証券投資論（04/21） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　証券投資（現代ポートフォリオ理論）をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

証券投資理論 (Minervaファイナンス講座)

作者:八木恭子,澤木勝茂
ミネルヴァ書房

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を参考に学んでいく。

3.　ポートフォリオ理論
- 3.4.　平均=分散モデルと期待効用最大化問題
- 3.5.　平均=分散モデルと正規分布の仮定

前回：

power-of-awareness.com

3.　ポートフォリオ理論

3.4.　平均=分散モデルと期待効用最大化問題

　投資家の効用関数 $u(\cdot)$ がポートフォリオのリターン $r_P$ の2次式で表されるものとする。投資家がリスク回避的ならば平均=分散モデルが期待効用最大化問題と整合的であることを示す。
　 $u^{\prime\prime}(r_P)=b\gt0$ である、すなわち投資家がリスク回避的であることと整合的になるように、

$\begin{aligned} u(r_P)=a r_P+\displaystyle{\frac{b}{2}{r_P}^2,\ a\gt0,\ b\lt0,\ r_P\lt-\displaystyle{\frac{a}{b}}} \end{aligned}$

と仮定する。このとき $r_P\lt-\displaystyle{\frac{a}{b}}$ の範囲で $u^{\prime}(r_P)=a+br_P\gt0$ であるから単調増加でもある。期待効用 $E[u(r_P)]$ は

$\begin{aligned} E[u(r_P)]&=aE[r_P]+\displaystyle{\frac{b}{2}E[{r_P}^2]}\\ &=aE[r_P]+\displaystyle{\frac{b}{2}\left\{V[r_P]+(E[r_P])^2\right\}} \end{aligned}$

と書ける。これは期待効用がポートフォリオの期待リターンおよびリスクで表されることを意味する。
　またこれを期待リターンに関して微分することで

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial E[u(r_P)]}{\partial E[r_P]}}=&a+bE[r_P]\gt0,\\ \displaystyle{\frac{\partial E[u(r_P)]}{\partial \sigma[r_P]}}=&b\sigma[r_P]\lt0 \end{aligned}$

が得られる。これは期待リターンの増加が期待効用を向上させ、リスクの増大は期待効用を減らすことを意味する。

3.5.　平均=分散モデルと正規分布の仮定

　次にポートフォリオのリターン $r_P$ が正規分布に従うと仮定する。さらに $E[r_P]=\mu,\ V[r_P]=\sigma^2$ とおけば、

$\begin{aligned} f(r)=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{(r-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}} \end{aligned}$

である。したがって期待値の定義から期待効用は、 $z=\displaystyle{\frac{r-\mu}{\sigma}}$ とおけば

$\begin{aligned} E[u(r_P)]=&\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}u(r)f(r)dr}\\ =&\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}u(\sigma z+\mu)\phi(z)dz}\\ \end{aligned}$

である(ここで $\phi(z)$ は標準正規分布の確率密度関数である。)。これを期待リターン $\mu$ で微分すると

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial E[u(r_P)]}{\partial \mu}}&=\displaystyle{\frac{\partial}{\partial \mu}}\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}u(r)f(r)dr}\\ &=\displaystyle{\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial u(\sigma z+\mu)\phi(z)}{\partial \mu}}dz}\\ &=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}u^{\prime}(\sigma z+\mu)\phi(z) dz}\gt0 \end{aligned}$

を得る。 $u(\cdot)$ は増加関数であるから $u^{\prime}(\cdot)\gt0$ であり、期待効用は期待リターン $\mu$ の増加関数である。
　またリスク $\sigma$ に関して微分すれば $\phi^{\prime}(z)=-z\cdot \phi(z)$ を用いることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial E[u(r_P)]}{\partial \sigma}}&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}u^{\prime}(\sigma z+\mu)\cdot z \phi(z)dz}\\ &=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}u^{\prime}(\sigma z+\mu)\cdot (-z \phi(z))dz}\\ &=\sigma\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}u^{\prime\prime}(\sigma z+\mu)\phi(z)dz}\gt0 \end{aligned}$