
&=\displaystyle{\frac{1}{c^2}}E\left[\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{2}\varepsilon_i^2}\right]\\
&=\displaystyle{\frac{1}{c^2}\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{2}s_i^2}\\
&=\displaystyle{\frac{1}{n^2 c^2}\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{\prime 2}s_i^2}\\
&\leq \displaystyle{\frac{1}{n^2c^2}\max_{i\in\{1,2,\cdots,n\}}\{s_i^2\}\sum_{i=1}^{n}\omega_i^2}
\end{aligned}

であり、|\omega_i|\lt \bar{\omega}\lt\inftyを満たすような\bar{\omega}が存在すると仮定すれば、


\begin{aligned}
P\{|\varepsilon|\gt c\}&\leq\displaystyle{\frac{1}{n^2c^2}\bar{\omega}^2\max_{i\in\{1,2,\cdots,n\}}\{s_i^2\}}
\end{aligned}

を得る。任意のcに対してn\rightarrow\inftyのとき、P\{|\varepsilon|\gt c\}\rightarrow0が成り立つから、nが十分に大きければ漸近的に


\begin{aligned}
r_P=a+bI
\end{aligned}

が成り立つ。nの増加の程度に応じて\omega_i^{\prime}が減少し、さらに|\omega_i|\lt\bar{\omega}となるような\bar{\omega}\lt\inftyが存在すれば\omega_i^{\prime}が意味を持つ。すなわち\bar{\omega}有界である。さらにs_i有界でなければならない。
 nが十分に大きいときr_P^{*}=a^{*}+b^{*}Iを満たすような裁定ポートフォリオ\omega^{*}が存在するならば、両辺の期待値を取ることで


\begin{aligned}
E[r_P^{*}]=a^{*}+b^{*} E[I]=a^{*}
\end{aligned}

を得る。\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{*}}=1であるから


\begin{aligned}
0&=a^{*}-r_0-(a^{*}-r_0)\\
&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_i \omega_i^{*}}-r_0\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{*}}-b^{*}\displaystyle{\frac{a^{*}-r_0}{b^{*}}}
\end{aligned}

であり、b^{*}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}b_i\omega_i^{*}}を代入することで


\begin{aligned}
0&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_i \omega_i^{*}}-r_0\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{*}}-b^{*}\displaystyle{\frac{a^{*}-r_0}{b^{*}}}\\
&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_i \omega_i^{*}}-r_0\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{*}}-\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}b_i\omega_i^{*}}\displaystyle{\frac{a^{*}-r_0}{b^{*}}}\\
&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{*}}\left\{(a_i-r_0)-\displaystyle{\frac{b_i}{b^{*}}}(a^{*}-r_0)\right\}\\
\end{aligned}

を得る。これはすべての\omega_i^{*}に対する恒等式であるから、a^{*}=E[r_P^{*}],\ a_i=E[r_i]であることを踏まえると


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{*}}\left\{(E[r_i]-r_0)-\displaystyle{\frac{b_i}{b^{*}}}(E[r_P^{*}]-r_0)\right\}=0
\end{aligned}

が任意のiで成り立ち、したがって


\begin{aligned}
E[r_i]-r_0=\displaystyle{\frac{b_i}{b^{*}}}(E[r_P^{*}]-r_0)
\end{aligned}

を得る。
 nが十分に大きいときに上で示した不等式


\begin{aligned}
P\{|\varepsilon|\gt c\}\leq \displaystyle{\frac{1}{nc^2}\bar{\omega}^2\max_{1\leq i\leq n}\{s_i^2\}}
\end{aligned}

を満たすようなポートフォリオとして市場ポートフォリオMを選べば、


\begin{aligned}
E[r_i]-r_0=\displaystyle{\frac{b_i}{b_M}}(E[r_M]-r_0)
\end{aligned}

を得る。ここでb_M=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i^{M}}b_i,\ E[r_M]=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_i \omega_i^{M}}である。
 b_iは市場における共通のリスク・ファクターIの係数であるから、b_i\mathrm{Cov}[r_i,r_M]によって、b_M\sqrt{V[r_M]}でそれぞれ置き換えれば


\begin{aligned}
E[r_i]-r_0=\displaystyle{\frac{\mathrm{Cov}[r_i,r_M]}{\sqrt{V[r_M]}}}(E[r_M]-r_0)=\beta_i(E[r_M]-r_0)
\end{aligned}

を得る。ここで\beta_i=\displaystyle{\frac{\mathrm{Cov}[r_i,r_M]}{\sqrt{V[r_M]}}}である。
 このように個別証券のリスクを消去する形で裁定ポートフォリオを選択し、不等式


\begin{aligned}
P\{|\varepsilon|\gt c\}\leq \displaystyle{\frac{1}{nc^2}\bar{\omega}^2\max_{1\leq i\leq n}\{s_i^2\}}
\end{aligned}

が成り立つ程度に充分に分散化されたポートフォリオを選択できれば、リスクフリーレートを差し引いた個別リスク証券の期待リターンをCAPMと同様の命題を満たすことが分かった。

  • 次回:

power-of-awareness.com

プライバシーポリシー お問い合わせ