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一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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やりなおしの数学・微分積分篇(18/X)

以下の書籍

www.rokakuho.co.jp

を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 関数f(x)は閉区間[a.b]において連続かつn-1微分可能で、(a,b)においてn微分可能とする。このとき
    \begin{aligned}\xi\in(a,b,)\ s.t.\ f(b)=&f(a)+f^{\prime}(a)(b-a)+\displaystyle{\frac{f^{\prime\prime}}{2!}}(b-a)^2+\cdots\\&+\displaystyle{\frac{f^{(n)}}{(n-1)!}}(b-a)^{n-1}+R_n,\\R_n=&\displaystyle{\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}}(b-a)^n\end{aligned}
    が成り立つ。R_nは(n次の)剰余項と呼ばれ次のLagrangeの剰余の形でも表すことが出来る。
    \begin{aligned}R_n=\displaystyle{\frac{f^{(n)}(a+\theta(b-a))}{n!}}(b-a)^n,\ 0\lt\theta\lt1\end{aligned}
     さらに展開式はa,bを入れ替えても成り立つ。

5. 1変数関数の微分

5.4 Taylorの定理

 平均値の定理をさらに一般化し精密にした定理としてTaylorの定理がある。これは関数の多項式近似および整級数展開に関わり大変重要である。


Taylorの定理 関数f(x)は閉区間[a.b]において連続かつn-1微分可能で、(a,b)においてn微分可能とする。このとき

\begin{aligned}
\xi\in(a,b,)\ s.t.\ f(b)=&f(a)+f^{\prime}(a)(b-a)+\displaystyle{\frac{f^{\prime\prime}}{2!}}(b-a)^2+\cdots\\
&+\displaystyle{\frac{f^{(n)}}{(n-1)!}}(b-a)^{n-1}+R_n,\\
R_n=&\displaystyle{\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}}(b-a)^n
\end{aligned}
が成り立つ。
 R_nは(n次の)剰余項と呼ばれ次のLagrangeの剰余の形でも表すことが出来る。

\begin{aligned}
R_n=\displaystyle{\frac{f^{(n)}(a+\theta(b-a))}{n!}}(b-a)^n,\ 0\lt\theta\lt1
\end{aligned}
 さらに展開式はa,bを入れ替えても成り立つ。

(\because K=\displaystyle{\frac{1}{(b-a)^n}\left\{f(b)-sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k \right\}}とおき、関数


\begin{aligned}
f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R},\ F(x)=f(b)-\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x) }{k!}(b-x)^k-K(b-x)^n}
\end{aligned}

を考える。このときF(x)はRolleの定理の条件を満たしているから、


\begin{aligned}
{}^{\exists}\xi\in(a,b)\ s.t.\ F^{\prime}(\xi)=-\displaystyle{\frac{f^{(n)}(\xi)}{(n-1)!}(b-\xi)^{n-1}+Kn(b-\xi)^{n-1} }=0
\end{aligned}

を満たす。これにより


\begin{aligned}
K=\displaystyle{\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}}
\end{aligned}

となり、Kの定義から


\begin{aligned}
f(b)=&f(a)+f^{\prime}(a)(b-a)+\displaystyle{\frac{f^{\prime\prime}}{2!}}(b-a)^2+\cdots\\
&+\displaystyle{\frac{f^{(n)}}{(n-1)!}}(b-a)^{n-1}+R_n,\\
R_n=&\displaystyle{\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}}(b-a)^n
\end{aligned}

を得る。
 また\xi\in(a,b)より\theta=\displaystyle{\frac{\xi-a}{b-a}}とおくと0\lt \theta\lt1を満たし、\xi=a+\theta(b-a)と表されるため、


\begin{aligned}
R_n=\displaystyle{\frac{f^{(n)}(a+\theta(b-a))}{n!}}(b-a)^n,\ 0\lt\theta\lt1
\end{aligned}

