やりなおしの数学・微分積分篇（13/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

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今日のまとめ

絶対収束する級数は項の順序を変えても、同じく収束する。

絶対収束する級数同士の積もまた絶対収束し、その収束値は各収束値の積に等しい。

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今日のまとめ
4.　数列
- 4.13.4　絶対収束する級数の性質
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4.　数列

4.13.4　絶対収束する級数の性質

　以下では絶対収束する級数の性質を調べていく。

項の順序と絶対収束　数列 $\{a_n\}$ に対し級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ が絶対収束すると仮定する。 $S=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ とおく。このとき $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ において項の順序を入れ替えた級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n^{\prime}}$ もまた $S$ に収束する。

（ $\because$ 　まず $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_n$ が正項級数の場合を考える。 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_n^{\prime}$ は項の順序を入れ替えた級数であるから $a_1^{\prime}=a_{n_1},a_2^{\prime}=a_{n_2},\cdots,a_m^{\prime}=a_{n_m},\cdots$ と表現できる。
　したがって任意の部分和について

$\begin{aligned} S_m^{\prime}=&\displaystyle{\sum_{n=1}^{m}}a_n^{\prime}\leq \displaystyle{\sum_{n=1}^{N}}a_n\leq S,\\ N=&\max\{n_1,\cdots,n_m\} \end{aligned}$

が成り立ち、 $\left\{S_m^{\prime}\right\}$ は有界列となり $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n^{\prime}}$ は収束する。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_n^{\prime}\leq \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_n \end{aligned}$

である。一方で $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ は $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n^{\prime}}$ の項の順序を入れ替えた級数と見なすことも可能であるから、同様の議論を通じて $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_n\leq \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_n^{\prime}$ が成り立つ。以上より、 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_n$ が正項級数であるならば、 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_n=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_n^{\prime}$ が成り立つ。
　次に $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_n$ が一般の級数の場合を考える。

$\begin{aligned} \ b_n=\begin{cases} \ a_n,&\ \ a_n\geq0\\ 0,&\ \ a_n\lt0 \end{cases},\ \ \ \ c_n=\begin{cases} \ 0,&\ \ a_n\geq0\\ \ -a_n,&\ \ a_n\lt0 \end{cases} \end{aligned}$

とおけば、

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}+\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}c_n} \end{aligned}$

は収束するから、級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$ および $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}c_n}$ はともに収束する正項級数である。また前述の議論によりこれらそれぞれについて項の順序を入れ替えた $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n^{\prime}}$ および $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}c_n^{\prime}}$ に対し、常に $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n^{\prime}}$ および $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}c_n}=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}c_n^{\prime}}$ が成り立つ。ここで $a_n=b_n-c_n$ であることに注意すれば、 $a_n^{\prime}=b_n^{\prime}-c_n^{\prime}$ となるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n^{\prime}}=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n^{\prime}}-\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}c_n^{\prime}}=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}-\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}c_n}=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n} \end{aligned}$

が成立する。　 $\blacksquare$ ）

　次に級数の積を考える。

定義：級数の積　級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n},\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$ に対して

$\begin{aligned} c_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_kb_{n+1-k}},\ n=1,2,3,\cdots \end{aligned}$

により定義した級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}c_n}$ を定義する。このときこれを $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ および $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$ の積という。

　これについて以下が成り立つ。

級数の積の収束性　級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n},\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$ が絶対収束し、 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}=S$ および $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}=T$ とおくとき、級数の積 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}c_n}$ も絶対収束し、 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}c_n}=ST$ が成り立つ。

（ $\because$ 　

$\begin{aligned} S_m=\displaystyle{\sum_{k=1}^{m}a_k}, T_m=\displaystyle{\sum_{k=1}^{m}b_k}, \tilde{S}_m=\displaystyle{\sum_{k=1}^{m}|a_k|}, \tilde{T}_m=\displaystyle{\sum_{k=1}^{m}|b_k|}, \end{aligned}$

とおく。仮定の絶対収束性より、正の数 $\tilde{S},\tilde{T}$ をすべての $m\in\mathbb{N}$ について $\tilde{S}_m\leq \tilde{S},\ \tilde{T}_m\leq \tilde{T}$ を満たすように取れる。また

$\begin{aligned} \left|c_n\right|\leq \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\left|a_ib_{n+1-i}\right|} \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}|c_k|}\leq& |a_1b_1|+(|a_1b_2|+|a_2b_1|)+\cdots+(|a_1b_n|+\cdots+|a_{n}b_1|)\\ \leq&|a_1|\tilde{T}_n+|a_2|\tilde{T}_{n-1}+\cdots++|a_n|\tilde{T}_{1}\\ \leq&\tilde{T}_n(|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|)\leq \tilde{S}_n\tilde{T}_n\leq\tilde{S}\tilde{T} \end{aligned}$

が得られる。これにより級数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}c_n}$ は絶対収束する。
　また $\tilde{c}_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}|a_k b_{n+1-k}|}$ とおけば、同様の議論から

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\tilde{c}_n}\leq \tilde{S}_n\tilde{T}_n\leq \tilde{S}\tilde{T} \end{aligned}$

となるから正項級数 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\tilde{c}_n}$ も収束する。ここで

$\begin{aligned} &\left|\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}c_k}-S_nT_n\right|\\ =&\left|(a_2b_n+a_3b_{n-1}+\cdots+a_nb_2)+\cdots+a_nb_n \right|\\ \leq&\tilde{c}_{n+1}+\cdots+\tilde{c}_{2n-1}=\displaystyle{\sum_{k=n+1}^{2n-1}\tilde{c}_k} \end{aligned}$