以下の書籍
今日のまとめ
5. 1変数関数の微分
5.4 Taylorの定理
平均値の定理をさらに一般化し精密にした定理としてTaylorの定理がある。これは関数の多項式近似および整級数展開に関わり大変重要である。
Taylorの定理 関数
(
とおき、関数
を考える。このときはRolleの定理の条件を満たしているから、
を満たす。これにより
となり、の定義から
を得る。
またより
とおくと
を満たし、
と表されるため、
が成り立つ。
(3)はを入れ替えれば(1)と同様に成り立つ。
)
さらにが
で無限回微分可能で
ならば、
と無限級数に展開できる。これをの
を中心としたTaylor展開という。
のときをMaclaurin展開という。さらに
の近傍
を適当に選んだときに
について
が成り立つとき、は
において解析的であるという。
が成り立つ。したがって
である。は
で連続であるから、
で
が成り立つ。したがって
である。
またTaylorお定理より適当なに対して
が成り立つ。 )
5.4.1 Taylor展開の例
関数を
の周りでTaylor展開する。
であるから、