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やりなおしの数学・微分積分篇(017/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

www.rokakuho.co.jp

今日のまとめ

5. 1変数関数の微分

5.3 微分の性質

5.3.1 Rolleの定理

 連続関数の性質を用いて導かれる、微分の有用な性質である。


Rolleの定理 閉区間[a,b]で連続かつ開区間(a,b)微分可能な関数f(x)f(a)=f(b)を満たすとする。このときf^{\prime}(\xi)=0となる\xi\in(a,b)が存在する。
(\because f(x)が定数関数であれば(a,b)の任意の値を取ればよいから、f(x)が定数関数でないと仮定する。この関数は閉区間[a,b]で連続であるから、同じ区間で最大値および最小値をもつ。これらをそれぞれM,mとおくと、仮定からM\gt f(a)またはm\lt f(a)である。
 いまM\gt f(a)を仮定する。このとき{}^{\exists}\xi\in[a,b]\ s.t.\ f(\xi)=Mだが、M\neq f(a)=f(b)であるから、\xi\in(a,b)である。f(\xi)区間[a,b]上でのf(x)の最大値であるから、

\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}}\begin{cases}
\leq 0,&\ \ h\geq0,\\
\geq 0,&\ \ h\leq0
\end{cases}
\end{aligned}

が成り立つ。したがってh\rightarrow+0およびh\rightarrow-0とすることでf^{\prime}_{+}(\xi)\leq0,f^{\prime}_{-}(\xi)\geq0が導かれる。仮定よりf(x)x=\xi微分可能であるから、f^{\prime}(\xi)=f^{\prime}_{+}(\xi)=f^{\prime}_{-}(\xi)が成り立つ。したがってf^{\prime}(\xi)=0である。m\lt f(a)の場合も同様にすることでf^{\prime}(\xi)=0が得られる。 \blacksquare


 たとえばf(x)=\sqrt{x}(1-x), 0\leq x\leq1は、[0,1]で連続かつ(0,1)微分可能である。またf(0)=0, f(1)=0であるから、Rolleの定理を適用でき、またそれにより


\begin{aligned}
{}^{\exists}\xi\in(0,1)\ s.t.\ f^{\prime}(\xi)=\displaystyle{\frac{1}{2}}\xi^{-\frac{1}{2}}(1-\xi)-\sqrt{\xi}=0
\end{aligned}

が成り立つ。したがって\xi=\displaystyle{\frac{1}{3}}である。


 Rolleの定理を用いることで、以下の定理が導かれる。

5.3.2 平均値の定理


平均値の定理 閉区間[a,b]で連続かつ開区間(a,b)微分可能な関数f(x)に対して、{}^{\exists}\xi\ s.t.\ f(b)=f(a)+f^{\prime}(\xi)(b-a)が成り立つ。
(\because k=\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}とおき、関数F(x)=f(b)-f(x)-k(b-x)を考える。このときF(x)[a,b]上でRolleの定理の条件をすべて満たすから、{}^{\exists}\xi\in(a,b)\ s.t.\ F^{\prime}(\xi)=0が成り立つ。F^{\prime}(x)=-f^{\prime}(x)+kが成り立つから、この式にx=\xiを代入することでk=f^{\prime}(\xi)を得る。したがって

\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=f^{\prime}(\xi)\Leftrightarrow f(b)=f(a)+f^{\prime}(\xi)(b-a)
\end{aligned}

が成り立つ。 \blacksquare)


平均値の定理の応用(1) f(x)[a,b]で連続で(a,b)微分可能な関数だとする。
(1) {}^{\forall}x\in(a,b)についてf^{\prime}(x)\gt0ならばf(x)[a,b]上で狭義単調増加である。
(2) {}^{\forall}x\in(a,b)についてf^{\prime}(x)\lt0ならばf(x)[a,b]上で狭義単調減少である。
(\because (2)は(1)と同様の方法で示すことが出来るため、(1)のみを扱う。{}^{\forall}x\in(a,b)についてf^{\prime}(x)\gt0だと仮定する。このとき、{}^{\forall}x_1,x_2\in[a,b]\ s.t.\ x_1\lt x_2に対して、平均値の定理より

\begin{aligned}
{}^{\exists}\xi\in(x_1,x_2)\ s.t\ f(x_2)=f(x_1)+f^{\prime}(\xi)(x_2-x_1)
\end{aligned}

が成り立つ。仮定からf^{\prime}(\xi)\gt0,\ x_2-x_1\gt0であるから、f(x_1)\lt f(x_2)が成り立つ。 \blacksquare)


