今回やりたいこと
簡単な基礎数学をJuliaで扱ってみる。
を参照する。
1. 乱数を生成し、統計量を計算してみる
# 統計学のパッケージを使う using Statistics # 一様乱数U(0,1)を50個生成する X = rand(50) # 一様乱数U(0,1)50個を2つ生成する Y = rand(2, 50) # Xの合計,平均を出力させる println(sum(X)) println(mean(X)) # Yの平均を出力させる println(mean(Y)) #1つ目は50個×2列=100個の平均 println(mean(Y, dims = 1)) #1列目の50個の平均 println(mean(Y, dims = 2)) #2列目の50個の平均 # 共分散を出力 cov(X) # Xの分散 cov(Y, dims = 1) # Yの共分散
2. 正規乱数を生成
# 確率分布のパッケージ using Distributions mu = 1.5 #平均 sigma = 2.0 #標準偏差 z = rand(Normal(mu,sigma), 10000) println(z) println(mean(z)) # 1.4723455054593544 println(std(z)) # 2.0095894295395405
3. 関数の数値微分
using PyPlot # f(x)を2次関数として定義 f(x) = - (x + 1) * (x - 1) # hを微小値として定義 h = 1.0e-10 # 導関数を簡単な数値微分で定義 f′(a) = (f(a + h) - f(a))/h # 関数の可視化範囲 xs = range(-100,100,length = 10000) fig, axes = subplots(2,1, figsize = (4,6)) # 関数のプロット axes[1].plot(xs,f.(xs),"b") axes[1].grid() axes[1].set_xlabel("x"),axes[1].set_ylabel("y") axes[1].set_title("function f(x)") axes[2].plot(xs, f′.(xs),"r") axes[2].grid() axes[2].set_xlabel("x"),axes[2].set_ylabel("y") axes[2].set_title("derivative f'(x)") tight_layout()
4. 勾配ベクトルの図示
using PyPlot # グラフを可視化する際の解像度 L = 10 # f2(x)を可視化する範囲 xs1 = range(-10, 10 , length = L) xs2 = range(-10, 10 , length = L) # 2値関数 f2(x) = -(x.+1)'*(x.-1) # 勾配 gf2(x) = -2x # グラフ fig, axes = subplots(1,2,figsize = (8,4)) # 関数の等高線図の可視化 cs = axes[1].contour(xs1, xs2, [f2([x1,x2]) for x1 in xs1, x2 in xs2]') axes[1].clabel(cs, inline=true) axes[1].set_xlabel("x1"), axes[1].set_ylabel("x2") axes[1].set_title("f2(x)") # 勾配ベクトルの計算と可視化 vec1 = [gf2([x1,x2])[1] for x1 in xs1, x2 in xs2] vec2 = [gf2([x1,x2])[2] for x1 in xs1, x2 in xs2] axes[2].quiver(repeat(xs1,1,L), repeat(xs2',L,1), vec1, vec2) axes[2].set_xlabel("x1"), axes[2].set_ylabel("x2") axes[2].set_title("gf2(x)") tight_layout()
5. 自動微分のパッケージForwardDiffを使ってみる
using ForwardDiff # 2次関数を定義 f(x) = -(x + 1) * (x - 1) # 自動微分によって導関数f'(x)を定義する f′(x) = ForwardDiff.derivative(f,x) xs = range(-10,10, length = 1000) fig,axes = subplots(2, 1, figsize = (4, 6)) # 関数のプロット axes[1].plot(xs, f.(xs), "b") axes[1].grid() axes[1].set_xlabel("x"), axes[1].set_ylabel("y") axes[1].set_title("function f(x)") # 導関数のプロット axes[2].plot(xs, f′.(xs), "r") axes[2].grid() axes[2].set_xlabel("x"), axes[2].set_ylabel("y") axes[2].set_title("derivative f'(x)") tight_layout()
6. 勾配法による最適化
# 勾配法による一変数関数の最適化 x_opt = 0.50 f(x) = -2(x-x_opt)^2 #最適化対象 # 図示 fig,ax = subplots() xs = range(-3,3,length=1000) ax.plot(xs,f.(xs), label = "function") ax.plot(x_opt, f(x_opt), "rx", label = "optimal") ax.set_xlabel("x"), ax.set_ylabel("y") ax.grid() ax.legend()
