やりなおしの数学・微分積分篇（18/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

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今日のまとめ

関数 $f(x)$ は閉区間 $[a.b]$ において連続かつ $n-1$ 回微分可能で、 $(a,b)$ において $n$ 回微分可能とする。このとき
$\begin{aligned}\xi\in(a,b,)\ s.t.\ f(b)=&f(a)+f^{\prime}(a)(b-a)+\displaystyle{\frac{f^{\prime\prime}}{2!}}(b-a)^2+\cdots\\&+\displaystyle{\frac{f^{(n)}}{(n-1)!}}(b-a)^{n-1}+R_n,\\R_n=&\displaystyle{\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}}(b-a)^n\end{aligned}$
が成り立つ。 $R_n$ は( $n$ 次の)剰余項と呼ばれ次のLagrangeの剰余の形でも表すことが出来る。
$\begin{aligned}R_n=\displaystyle{\frac{f^{(n)}(a+\theta(b-a))}{n!}}(b-a)^n,\ 0\lt\theta\lt1\end{aligned}$
　さらに展開式は $a,b$ を入れ替えても成り立つ。

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今日のまとめ
5.　1変数関数の微分
- 5.4　Taylorの定理
  - 5.4.1　Taylor展開の例
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5.　1変数関数の微分

5.4　Taylorの定理

　平均値の定理をさらに一般化し精密にした定理としてTaylorの定理がある。これは関数の多項式近似および整級数展開に関わり大変重要である。

Taylorの定理　関数 $f(x)$ は閉区間 $[a.b]$ において連続かつ $n-1$ 回微分可能で、 $(a,b)$ において $n$ 回微分可能とする。このとき

$\begin{aligned} \xi\in(a,b,)\ s.t.\ f(b)=&f(a)+f^{\prime}(a)(b-a)+\displaystyle{\frac{f^{\prime\prime}}{2!}}(b-a)^2+\cdots\\ &+\displaystyle{\frac{f^{(n)}}{(n-1)!}}(b-a)^{n-1}+R_n,\\ R_n=&\displaystyle{\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}}(b-a)^n \end{aligned}$

が成り立つ。
　 $R_n$ は( $n$ 次の)剰余項と呼ばれ次のLagrangeの剰余の形でも表すことが出来る。

$\begin{aligned} R_n=\displaystyle{\frac{f^{(n)}(a+\theta(b-a))}{n!}}(b-a)^n,\ 0\lt\theta\lt1 \end{aligned}$

　さらに展開式は $a,b$ を入れ替えても成り立つ。

( $\because$ 　 $K=\displaystyle{\frac{1}{(b-a)^n}\left\{f(b)-sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k \right\}}$ とおき、関数

$\begin{aligned} f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R},\ F(x)=f(b)-\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x) }{k!}(b-x)^k-K(b-x)^n} \end{aligned}$

を考える。このとき $F(x)$ はRolleの定理の条件を満たしているから、

$\begin{aligned} {}^{\exists}\xi\in(a,b)\ s.t.\ F^{\prime}(\xi)=-\displaystyle{\frac{f^{(n)}(\xi)}{(n-1)!}(b-\xi)^{n-1}+Kn(b-\xi)^{n-1} }=0 \end{aligned}$

を満たす。これにより

$\begin{aligned} K=\displaystyle{\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}} \end{aligned}$

となり、 $K$ の定義から

$\begin{aligned} f(b)=&f(a)+f^{\prime}(a)(b-a)+\displaystyle{\frac{f^{\prime\prime}}{2!}}(b-a)^2+\cdots\\ &+\displaystyle{\frac{f^{(n)}}{(n-1)!}}(b-a)^{n-1}+R_n,\\ R_n=&\displaystyle{\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}}(b-a)^n \end{aligned}$

を得る。
　また $\xi\in(a,b)$ より $\theta=\displaystyle{\frac{\xi-a}{b-a}}$ とおくと $0\lt \theta\lt1$ を満たし、 $\xi=a+\theta(b-a)$ と表されるため、

$\begin{aligned} R_n=\displaystyle{\frac{f^{(n)}(a+\theta(b-a))}{n!}}(b-a)^n,\ 0\lt\theta\lt1 \end{aligned}$

