やりなおしの数学・線形代数篇（19/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
5.　固有値と固有ベクトル
- 5.2　Unitary空間の正規変換

今日のまとめ

線形空間 $V$ に正規変換 $T$ が定義されているとき、線形空間 $V$ は $T$ の相違なるすべての固有値にそれぞれ対応する固有空間の直和で表すことが出来、更に $T$ は $V$ から各固有空間への射影子の固有値による線形結合で表すことが出来る。その射影子の和は恒等変換であり異なる固有空間への射影子の積は $0$ である。この $T$ を射影子の線形結合で表す方法をスペクトル分解という。

5.　固有値と固有ベクトル

5.2　Unitary空間の正規変換

　前回述べた

Unitary空間と随伴変換　 $n$ 次元Unitary空間 $V$ の2つの線形変換 $T,S$ が交換可能ならば、以下を満たすような $V$ の部分空間列 $\{W_i\}_{i=1}^{n}$ が存在する：
(1) $W_i,i=1,2,\cdots,n$ は $T$ -不変かつ $S$ -不変である；
(2) $\{\boldsymbol{0}\}=W_0\subset W_1\subset\cdots\subset W_n=V$ ；
(3) $\dim W_i=\dim W_{i-1}+1, i=1,2,\cdots,n$

を行列の言葉に変換すると以下のようになる。

Unitary空間と随伴変換(行列による表現)　2つの正方行列 $A,B$ が交換可能ならば、 $U^{-1}AU,U^{-1}BU$ が共に上三角行列になるような適当なUnitary行列 $U$ が存在する。特に $A=B$ として任意の正方行列 $A$ に対して $U^{-1}AU$ が上三角行列になるようなUnitary行列 $U$ が存在する。

( $\because$ 　前述の定理において $V=\mathbb{C}^n,T=T_A,S=T_B$ とする。 $i=1,2,\cdots,n$ に対して $\boldsymbol{u}_i\in W_i\ s.t.\ \|\boldsymbol{u}_i\|=1\land {}^{\forall}\boldsymbol{w}_{i-1}\in\ W_{i-1}((\boldsymbol{w}_{i-1},\boldsymbol{u}_i)=0)$ を取れば、 $\mathbb{C}^n$ の正規直交基底 $\boldsymbol{u}_1,\cdots,\boldsymbol{u}_n$ に関する $T_A,T_B$ の行列は共に上三角行列である。
　 $U=(\boldsymbol{u}_1,\cdots,\boldsymbol{u}_n)$ とすれば、それらは $U^{-1}AU,U^{-1}BU$ に他ならない。　 $\blacksquare$ )

交換可能性と固有値の和積(1) $A,B$ が交換可能ならば、 $A+B,AB$ の固有値はそれぞれ $A$ の固有値と $B$ の固有値の和および積である。
(2) $A$ の固有値を重複を込めて $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ とすれば $A^k$ の固有値は $\alpha_1^k,\cdots,\alpha_n^k$ である。

( $\because$ 　 $U^{-1}AU,U^{-1}BU$ が共に上三角行列になるように $U$ を選べば

$\begin{aligned} U^{-1}(A+B)U&=U^{-1}AU+U^{-1}BU,\\ U^{-1}(AB)U&=(U^{-1}AU)(U^{-1}BU) \end{aligned}$

が成り立つから、主張は正しい。　 $\blacksquare$ )

対角行列と正規変換　Unitary空間 $V$ の線形変換 $T$ が適当な正規直交基底に関して対角行列によって表現されるためには $T$ が正規変換であることが必要かつ十分である。

( $\because$ 　 $TT^{*}=T^{*}T$ が成り立つならば、前述した定理から適当な正規直交基底に関する $T,T^{*}$ の行列 $A,A^{*}={}^{t}\bar{A}$ は共に上三角行列になる。 ${}^{t}\bar{A}$ が上三角ならば $A$ は下三角であるから、結局 $A$ は対角行列でなければならない。
　逆にある積直交基底に関する $T$ の行列 $A$ が対角行列ならば、 $AA^{*}=A^{*}A$ であるから $TT^{*}=T^{*}T$ が成立する。　 $\blacksquare$ )

　この定理は行列の言葉を用いて以下のように言い換えることが出来る。

対角行列と正規変換(行列による表現)　正方行列 $A$ に対して $U^{-1}AU$ が対角行列になるようなUnitary行列 $U$ が存在することの必要十分条件は $A$ が正規行列であることである。

Unitary空間と各固有空間　Unitary空間 $V$ の正規変換 $T$ の相違する固有値に対応する各固有ベクトルは互いに直交し、更に $V$ はこれらの直和で表される。

( $\because$ 　 $T$ の固有ベクトルのみから構成される正規直交基底 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ が存在する。このうち固有値 $\beta_i,i=1,2,\cdots,k$ に対応する固有ベクトルのみから張られる部分空間が対応する固有空間 $W_i$ であるから、主張は正しい。　 $\blacksquare$ )

　Unitary空間 $V$ の部分空間 $W$ に対して $W$ の直交補空間を $W^{\perp}$ とすれば、

$\begin{aligned} {}^{\forall}\boldsymbol{x}\in V\left({}^{!\exists}\boldsymbol{x}^{\prime}\in W,{}^{!\exists}\boldsymbol{x}^{\prime\prime}\in W^{\perp}\ s.t.\ \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{\prime}+\boldsymbol{x}^{\prime\prime}\right) \end{aligned}$

が成り立つ。このとき $P:W\rightarrow W,\boldsymbol{x}\mapsto \boldsymbol{x}^{\prime}$ は線形変換である。これを $V$ の $W$ への射影子という。

