やりなおしの数学・微分積分篇（03/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

前回

今日のまとめ

$m\in\mathbb{R}$ が $A\neq \emptyset$ に対し、① $m$ は $A$ の上界である、② $a$ が $A$ の上界ならば $m\leq a$ である、の2条件が成り立つとき、 $m$ は $A$ の上限であるといい、 $m=\sup{A}$ と書く。

上に有界な実数の集合は必ず上限を持つ。また下に有界な実数の集合は必ず下限を持つ。

数列 $\{a_n\}$ が $\alpha\in\mathbb{R}$ に収束するとは、任意の正数 $\varepsilon$ に対してある $N$ を選べば、 $n\geq N$ であるような任意の $n$ について
$\begin{aligned}\ |a_n-\alpha|\lt\varepsilon\end{aligned}$
を満たすことをいう。

前回
今日のまとめ
3.　実数と連続性
- 3.1　有界性
  - 3.1.1　最大値（maximum）
  - 3.1.2　上限（supremum）
- 3.2　実数の連続性
4.　数列
- 4.1　数列の“収束”
  - 4.1.1　定義による極限の導出例
- 4.2　数列の"発散"
次回

3.　実数と連続性

　実数の集合 $\mathbb{R}$ の持つ基本的性質は3つに集約される：

加減乗除の四則演算ができる
大小関係が定まる
連続性が成り立つ

この(3)について説明する。

3.1　有界性

　空でない集合 $A\subset\mathbb{R}$ について、上に有界であるとは、すべての $x\in A$ について $x\leq a$ であるような $a\in\mathbb{R}$ が存在することをいう。またこのような $a$ を上界（upper bound）という。また $a$ が $A$ の上界であるならば、 $b\gt a$ も $A$ の上界である。
　ここで重要なのは、 $a\notin A$ ということがあり得るということである。すなわち開区間でも上に有界なことがあり得る。

3.1.1　最大値（maximum）

　これを踏まえて最大値を定義する。

　 $M\in\mathbb{R}$ が $A\neq \emptyset$ に対し

$M$ は $A$ の上界である

$M\in A$

を満たすとき、 $A$ の最大値であるという。このとき $M=\max{A}$ と書く。

最大値は定まらない場合がある。実際、（右）開区間であれば、最大値は定まらない。
これと同様に最小値 $m$ も定義され、 $m=\min{A}$ と書く。

3.1.2　上限（supremum）

　最大値を拡張した概念として上限を定義する。

　 $m\in\mathbb{R}$ が $A\neq \emptyset$ に対し

$m$ は $A$ の上界である

$a$ が $A$ の上界ならば、 $m\leq a$ が成り立つ

が成り立つとき、 $m$ は $A$ の上限であるといい、 $m=\sup{A}$ と書く。もし $A$ が上に有界でないならば、 $\sup{A}=\infty$ と表す。

これと同様に下限も定義され、 $m=\inf{A}$ と書く。

　上に有界な実数の集合が最大値を持つならば、上限に一致する。
（ $\because$ 　上に有界な実数の集合 $A$ の最大値を $m$ とする。すると最大値の定義から、

$\begin{aligned} {}^{\forall}a\in A (a\leq m) \end{aligned}$

が成り立つ。 $m\in A\subset\mathbb{R}$ であるから、 $m$ は $A$ の上界である。
　この $m\in A$ に対して $A$ の任意の上界 $n$ を取ると、上界の定義から

$\begin{aligned} {}^{\forall}x\in A(x\leq n) \end{aligned}$

であるから、 $m\leq n$ でもある。これらは $m$ が上限であることを意味する。 $\blacksquare$ ）

3.2　実数の連続性

　以上を基に実数の連続性に関する重要な性質を証明抜きに述べる。

　上に有界な実数の集合は必ず上限を持つ。また下に有界な実数の集合は必ず下限を持つ。

　このとき以下の3つの命題が成り立つ。

(1) 自然数全体の成す集合 $\mathbb{N}$ は上に有界でない。
(2) $a,b\gt0$ に対して $na\gt b$ を満たすような自然数 $n$ が存在する。（Alchimedesの公理）
(3) $a\lt b$ を満たすような任意の $a,b\in\mathbb{R}$ に対し $a\lt p\lt b$ を満たす有理数 $p$ が存在する。（有理数の稠密性）

（ $\because$ 　それぞれの命題について証明する。
(1)
　 $\mathbb{N}$ が上に有界であると仮定する。このとき ${}^{\exists}\sup{\mathbb{N}}=\alpha\lt\infty$ が成り立つ。 $\alpha-1$ は $\mathbb{N}$ の上界でないから、 $\alpha-1\lt m$ を満たすような $m\in\mathbb{N}$ が存在するから、 $\alpha\lt m+1\in\mathbb{N}$ が成り立つが、これは $\alpha$ が上限であることに矛盾する。したがって $\mathbb{N}$ は上に有界でない。
(2)
　 $\mathbb{N}$ は上に有界でないから、 $\displaystyle{\frac{b}{a}}\lt n$ を満たすような $n\in\mathbb{N}$ が存在する。したがって

$\begin{aligned} {}^{\exists}n\in\mathbb{N}\ \ s.t.\ \ na\gt b \end{aligned}$

(3)
　 $a\leq0$ の場合には、(2)より $n+a\gt0$ を満たす $n\in\mathbb{N}$ が存在し、このときには $a,b$ に代わり $n+a,n+b$ を考えればよいため、はじめから $0\lt a\lt b$ としても一般性を失わない。
　(2)より $\displaystyle{\frac{1}{b-a}}\lt {}^{\exists}m\in\mathbb{N}$ であるから、 $b-a\gt\displaystyle{\frac{1}{m}}$ を満たすような $m$ が存在する。次に $n-1\leq ma\lt n$ を満たすような $n\in\mathbb{N}$ を選ぶことで

$\begin{aligned} a\lt\displaystyle{\frac{n}{m}}\leq a+\displaystyle{\frac{1}{m}}\lt a+(b-a)=b \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $p=\displaystyle{\frac{n}{m}}$ とおくことで

$\begin{aligned} a\lt {}^{\exists}p=\displaystyle{\frac{n}{m}}\lt b \end{aligned}$

が成り立つ。 $\blacksquare$ ）

4.　数列

　前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。

4.1　数列の“収束”

　まず収束を定義する。数列 $\{a_n\}$ が $\alpha$ に収束することを言葉で述べれば、どんなに小さな正の数 $\varepsilon$ を持ってきてもそれに応じた $n$ （したがって厳密には $n(\varepsilon)$ と $n$ は $\varepsilon$ の関数である。）を取ってくることで $|a_n-\alpha|\lt\varepsilon$ が成り立つことをを言う。

　数列 $\{a_n\}$ が $\alpha\in\mathbb{R}$ に収束するとは、任意の正数 $\varepsilon$ に対してある $N$ を選べば、 $n\geq N$ であるような任意の $n$ について
$\begin{aligned} \ |a_n-\alpha|\lt\varepsilon \end{aligned}$
を満たすことをいう。