平均値の定理の応用(2) f(x)[a,b]で連続で(a,b)微分可能な関数だとする。
(1) {}^{\forall}x\in(a,b)についてf^{\prime}(x)\geq0ならばf(x)[a,b]上で単調増加である。
(2) {}^{\forall}x\in(a,b)についてf^{\prime}(x)\leq0ならばf(x)[a,b]上で単調減少である。
(\because 前回の定理と同様に(1)のみ示す。{}^{\forall}x\in(a,b)についてf^{\prime}(x)\geq0と仮定する。このとき、{}^{\forall}x_1,x_2\in[a,b]\ s.t.\ x_1\lt x_2に対して、平均値の定理より

\begin{aligned}
{}^{\exists}\xi\in(x_1,x_2)\ s.t\ f(x_2)=f(x_1)+f^{\prime}(\xi)(x_2-x_1)
\end{aligned}

が成り立つ。仮定よりf^{\prime}(x)\geq0であるから、f(x_1)\leq f(x_2)が成り立つ。 \blacksquare)


平均値の定理の応用(3) f(x)区間Iで連続でIの内部で微分可能だとする。このときIの内部の各点xに対してf^{\prime}(x)=0ならばf(x)I上で定数関数である。
(\because x_0\in Iを任意に取り固定する。{}^{\forall}x\in Iに対して、平均値の定理より

\begin{aligned}
{}^{\exists}\xi \in (\min(x,x_0),\max(x,x_0))\ s.t.\ f(x)=f(x_0)+f^{\prime}(xi)(x-x_0)
\end{aligned}

が成り立つ。仮定からf^{\prime}(\xi)=0であるからf(x)=f(x_0)である。したがってf(x)I上で定数である。 \blacksquare)


Cauchyの平均値の定理 f(x),g(x)区間[a,b]で連続かつx\in(a,b)微分可能、さらにf^{\prime}(x)\neq 0だとする。このとき

\begin{aligned}
{}^{\exists}\xi\in(a,b)\ s.t.\ \displaystyle{\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}}=\displaystyle{\frac{g^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\xi)}}
\end{aligned}
が成り立つ。

(\because k=\displaystyle{\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}}とおき、F:[a,b]\rightarrow \mathbb{R},\ F(x)=g(b)-g(x)-k(f(b)-f(x))を考える。このときF(x)はRolleの定理を満たすから、


\begin{aligned}
{}^{\exists}\xi\in(a,b)\ s.t.\ F^{\prime}(\xi)=-g^{\prime}(\xi)+kf^{\prime}(\xi)=0
\end{aligned}

が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
k=\displaystyle{\frac{g^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\xi)}}
\end{aligned}

が成り立つ、すなわち


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}}=\displaystyle{\frac{g^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\xi)}}
\end{aligned}

が成立する。 \blacksquare)


関数の増加・減少の定義 U=B(x_0;\varepsilon)=\{x\in\mathbb{R}|(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)\}が存在しx_1,x_2\in U,\ x_1\lt x_2が成り立つならば、

\begin{aligned}
f(x_1)\lt f(x_0)\lt f(x_2)\ \ (f(x_1)\gt f(x_0)\gt f(x_2))
\end{aligned}
が成立するとき、f(x)x=x_0において増加の状態(減少の状態)にあるという。

 点x_0において関数f(x)が増加(減少)の状態であることを見るための簡単な手段はその点でのf(x)微分係数の符号を調べることである。


関数の増減と微分係数 f(x)x=x_0において微分可能である。このときf^{\prime}(x_0)\gt0またはf^{\prime}(x_0)\lt0ならばf(x)x=x_0において増加または減少の状態にある。
(\because f^{\prime}(x_0)\gt0とする。このとき

\begin{aligned}
{}^{\exists}\delta\gt0\ s.t.\ {}^{\forall}h\ s.t.\ 0\lt|h|\lt\delta\left(\displaystyle{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\gt\displaystyle{\frac{1}{2}f^{\prime}(x_0)}\right)
\end{aligned}

が成り立つ。これにより0\lt h\lt\deltaならばf(x_0+h)-f(x_0)\gt\displaystyle{\frac{1}{2}}hf^{\prime}(x_0)\gt0で、-\delta\lt h\lt0ならばf(x_0+h)-f(x_0)\lt\displaystyle{\frac{1}{2}}hf^{\prime}(x_0)\lt0が成り立つ。したがって{}^{\forall}x_1,x_2\ s.t.\ x_0-\delta\lt x_1\lt x_0\lt x_2\lt x_0+\deltaに対して


\begin{aligned}
f(x_1)\lt f(x_0)\lt f(x_2)
\end{aligned}

が成り立つ。したがってf(x)x=x_0において増加の状態にある。同様にしてf^{\prime}(x_0)\lt0のときf(x)x=x_0において減少の状態にある。 \blacksquare)

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