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今日のまとめ
5. 1変数関数の微分
5.3 微分の性質
5.3.1 Rolleの定理
連続関数の性質を用いて導かれる、微分の有用な性質である。
( が定数関数であればの任意の値を取ればよいから、が定数関数でないと仮定する。この関数は閉区間で連続であるから、同じ区間で最大値および最小値をもつ。これらをそれぞれとおくと、仮定からまたはである。いまを仮定する。このときだが、であるから、である。は区間上でのの最大値であるから、
が成り立つ。したがっておよびとすることでが導かれる。仮定よりはで微分可能であるから、が成り立つ。したがってである。の場合も同様にすることでが得られる。 )
たとえばは、で連続かつで微分可能である。またであるから、Rolleの定理を適用でき、またそれにより
が成り立つ。したがってである。
Rolleの定理を用いることで、以下の定理が導かれる。
5.3.2 平均値の定理
( とおき、関数を考える。このときは上でRolleの定理の条件をすべて満たすから、が成り立つ。が成り立つから、この式にを代入することでを得る。したがってが成り立つ。 )
( (2)は(1)と同様の方法で示すことが出来るため、(1)のみを扱う。についてだと仮定する。このとき、に対して、平均値の定理よりが成り立つ。仮定からであるから、が成り立つ。 )
( 前回の定理と同様に(1)のみ示す。についてと仮定する。このとき、に対して、平均値の定理よりが成り立つ。仮定よりであるから、が成り立つ。 )
( を任意に取り固定する。に対して、平均値の定理よりが成り立つ。仮定からであるからである。したがっては上で定数である。 )
( とおき、を考える。このときはRolleの定理を満たすから、
が成り立つ。したがって
が成り立つ、すなわち
が成立する。 )
関数の増加・減少の定義 が存在しが成り立つならば、が成立するとき、はにおいて増加の状態(減少の状態)にあるという。
点において関数が増加(減少)の状態であることを見るための簡単な手段はその点でのの微分係数の符号を調べることである。
( とする。このときが成り立つ。これによりならばで、ならばが成り立つ。したがってに対して
が成り立つ。したがってはにおいて増加の状態にある。同様にしてのときはにおいて減少の状態にある。 )