が成り立つ。
 (3)はa,bを入れ替えれば(1)と同様に成り立つ。 \blacksquare)


Taylorの定理(改) f(x)(a,b)n微分可能とし、x_0\in(a,b)とする。{}^{\forall}x\in(a,b)に対して

\begin{aligned}
f(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(x-x_0)^k+R_n(x)
\end{aligned}

と展開できる。ここで、


\begin{aligned}
R_n(x)=\displaystyle{\frac{f^{(n)}(x_0+\theta(x-x_0))}{n!}}(x-x_0)^n,\ 0\lt\theta\lt1
\end{aligned}
である。

 さらにf(x)x=x_0で無限回微分可能でR_n(x)\rightarrow0(n\rightarrow0)ならば、


\begin{aligned}
f(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(x-x_0)^k
\end{aligned}

と無限級数に展開できる。これをf(x)x=x_0を中心としたTaylor展開という。x_0=0のときをMaclaurin展開という。さらにx=x_0の近傍U=B(x_0;\varepsilon)を適当に選んだときに{}^{\forall}x\in Uについて


\begin{aligned}
f(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(x-x_0)^k
\end{aligned}

が成り立つとき、f(x)x=x_0において解析的であるという。


系:Taylorの定理と誤差評価 f(x)B(x_0;\varepsilon)=\{x\in(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)|\varepsilon\gt0\}においてn-1微分可能でf^{(n-1)}(x)x=x_0において連続とする。このとき

\begin{aligned}
f(x)-P_{n-1}(x)&=o(|x-x_0|^{n-1}),\\
P_{n-1}(x)&\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(x-x_0)^k
\end{aligned}
が成り立つ。また

\begin{aligned}
\left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq \displaystyle{\frac{M}{n!}}|x-x-_0|^{n},\ x\in B(x_0;\varepsilon)
\end{aligned}
も成り立つ。
(\because Taylorの定理より、0\lt\theta\lt1に対して

\begin{aligned}
f(x)=P_{n-1}(x)+\displaystyle{\frac{1}{(n-1)!}\left\{f^{(n-1)}(x_0+\theta(x-x_0))-f^{(n-1)}(x_0) \right\}(x-x_0)^{n-1} }
\end{aligned}

が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
\left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|=\displaystyle{\frac{|x-x_0|^{n-1}}{(n-1)!}\left|f^{(n-1)}(x_0+\theta(x-x_0))-f^{(n-1)}(x_0) \right|}
\end{aligned}

である。f^{(n-1)}(x)x=x_0で連続であるから、x\rightarrow x_0f^{(n-1)}(x_0+\theta(x-x_0))\rightarrow f^{(n-1)}(x_0)が成り立つ。したがって\displaystyle{\frac{|x-x_0|^{n-1}}{(n-1)!}\left|f^{(n-1)}(x_0+\theta(x-x_0))-f^{(n-1)}(x_0) \right|}=o(|x-x_0|^{n-1})である。 
 またTaylorお定理より適当な0\lt\theta\lt1に対して


\begin{aligned}
\left|f(x)-P_{n-1}(x) \right|=|R_n(x)|=\left|\displaystyle{\frac{f^{(n)}(x_0+\theta(x-x_0))}{n!}}\right| |x-x_0|^n\leq \displaystyle{\frac{M}{n!}|x-x_0|^n}
\end{aligned}

が成り立つ。 \blacksquare)

5.4.1 Taylor展開の例

 関数f(x)=e^xx=0の周りでTaylor展開する。


\begin{aligned}
f^{(k)}(x)=e^{x}
\end{aligned}

であるから、


\begin{aligned}
f(x)=1+x+\displaystyle{\frac{x^2}{2!}}+\cdots+\displaystyle{\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}}+R_n(x),\ R_n(x)=\displaystyle{\frac{e^{\theta x}}{n!}}x^n,\ 0\lt\theta\lt1
\end{aligned}

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