射影子と線形変換の関係　線形空間 $V$ の線形変換 $P$ がそれのある部分空間 $W$ への射影子であるためには、

$\begin{aligned} P^2=P,\ \ P^{*}=P \end{aligned}$

であることが必要かつ十分である。

( $\because$ 　 $P$ が $W$ の射影子であるならば、 $P^2=P$ は明らかである。 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V$ を

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}&=\boldsymbol{x}^{\prime}+\boldsymbol{x}^{\prime\prime},\boldsymbol{x}^{\prime}\in W,\ \ \boldsymbol{x}^{\prime\prime}\in W^{\perp}\\ \boldsymbol{y}&=\boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{y}^{\prime\prime},\boldsymbol{y}^{\prime}\in W,\ \ \boldsymbol{y}^{\prime\prime}\in W^{\perp} \end{aligned}$

と表せば、

$\begin{aligned} (P\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})&=(\boldsymbol{x}^{\prime},\boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{y}^{\prime\prime})\\ &=(\boldsymbol{x}^{\prime},\boldsymbol{y}^{\prime})+(\boldsymbol{x}^{\prime},\boldsymbol{y}^{\prime\prime})\\ &=(\boldsymbol{x}^{\prime},\boldsymbol{y}^{\prime})\\ &=(\boldsymbol{x}^{\prime}+\boldsymbol{x}^{\prime\prime},\boldsymbol{y}^{\prime})\\ &=(\boldsymbol{x},P\boldsymbol{y}) \boldsymbol{} \end{aligned}$

が成り立ち、 $P^{*}=P$ となる。
　逆に $P$ が $P^2=P,\ \ P^{*}=P$ を満たすと仮定する。 $W=P(V)$ とおくとき、 $\boldsymbol{x}^{\prime}\in W$ に対して ${}^{\exists}\boldsymbol{x}_0\in V\ s.t.\ \boldsymbol{x}^{\prime}=P\boldsymbol{x}_0$ と書けるから、

$\begin{aligned} P\boldsymbol{x}^{\prime}=P(P\boldsymbol{x}_0)=P^2\boldsymbol{x}_0=P\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{x}^{\prime} \end{aligned}$

が成り立つ。また ${}^{\forall}\boldsymbol{y}\in V$ に対して $P\boldsymbol{y}\in W$ であるから、 $\boldsymbol{x}^{\prime\prime}\in W^{\perp}$ に対して

$\begin{aligned} (P\boldsymbol{x}^{\prime\prime},\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}^{\prime\prime},P\boldsymbol{y})=0 \end{aligned}$

が成り立ち、 $P\boldsymbol{x}^{\prime\prime}=\boldsymbol{0}$ である。したがって $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{\prime}+\boldsymbol{x}^{\prime\prime},\boldsymbol{x}^{\prime}\in W,\boldsymbol{x}^{\prime\prime}\in W^{\perp}$ に対して

$\begin{aligned} P\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{x}^{\prime}+P\boldsymbol{x}^{\prime\prime}=\boldsymbol{x}^{\prime} \end{aligned}$

が成立する。　 $\blacksquare$ )

　射影子は「固有値がすべて $1$ または $0$ であるようなHermite変換」だと言うことができる。

射影子と部分空間・直交補空間　 $W_1,W_2$ を線形空間 $V$ の2つの部分空間、 $P_1,P_2$ をそれぞれ $W_1,W_2$ への射影子とする。 $W_1,W_2$ が直交するためには、 $P_1P_2=0$ が成り立つことが必要かつ十分である。

( $\because$ 　 $W_1,W_2$ が直交するならば、 $W_2\subset W_1^{\perp}$ であるから、

$\begin{aligned} P_2P_1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \end{aligned}$

である。逆に $P_1P_2=0$ ならば $\boldsymbol{x}_1\in W_1,\boldsymbol{x}_2\in W_2$ に対して

$\begin{aligned} (\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)=(P_1\boldsymbol{x}_1,P_2\boldsymbol{x}_2)=(\boldsymbol{x}_1,P_1P_2\boldsymbol{x}_2)=0 \end{aligned}$

が成り立ち、これは $P_2P_1$ についても成り立つ。　 $\blacksquare$

　 $T$ が $V$ の正規変換であるとき、 $T$ の相違するすべての固有値 $\beta_1,\cdots,\beta_k$ 、これらそれぞれに対応する固有空間を $W_1,\cdots,W_k$ とするとき、上で示した定理から $W_1,\cdots,W_k$ はそれぞれ互いに直交し、

$\begin{aligned} V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_k \end{aligned}$

が成り立つ。
　 $V$ から $W_i$ への射影子を $P_i$ とすれば

$\begin{aligned} P_1+P_2+\cdots+P_k&=I,\\ P_iP_j&=0,\ i\neq j\\ T&=\beta_1P_1+\cdots+\beta_kP_k \end{aligned}$

が成り立つ。これを正規変換 $T$ のスペクトル分解という。
　スペクトル分解は一意である。実際、射影子 $P_1^{\prime},\cdots,P_k^{\prime}$ によるもう1つのスペクトル分解

$\begin{aligned} P_1^{\prime}+\cdots+P_k^{\prime}&=I,\\ P_i^{\prime}P_j^{\prime}&=0,\ i\neq j\\ T&=\beta_1P_1^{\prime}+\cdots+\beta_kP_k^{\prime} \end{aligned}$

があるとする。 $P_i,P_i^{\prime}$ がそれぞれ部分空間 $W_i,W_i^{\prime}$ への射影子であるとすれば、 $T$ の $W_i,W_i^{\prime}$ への制限はいずれもスカラー変換 $\beta_i I$ であるから、 $W_i=W_i^{\prime}$ である。したがって $P_i=P_i^{\prime}$ でなければならない。
　逆に条件