やりなおしの数学・線形代数篇（17/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
5.　固有値と固有ベクトル
- 5.1　固有値と固有ベクトル

今日のまとめ

固有値を具体的に計算するためには、次のような代数的な方法が簡単である。 $n$ 次行列 $A$ があるとき、変数 $x$ の多項式
$\begin{aligned}\Phi_A(x)=\det(xI-A)\end{aligned}$
を行列 $A$ の固有多項式という。 $n$ 次方程式 $\Phi_A(x)=0$ を $A$ の特性方程式もしくは固有方程式という。この方程式の解を $A$ の特性解という。

行列 $A$ もしくは複素線形空間の線形変換 $T$ の固有値は $A$ もしくは $T$ の特性根と一致する。実線形空間の線形変換の固有値は $T$ の実特性根と一致する。

5.　固有値と固有ベクトル

5.1　固有値と固有ベクトル

　直和 $W_1\oplus W_2\oplus \cdots\oplus W_k$ は $V$ 全体に一致するとは限らない。これに関して次の定理に成り立つ。

直和と線形空間　 $K$ 上の線形空間 $V$ における線形変換 $T$ が適当な規定に関して対角行列で表現されるためには、

$\begin{aligned} V=W_1\oplus W_2\oplus \cdots\oplus W_k \end{aligned}$

が必要十分条件である。

( $\because$ 　基底 $(E;\varphi),\ E=(\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n)$ に関する $T$ の行列 $A$ が対角行列であるとする、すなわち、

$\begin{aligned} A=\begin{bmatrix} \alpha_1& & &O \\ &\alpha_2& & \\ & &\ddots& \\ O & & &\alpha_n \end{bmatrix} \end{aligned}$

であるとする。このとき $T_A=\varphi\circ T\circ \varphi^{-1}$ であるから、

$\begin{aligned} \varphi(T\boldsymbol{e}_i)&=T_A(\varphi(\boldsymbol{e}_i))\\ &=\begin{bmatrix} \alpha_1& & & & \\ &\ddots& & & \\ & &\alpha_i& & \\ & & &\ddots& \\ & & & &\alpha_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix}\\&=\alpha_i\begin{bmatrix} 0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix}=\alpha_i\varphi(\boldsymbol{e}_i) \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $T\boldsymbol{e}_i=\alpha_i\boldsymbol{e}_i$ が成り立ち、これは $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ はすべて $T$ の固有ベクトルである。
　逆に $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ がすべて $T$ の固有ベクトルであるとする。 $T\boldsymbol{e}_i=\alpha_i\boldsymbol{e}_i$ とすれば、基底 $(\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n)$ に関する $T$ の行列は

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} \alpha_1& & &O \\ &\alpha_2& & \\ & &\ddots& \\ O & & &\alpha_n \end{bmatrix} \end{aligned}$

に等しい。　 $\blacksquare$ )

　この定理は以下のように言い換えることが出来る。

直和と線形空間　 $n$ 次正方行列 $A$ に対して適当な正則行列 $P$ を取って $P^{-1}AP$ が対角行列になるようにできるためには、 $n$ 個の線形独立な固有列ベクトルが存在することが必要十分である。

　固有値を具体的に計算するためには、次のような代数的な方法が簡単である。
　 $n$ 次行列 $A$ があるとき、変数 $x$ の多項式

$\begin{aligned} \Phi_A(x)=\det(xI-A) \end{aligned}$

を行列 $A$ の固有多項式という。 $n$ 次方程式 $\Phi_A(x)=0$ を $A$ の特性方程式もしくは固有方程式という。この方程式の解を $A$ の特性解という。
　 $K$ 上の線型空間 $V$ の線形変換 $T$ に対して $V$ の任意の基底に関する $T$ の行列 $A$ の特性多項式、特性方程式および特性根をそれぞれ線形変換 $T$ の特性多項式、特性方程式および特性根を線形変換 $T$ の特性多項式、特性方程式および特性根という。
　別の基底に関する $T$ の行列を $B$ とすれば、 $B=P^{-1}AP$ となるような正則行列 $P$ が存在するから、

$\begin{aligned} \Phi_B(x)&=\det(xI-P^{-1}AP)=\det(P^{-1}(xI-A)P)\\&=|P|^{-1}\det(xI-A)|P|=\Phi_A(x) \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $T$ の特性多項式は基底の取り方に依存せず定義できる。複素係数の $n$ 次方程式は複素数の範囲で重複も含めちょうど $n$ 個の根を持つことに注意する。

固有値と特性根　行列 $A$ もしくは複素線形空間の線形変換 $T$ の固有値は $A$ もしくは $T$ の特性根と一致する。実線形空間の線形変換の固有値は $T$ の実特性根と一致する。

( $\because$ 　 $\alpha\in\mathbb{C}$ が行列 $A$ の固有値であるということは ${}^{\exists}\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}\ s.t.\ A\boldsymbol{x}=\alpha\boldsymbol{x}$ に他ならず、それは更に斉次一次方程式

$\begin{aligned} (\alpha I-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \end{aligned}$

が自明でない解を持つことと同値である。これは $\Phi_A(\alpha)=0$ が成り立つことに他ならない。複素線形空間の線形変換でも同様である。
　実線形空間の線形変換 $T$ の場合、任意の基底に関する $T$ の行列を $A$ とすれば、 $A$ は実行列である。このとき $\alpha\in\mathbb{R}$ が $T$ の固有値であるということは実係数の斉次一次方程式