が成り立つ。
　(3)は $a,b$ を入れ替えれば(1)と同様に成り立つ。　 $\blacksquare$ )

Taylorの定理(改)　 $f(x)$ は $(a,b)$ で $n$ 回微分可能とし、 $x_0\in(a,b)$ とする。 ${}^{\forall}x\in(a,b)$ に対して

$\begin{aligned} f(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(x-x_0)^k+R_n(x) \end{aligned}$

と展開できる。ここで、

$\begin{aligned} R_n(x)=\displaystyle{\frac{f^{(n)}(x_0+\theta(x-x_0))}{n!}}(x-x_0)^n,\ 0\lt\theta\lt1 \end{aligned}$

である。

　さらに $f(x)$ が $x=x_0$ で無限回微分可能で $R_n(x)\rightarrow0(n\rightarrow0)$ ならば、

$\begin{aligned} f(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(x-x_0)^k \end{aligned}$

と無限級数に展開できる。これを $f(x)$ の $x=x_0$ を中心としたTaylor展開という。 $x_0=0$ のときをMaclaurin展開という。さらに $x=x_0$ の近傍 $U=B(x_0;\varepsilon)$ を適当に選んだときに ${}^{\forall}x\in U$ について

$\begin{aligned} f(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(x-x_0)^k \end{aligned}$

が成り立つとき、 $f(x)$ は $x=x_0$ において解析的であるという。

系：Taylorの定理と誤差評価　 $f(x)$ は $B(x_0;\varepsilon)=\{x\in(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)|\varepsilon\gt0\}$ において $n-1$ 回微分可能で $f^{(n-1)}(x)$ は $x=x_0$ において連続とする。このとき

$\begin{aligned} f(x)-P_{n-1}(x)&=o(|x-x_0|^{n-1}),\\ P_{n-1}(x)&\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(x-x_0)^k \end{aligned}$

が成り立つ。また

$\begin{aligned} \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq \displaystyle{\frac{M}{n!}}|x-x-_0|^{n},\ x\in B(x_0;\varepsilon) \end{aligned}$

も成り立つ。

( $\because$ 　Taylorの定理より、 $0\lt\theta\lt1$ に対して

$\begin{aligned} f(x)=P_{n-1}(x)+\displaystyle{\frac{1}{(n-1)!}\left\{f^{(n-1)}(x_0+\theta(x-x_0))-f^{(n-1)}(x_0) \right\}(x-x_0)^{n-1} } \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|=\displaystyle{\frac{|x-x_0|^{n-1}}{(n-1)!}\left|f^{(n-1)}(x_0+\theta(x-x_0))-f^{(n-1)}(x_0) \right|} \end{aligned}$

である。 $f^{(n-1)}(x)$ は $x=x_0$ で連続であるから、 $x\rightarrow x_0$ で $f^{(n-1)}(x_0+\theta(x-x_0))\rightarrow f^{(n-1)}(x_0)$ が成り立つ。したがって $\displaystyle{\frac{|x-x_0|^{n-1}}{(n-1)!}\left|f^{(n-1)}(x_0+\theta(x-x_0))-f^{(n-1)}(x_0) \right|}=o(|x-x_0|^{n-1})$ である。　
　またTaylorお定理より適当な $0\lt\theta\lt1$ に対して

$\begin{aligned} \left|f(x)-P_{n-1}(x) \right|=|R_n(x)|=\left|\displaystyle{\frac{f^{(n)}(x_0+\theta(x-x_0))}{n!}}\right| |x-x_0|^n\leq \displaystyle{\frac{M}{n!}|x-x_0|^n} \end{aligned}$

が成り立つ。　 $\blacksquare$ )

5.4.1　Taylor展開の例

　関数 $f(x)=e^x$ を $x=0$ の周りでTaylor展開する。

$\begin{aligned} f^{(k)}(x)=e^{x} \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} f(x)=1+x+\displaystyle{\frac{x^2}{2!}}+\cdots+\displaystyle{\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}}+R_n(x),\ R_n(x)=\displaystyle{\frac{e^{\theta x}}{n!}}x^n,\ 0\lt\theta\lt1 \end{aligned}$

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5. 1変数関数の微分

5.4 Taylorの定理

5.4.1 Taylor展開の例

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5.4　Taylorの定理

5.4.1　Taylor展開の例